2.3有理数的乘方　讲义-2024—2025学年人教版数学七年级上册

2.3有理数的乘方-数学七年级上册人教版（2024） ( 知识梳理 ) 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ( 典例分析 ) 1．（2024•南岗区校级开学）计算的结果为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：原式＝1﹣（﹣3）×+4 ＝1+1+4 ＝6， 故选：B． 2．（2024•青岛）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（　　） A．6×103 B．60×103 C．0.6×105 D．6×104 【解答】解：60000＝6×104． 故选：D． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（　　） A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103 2．（2024•山海关区一模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．则“9.46×1012km”一数中“0”的个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2023秋•唐县期末）算式﹣2□1的值最小时，□中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4．（2023秋•邵阳期末）（﹣2）4的相反数是（　　） A．﹣8 B．﹣16 C． D．8 5．（2023秋•邓州市期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 6．（2023秋•淄川区期末）下列计算不正确的是（　　） A．﹣12﹣2×（﹣3+4）＝﹣3 B．﹣12﹣2×（﹣3﹣4）＝﹣15 C．（﹣1）2﹣2×（﹣3﹣4）＝15 D．（﹣1）2﹣2×（﹣3+4）＝﹣1 7．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 8．（2023秋•中牟县期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…．文中的鸟巢共有（　　） A．93个 B．103个 C．94个 D．104个 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•长沙月考）已知a和b互为倒数，a+b＝4，求（a﹣b）2＝　 　． 10．（2024•南昌县校级模拟）“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为 　 　． 11．（2024•静安区校级模拟）如果一个数的平方等于36，那么这个数是　 　． 12．（2023秋•硚口区期末）新时代十年来，我国建成世界上规律最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数增加到13.6亿．将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是 　 　.（备注：1亿＝100000000） 13．（2023秋•桑植县期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝3，则2017（a+b）﹣2cd+m＝　 　． 14．（2023秋•献县期末）数学家发明了一个魔术盒，当任意“数对”（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：a2﹣b+1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32﹣（﹣2）+1＝12，现将“数对”（﹣3，﹣2）放入其中后，得到的数是　 　． 三．解答题（共4小题） 15．（2024•盘龙区校级开学）计算： （1）（﹣+﹣）×（﹣12）； （2）﹣12024﹣（﹣3）2×[1+（﹣）2]÷（﹣5）． 16．（2023秋•城关区校级期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为多少？ 17．（2024•邯山区校级二模）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（■）﹣33．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■“是，请计算（﹣9）×（）﹣33； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于﹣9，请通过计算求出被污染的数字“■”． 18．（2023秋•淮安区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 2.3有理数的乘方-数学七年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（　　） A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103 【解答】解：25000＝2.5×104， 故选：C． 2．（2024•山海关区一模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．则“9.46×1012km”一数中“0”的个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：9.46×1012＝9460000000000， ∴此数中“0”的个数为10， 故选：A． 3．（2023秋•唐县期末）算式﹣2□1的值最小时，□中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【解答】解：﹣2+1＝﹣1， ﹣2﹣1＝﹣3， ﹣2×1＝﹣2， ﹣2÷1＝﹣2， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1 ∴当﹣2﹣1时的值为最小﹣3， 故选：B． 4．（2023秋•邵阳期末）（﹣2）4的相反数是（　　） A．﹣8 B．﹣16 C． D．8 【解答】解：（﹣2）4＝16，16的相反数是﹣16， 故选：B． 5．（2023秋•邓州市期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3， ∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 6．（2023秋•淄川区期末）下列计算不正确的是（　　） A．﹣12﹣2×（﹣3+4）＝﹣3 B．﹣12﹣2×（﹣3﹣4）＝﹣15 C．（﹣1）2﹣2×（﹣3﹣4）＝15 D．（﹣1）2﹣2×（﹣3+4）＝﹣1 【解答】解：﹣12﹣2×（﹣3+4）＝﹣1﹣2×1＝﹣1﹣2＝﹣3，故选项A正确，不符合题意； ﹣12﹣2×（﹣3﹣4）＝﹣1﹣2×（﹣7）＝﹣1+14＝13，故选项B错误，符合题意； （﹣1）2﹣2×（﹣3﹣4）＝1﹣2×（﹣7）＝1+14＝15，故选项C正确，不符合题意； （﹣1）2﹣2×（﹣3+4）＝1﹣2×1＝1﹣2＝﹣1，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 7．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 8．（2023秋•中牟县期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…．文中的鸟巢共有（　　） A．93个 B．103个 C．94个 D．104个 【解答】解：9×9×9×9＝94（个）； 答：文中的鸟巢共有94个． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•长沙月考）已知a和b互为倒数，a+b＝4，求（a﹣b）2＝　12　． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∵a和b互为倒数，a+b＝4， ∴（a﹣b）2＝12， 故答案为：12． 10．（2024•南昌县校级模拟）“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为 　5.4×107　． 【解答】解：5400万＝54000000＝5.4×107． 故答案为：5.4×107． 11．（2024•静安区校级模拟）如果一个数的平方等于36，那么这个数是　﹣6或6　． 【解答】解：如果一个数的平方等于36，那么这个数是：﹣6或6． 故答案为：﹣6或6． 12．（2023秋•硚口区期末）新时代十年来，我国建成世界上规律最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数增加到13.6亿．将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是 　9　.（备注：1亿＝100000000） 【解答】解：13.6亿＝1360000000＝1.36×109， 则n＝9， 故答案为：9． 13．（2023秋•桑植县期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝3，则2017（a+b）﹣2cd+m＝　1或﹣5　． 【解答】解：由题意知，a+b＝0，cd＝1，m＝3或m＝﹣3， 当m＝3时，原式＝2017×0﹣2×1+3 ＝0﹣2+3 ＝1； 当m＝﹣3时，原式＝2017×0﹣2×1﹣3 ＝0﹣2﹣3 ＝﹣5； 综上，2017（a+b）﹣2cd+m的值为1或﹣5． 故答案为：1或﹣5． 14．（2023秋•献县期末）数学家发明了一个魔术盒，当任意“数对”（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：a2﹣b+1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32﹣（﹣2）+1＝12，现将“数对”（﹣3，﹣2）放入其中后，得到的数是　12　． 【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣3）2+2+1＝9+2+1＝12， 故答案为：12 三．解答题（共4小题） 15．（2024•盘龙区校级开学）计算： （1）（﹣+﹣）×（﹣12）； （2）﹣12024﹣（﹣3）2×[1+（﹣）2]÷（﹣5）． 【解答】解：（1）（﹣+﹣）×（﹣12） ＝ ＝6﹣8+9 ＝7； （2）﹣12024﹣（﹣3）2×[1+（﹣）2]÷（﹣5） ＝﹣1﹣9×（1+）÷（﹣5） ＝﹣1﹣9×÷（﹣5） ＝﹣1﹣10÷（﹣5） ＝﹣1+2 ＝1． 16．（2023秋•城关区校级期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为多少？ 【解答】解：根据题意，得 a+b＝0，cd＝1，m＝±2． 则 ＝0+2×（±2）2﹣3×1 ＝0+8﹣3 ＝5． 17．（2024•邯山区校级二模）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（■）﹣33．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■“是，请计算（﹣9）×（）﹣33； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于﹣9，请通过计算求出被污染的数字“■”． 【解答】解：（1）原式＝﹣9×（﹣）﹣27 ＝﹣27 ＝﹣； （2）﹣[（﹣9+33）÷（﹣9）] ＝﹣[（﹣9+27）÷（﹣9）] ＝﹣[18÷（﹣9）] ＝﹣（﹣2） ＝． 18．（2023秋•淮安区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【解答】解：（1）（+6）×（+2）＝12， （﹣5）×（﹣4）＝20， 因为20＞12， 所以其中的一个数抽﹣5，另一个数是﹣4时，最大值是20； （2）（﹣5）÷（+2）＝﹣2.5， 所以其中的一个数抽﹣5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是﹣2.5； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，运算式子为：（﹣5）×（﹣4）+6﹣2＝24（答案不唯一）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$