1.5 有理数的乘方 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学上册

有理数的乘方 一、知识点梳理 知识点一、有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 二、考点讲解 【考点一、乘方意义】 【例1】（1）指出下列每个的底数和指数以及读法. 【变式训练】 请你说说下列各数表示什么？它们一样吗？ 【变式训练】 1、118表示（ ） A、11个8连乘 B、11乘以8 C、8个11连乘 D、8个别1相加 【考点二、乘方表示方法】 【例2】把下列乘法式子写成乘方的形式： 1）1×1×1×1×1×1×1= ； 2)1.5×1.5= ； 3） （－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ； 4） = ； 【变式训练】1．直接给出下列各式的结果： （1）（﹣1）4﹣（﹣1）3＝　　 （2）﹣3×（﹣22）　　 （3）　　． 性质规律： 幂的符号规律： · 幂的底数是正数时，结果一定为正数. · 幂的底数是负数时，指数为正偶数则结果为正；指数为正奇数则结果为负. · 0的任何正整数次幂都得0 · 互为相反数的两数的相同偶次幂相等， 相同奇次幂互为相反数. 三、强化练习 1．（﹣8）2019+（﹣8）2018能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 2．下列计算正确的是（　　） A．﹣|﹣2|＝2 B．﹣22＝﹣4 C．（﹣2）2＝﹣4 D．33＝9 3．下列计算正确的是（　　） A．（﹣1）2＝1 B．（﹣2）3＝﹣6 C．（﹣3）2＝6 D．﹣22＝4 4．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a2017+2018b+c2019的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．0 5．计算：得（　　） A． B． C． D． 6．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 7．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣的值为（　　） A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20 8．计算（﹣1）2019的结果等于（　　） A．﹣2019 B．2019 C．﹣1 D．1 9．在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣24中，正数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知8.622＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值（　　） A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2 11．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则7×6！的值为（　　） A．42！ B．7! C．6×7！ D．6×7！ 12．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2）÷（﹣4）＝2 B．0﹣2＝2 C． D．﹣＝﹣4 13．计算（﹣2）200+（﹣2）201的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣2200 C．1 D．2200 二．填空题（共8小题） 14．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是347，则m的值是　 　． 15．已知：C＝＝3，C＝＝10，C＝＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C＝　 　． 16．下列说法：①﹣a是负数；②一个数的绝对值一定是正数；③一个有理数不是正数就是负数；④平方等于本身的数是0和1．其中正确的是　 　． 17．计算（﹣1）100﹣（﹣1）107的结果为　 2 　． 18．当n为奇数时，＝　　；当n为偶数时，＝　　 19．若a﹣2＝﹣2，则a2﹣2的值是　 　． 20．倒数等于它本身的数是　　，平方等于它本身的数是　　，立方等于它本身的数是　　，绝对值等于它本身的数是　　，相反数等于它本身的数是　　． 21．已知|x|＝4，y2＝25，xy＜0，则x﹣y＝　 　 　． 三．解答题（共4小题） 22．小明爸爸给小明出了一道题，说明他本月炒股的盈亏情况（单位：元） 股票 每股净赚（元） 股票 招商银行 +23 500 浙江医药 ﹣（﹣2.8） 1000 晨光文具 ﹣1.5 1500 金龙汽车 ﹣1 2000 请你也来计算一下，小明爸爸本月投资炒股到底是赔了还是赚了？赔了或赚了多少元？ 23．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 24．已知|a|＝5，b2＝4， （1）若a＞0，b＜0，求a+b的值； （2）若ab＜0，求2a﹣3b的值． 25．计算：（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣| 有理数的乘方归纳总结 · 1、求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。 · 2、如果底数是正数，幂（结果）肯定是正数； · 如果底数是负数，那么幂的符号取决于指数。如果指数是奇数，那么幂的符号为负；如果指数为偶数，那么幂的符号为正。 · 3、0的0次方没有意义。 · 4、任何非0数的0次方都为1。 · 5、0的任何非0次方都为0。 有理数的乘方(解析版) 一、知识点梳理 知识点一、有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 二、考点讲解 【考点一、乘方意义】 【例1】（1）指出下列每个的底数和指数以及读法. 答案：:7是底数，4是指数，读作7的4次方（幂） ：是底数，2是指数，读作 的2 次方（幂） ：-3是底数，5是指数，读作-3的5次方（幂） ：0是底数，8是指数，读作0的8次方（幂） 【变式训练】 请你说说下列各数表示什么？它们一样吗？ 答案： -3是底数，4是指数，幂= 81 3是底数，4是指数，幂= -81 是底数，4是指数，幂= 5是底数，4是指数，幂= 【总结】乘方的定义，幂的读法、写法和表示意义要熟练掌握 【变式训练】 1、118表示（ C ） A、11个8连乘 B、11乘以8 C、8个11连乘 D、8个别1相加 【考点二、乘方表示方法】 【例2】把下列乘法式子写成乘方的形式： 1）1×1×1×1×1×1×1= ； 2)1.5×1.5= ； 4） （－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ； 5） = ； - 【总结】乘方的表示方式 【变式训练】1．直接给出下列各式的结果： （1）（﹣1）4﹣（﹣1）3＝　2　 （2）﹣3×（﹣22）　12　 （3）　　． 【分析】（1）原式利用乘方的意义计算即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果； （3）原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2； （2）原式＝﹣3×（﹣4）＝12； （3）原式， 故答案为：（1）2；（2）12；（3） 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 性质规律： 幂的符号规律： · 幂的底数是正数时，结果一定为正数. · 幂的底数是负数时，指数为正偶数则结果为正；指数为正奇数则结果为负. · 0的任何正整数次幂都得0 · 互为相反数的两数的相同偶次幂相等， 相同奇次幂互为相反数. 三、强化练习 1．（﹣8）2019+（﹣8）2018能被下列哪个数整除（　C　） A．3 B．5 C．7 D．9 2．下列计算正确的是（　B　） A．﹣|﹣2|＝2 B．﹣22＝﹣4 C．（﹣2）2＝﹣4 D．33＝9 3．下列计算正确的是（　A　） A．（﹣1）2＝1 B．（﹣2）3＝﹣6 C．（﹣3）2＝6 D．﹣22＝4 4．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a2017+2018b+c2019的值为（　D　） A．2017 B．2018 C．2019 D．0 5．计算：得（　B　） A． B． C． D． 6．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（A　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 7．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣的值为（　B　） A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20 8．计算（﹣1）2019的结果等于（　C　） A．﹣2019 B．2019 C．﹣1 D．1 9．在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣24中，正数的个数有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知8.622＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值（　C　） A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2 11．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则7×6！的值为（　B　） A．42！ B．7! C．6×7！ D．6×7！ 12．下列运算正确的是（　D　） A．（﹣2）÷（﹣4）＝2 B．0﹣2＝2 C． D．﹣＝﹣4 13．计算（﹣2）200+（﹣2）201的结果是（　B　） A．﹣2 B．﹣2200 C．1 D．2200 二．填空题（共8小题） 14．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是347，则m的值是　 19 　． 15．已知：C＝＝3，C＝＝10，C＝＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C＝　 4 　． 16．下列说法：①﹣a是负数；②一个数的绝对值一定是正数；③一个有理数不是正数就是负数；④平方等于本身的数是0和1．其中正确的是　 ④ 　． 17．计算（﹣1）100﹣（﹣1）107的结果为　 2 　． 18．当n为奇数时，＝　0　；当n为偶数时，＝　　 19．若a﹣2＝﹣2，则a2﹣2的值是　 ﹣2 　． 20．倒数等于它本身的数是　-1，1　，平方等于它本身的数是　0或1　，立方等于它本身的数是　0或1或﹣1　，绝对值等于它本身的数是　非负数　，相反数等于它本身的数是　0　． 21．已知|x|＝4，y2＝25，xy＜0，则x﹣y＝　 9或﹣9　 　． 三．解答题（共4小题） 22．小明爸爸给小明出了一道题，说明他本月炒股的盈亏情况（单位：元） 股票 每股净赚（元） 股票 招商银行 +23 500 浙江医药 ﹣（﹣2.8） 1000 晨光文具 ﹣1.5 1500 金龙汽车 ﹣1 2000 请你也来计算一下，小明爸爸本月投资炒股到底是赔了还是赚了？赔了或赚了多少元？ 【解答】解：天河：500×23 +2.8×1000﹣1.5×1500﹣1.8×2000 ＝4000+2800﹣2250﹣3600 ＝950（元） 答：赚了，赚了950元． 23．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　2n　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　32000　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个， 故答案为：2n； （2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌， 故答案为：32000； （3） 两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍． 24．已知|a|＝5，b2＝4， （1）若a＞0，b＜0，求a+b的值； （2）若ab＜0，求2a﹣3b的值． 【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4， ∴a＝±5，b＝±2， （1）∵a＞0，b＜0， ∴a＝5，b＝﹣2， ∴a+b＝5+（﹣2）＝3； （2）∵ab＜0， ∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2， 所以2a﹣3b＝16或﹣16． 25．计算：（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣| ﹣． 有理数的乘方归纳总结 · 1、求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。 · 2、如果底数是正数，幂（结果）肯定是正数； · 如果底数是负数，那么幂的符号取决于指数。如果指数是奇数，那么幂的符号为负；如果指数为偶数，那么幂的符号为正。 · 3、0的0次方没有意义。 · 4、任何非0数的0次方都为1。 · 5、0的任何非0次方都为0。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$