6.1 余弦定理与正弦定理（三））课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理（三） 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、余弦定理 ； ； 。 余弦定理能解决的题型： （1）已知“两边和夹角”，即“”型（一解） （2）已知“三边求三角”，即“”型（一解） 亳州五中 复习回顾 2、正弦定理（加强版） 。（为外接圆半径） 语言叙述： 在三角形中，各边和它所对角的正弦比等于外接圆直径。 正弦定理能解决的题型： （1）已知“两角和一角对边”，即“”型（一解） （2）已知“两角和夹边”，即“”型（一解） 亳州五中 问题探究 问题：在△中，已知两边和其中一边所对角 ，如何解三角形？ 已知两边和角，能否应用余弦定理或正弦定理解三角形？ 例如： （1）在△中，，，，求边； （2）在△中，，，，求边； （3）在△中，， ， ，求边。 请分别利用余弦定理和正弦定理求解，并从几何意义上解释。 亳州五中 问题探究 分析：利用余弦定理求解 （1）代入，得， 解得或。三角形有两个。 （2）代入，得， 解得或（舍）。三角形有一个。 （3）代入，得， 由△ 知，方程无解，所以无解。三角不存在。 结论：方程“正根”的个数，决定三角形解的个数。 亳州五中 问题探究 分析：利用正弦定理求解 （1）由，得，或。 当时， ，所以 ，； 当时， ，所以。三角形有两个。 （2）由，得，或。 ，，。所以。 由，得。三角形有一个。 （3） 由，得。所以角无解。三角不存在。 亳州五中 抽象概括 1、已知“两边及一边对角”三角形的个数判定 （1）方法一：余弦定理（已知“两边，角” ） 由，得。 关于“”的方程“正根”个数，就是三角形解的个数。 （2）方法二：正弦定理（已知“两边，角” ） 由，得。 ①若，三角形无解； ②若，则，再结合“大边对大角”进行取舍； ③若，求得角一锐角和一钝角（二者互补）， 再结合“大边对大角”进行取舍。 亳州五中 典例讲解 例1 （1）在△中，，，， 判定三角形解的个数； （2）在△中，，，， 判定三角形解的个数； （3）在△中，，，， 判定三角形解的个数； （4）在△中，，，， 判定三角形解的个数。 亳州五中 典例讲解 例2 在△中，内角所对的边分别为， 且，，。若满足条件的三角形有两个， 则的取值范围是（ ）。 A． B． C． D． 思考：利用余弦定理与正弦定理是否都能解决？能否利用 几何图形解释？ 亳州五中 典例讲解 例3 台风中心位于某市正东方300km处，正向西北方向移动，速大小为40km/h， 距离台风中心250km范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何 时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？（精确到0.1h） 解：如图，由题意知，，， 。由，得 ， 整理，得。 解得，。 所以，时间，， 持续（h）。 亳州五中 练习巩固 1、（P120练习1）在△中，已知，， ， 则 。 2、（P120练习2）在△中，分别根据下列条件解三角形，其中 有两解的是（ ），并说明理由。 A．，， B．，， C．，， D．，， 亳州五中 本节课学习了： 1、已知“两边及一边对角”三角形的个数判定 （1）方法一：余弦定理（已知“两边，角” ） 由，得。 关于“”的方程“正根”个数，就是三角形解的个数。 （2）方法二：正弦定理（已知“两边，角” ） 由，得。 ①若，三角形无解； ②若，则，再结合“大边对大角”进行取舍； ③若，求得角一锐角和一钝角，再结合“大边对大角”进行取舍。 课堂小结 亳州五中 作业布置 1、在△中，已知， ， ， 求角和边。 2、在△中，已知， ， ， 求角和边。 亳州五中 $$