精品解析：2024年江苏省南通市崇川区、如皋市九年级中考二模数学试题

2024年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在，，，四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，三视图都是圆是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适宜全面调查的是（　　） A. 了解某班学生视力情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间 D. 某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，将线段平移得到线段，其中，点A的对应点为点C，若，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 9. 如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线对称点为E，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ） A. B. 6 C. D. 3 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝_____． 12. 若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为________． 13. 计算：________． 14. 若a，b为连续整数，且，则____________． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为____________． 16. 中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为______． 17. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为____________． 18. 如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 20. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为____________； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 22. 某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85； c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数： 甲组 乙组 丙组 平均分 88 m 90 中位数 n 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____________，____________； （2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由· 23. 如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． （1）求m的值； （2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 25. 在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题． 26. 在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． （1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； （2）如图，当时，连接，．求证：平分； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在，，，四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负数大小比较，两个负数比较，绝对值大的反而小；根据负数大小的比较法则，计算出负数的绝对值，根据绝对值的大小即可确定负数的大小，从而求解． 【详解】解：，，，， 而， ， 即比大的数是； 故选：D． 2. 据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．根据科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 分别判断各选项的三视图，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，圆柱的三视图为圆和长方形，故A不符合要求； 圆锥的三视图为带圆心的圆和三角形，故B不符合要求； 球的三视图均为圆，故C符合要求； 正方体的三视图均为正方形，故D不符合要求； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项运算法则，同底数幂的除法运算法则，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则，进行判断即可． 【详解】解：A．，正确，故此选项符合题意； B．与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列调查中，适宜全面调查的是（　　） A. 了解某班学生的视力情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间 D. 某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的意义结合具体的问题情境逐项进行判断即可． 【详解】解：．了解某班学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意； ．调查某批次汽车的抗撞击能力，不可以使用全面调查，适用抽样调查，因此选项不符合题意； ．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间，适用抽样调查，因此选项不符合题意； ．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次，适用抽样调查，因此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，理解抽样调查与全面调查的意义以及具体的问题情境是正确判断的关键． 6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可求，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 已知，，将线段平移得到线段，其中，点A的对应点为点C，若，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面中图形平移；由A与C对应，B与D对应，可确定平移，从而由平移可确定m与n，则可求得结果．确定出平移是解题的关键． 【详解】解：与C对应，B与D对应， 平移是向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度， ， ； 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理即菱形的性质，理解对称的性质是解题的关键． 由对称得从而得到，由菱形性质得，从而得到，由四边形内角和为等量代换即可得到结果． 详解】解：连接，如图： 由点A关于直线的对称点为E，得： ， 为等腰三角形，故， 由菱形可得，， ， ， 在四边形中，由内角和为得， ， 由，得， ， ， ，即， 故选：D． 10. 定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝_____． 【答案】3a（x+y）2． 【解析】 【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：3ax2+6axy+3ay2 ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2． 故答案为3a（x+y）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】18π 【解析】 【分析】利用圆锥的底面半径为3，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：依题意知母线长=6，底面半径r=3， 则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×3×6=18π． 故答案为：18π． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 13. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】求出特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： = = =0 故答案为：0． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确进行计算． 14. 若a，b为连续整数，且，则____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查估算无理数大小，学会利用逼近法估算无理数大小是解题的关键，属于基础中考常考题型． 根据的整数部分是5，可知，由此可解决问题． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：11． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质是解题关键．先利用画法确定垂直平分，再利用等边对等角及三角形内角和性质解题即可． 【详解】解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式，设未知数，列方程，是解决问题的关键． 根据矩形的长为x，宽为，利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】∵矩形长为x，宽比长少12， ∴宽为， ∵矩形面积为864， ∴， 故答案：． 17. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，利用平行四边形和反比例函数的点的特征是解题的关键．利用平行四边形性质设出点和点坐标，再表示出点坐标，代入即可解决． 【详解】解：∵中，， ∴点和点纵坐标相同， ∵点在反比例函数上，点在反比例函数上， 设，则， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴点坐标为， 即， ∵点在反比例函数上， ∴， 化简得， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短；过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，则可得四边形是矩形，且，，则；连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小；过C作，交延长线于点F，则可得四边形是矩形，则，，从而得，由勾股定理即可求得的长，从而求得最小值．利用矩形的性质求的最小值转化为的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E， 即， 四边形是平行四边形； ， 四边形是矩形， ，， ； 连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长； 过C作，交延长线于点F， 则， 四边形是矩形， ，， ； 在中，由勾股定理得， 最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整式的化简求值，二次根式的性质，准确计算是解题的关键． （1）分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分即可； （2）分别用多项式乘多项式的法则、完全平方公式展开，再合并同类项得化简式子，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，点A，F，C，D一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定， （1）首先根据平行线的性质得到，，然后证明出，即可得到； （2）根据全等三角形的性质得到，然后利用线段的和差求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴． ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∴． 21. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为____________； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用树状图法将所有的等可能得情况都列出，再由概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式， ∴甲选择“微信”支付的概率为； 【小问2详解】 分别设“微信”和“支付宝”为A和B 画树状图如下： ∴一共有8种等可能得结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种 ∴三人选择同一种支付方式的概率为． 22. 某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85； c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数： 甲组 乙组 丙组 平均分 88 m 90 中位数 n 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____________，____________； （2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由· 【答案】（1）90，86 （2）乙 （3）推荐丙小组，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数、方差； （1）根据中位数和平均数的定义列式计算即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 乙组平均数， 甲组得分按从小到大排列为82，83，86，94，95，故中位数， 故答案为：90，86； 【小问2详解】 甲组方差为， 乙组方差为， ∴乙组方差更小， ∴对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是乙组， 故答案为：乙． 【小问3详解】 推荐丙小组； 理由：乙、丙两组的平均分高于甲组， 所以可以在乙组或丙组中选一组， 而乙组与丙组的平均分与中位数及最高分都相同，但丙组的最低分更高， 所以推荐丙组去． 23. 如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由与相切，可得．由．可得．由，可得，则， （2）如图，连接，过点O作．则．为等边三角形．，．．．证明四边形为矩形．则，． ，，． 根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为矩形． ∴，． ∴，，． ∴， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 24. 为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． （1）求m的值； （2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）90 （2）当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程及一次函数的应用，掌握分式方程的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据“搬运时间＝搬运量÷搬运效率“及“甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等”列方程并求解即可； （2）设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台，根据“每小时甲种型号机器人搬运量+每小时乙种型号机器人搬运量”列不等式并求出x的解集；设购买机器人的总费用为W元，写出W关于x的函数表达式，根据它的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W的值最小，求出其最小值及此时的值即可． 小问1详解】 由题意列方程，得． 解得． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 答：m的值为90； 【小问2详解】 设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台， 则． ∵， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最小值，最小值为48万元． ∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元． 25. 在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，根据平行线的判定得出得出； （2）根据勾股定理得出，根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，证明，得出，证明，同理证明，根据中位线的性质得出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在下方时，当点E在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）甲小组的猜想正确． 理由：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∵折叠， ∴，， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ； （3）当点E在下方时，如图1，延长交于点H， 同（2）可证． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， 由（1）可得， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在下方时，设交于点H，如图2． 同①可得，． ∴． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 26. 在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． （1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； （2）如图，当时，连接，．求证：平分； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得即得，根据题意，得，解方程组解答即可． （2）根据抛物线，得抛物线与x轴的交点为，得到，继而得到，求直线的解析式，确定点在直线上即可得证平分； （3）根据对称性，先确定图象的解析式，分类讨论，计算求解即可． 【小问1详解】 根据直线与y轴交于点B，令，得 ∴点， 根据题意，得， 解得， ∴交点坐标分别为， ∵点M在x轴上． ∴点， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵抛物线， ∴， 解得， ∴ 抛物线与x轴的交点为， ∴ ， ∵， ∴ ， 根据(1)，得，， ∵点B关于点A的对称点为C，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ． ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故直线的解析式为， ∴ 不论k为何值，直线过定点， ∴点在直线上． ∴平分； 【小问3详解】 设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得， ∴即图象的解析式为， 当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点， ∴满足解析式， ∴， 解得(舍去)， 经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点， ∴满足解析式， ∴， 解得(舍去), ∴； 当时， 当时，图象，图象与线段没有交点， 当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意； ∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意； ∴时，图象与线段有一个交点， ∴， 故， ∴， 综上所述，符合题意的范围是或． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，对称性，等腰三角形的三线合一性质，分类思想，一元二次方程与抛物线问题，判别式应用，熟练掌握交点坐标计算，对称性，分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$