6.1余弦定理与正弦定理（二）课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理（二） 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、余弦定理 ， ， 。 语言叙述： 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边 与它们夹角余弦积的两倍。 亳州五中 复习回顾 2、余弦定理的推论 ； ； 。 语言叙述： 三角形任何一个角的余弦等于夹这个角两边的平方和减去这个角 对边的平方的差除以夹这个角两边乘积的两倍。 亳州五中 问题探究 问题：利用余弦定理能解决题型 （1）已知两边及夹角，求第三边：已知边和角，求边； 即“”型（一解） （2）已知三边，求三角：已知，求角； 即“”型（一解） 在全等三角形的判定中，还有“”和“”定理。那么， （1）已知“两角和一角对边”，即“”型，如何解三角形？ （2）已知“两角和夹边”，即“”型，如何解三角形？ 亳州五中 问题探究 分析：如图，在中，，由锐角三角函数定义知， ， ，则 。 ，， 所以，。 对于等边三角形，上式显然；对其它三角形，等式还成立吗？ 亳州五中 问题探究 分析：如图，在斜中，，由三角函数定义知， ， ， 所以，，即。 同理，。 所以，。 亳州五中 抽象概括 1、正弦定理 。 语言叙述： 在三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。 思考：正弦定理共有几个公式？每个公式中涉及几个量？ 亳州五中 典例讲解 例1 （1）在△中，已知， ，， 求边； （2）在△中，已知，， ， 求边长。 总结：正弦定理能解“已知两角和一角对边，求另一角对边”题型。 亳州五中 典例讲解 例2 （1）在△中，已知， ，， 求边； （2）在△中，已知，， ， 求边。 总结：正弦定理能解“已知两角和夹边，求另外两边”题型。 亳州五中 问题探究 问题：如图，在中，，其外接圆的直径为斜边 ，即。由正弦定理，得 。 那么，对于斜三角形中，上式是否还成立？ 分析：如图，过斜三角形的一个顶点作其外接圆的直径。 亳州五中 抽象概括 2、正弦定理（加强版） 。（为外接圆半径） 语言叙述： 在三角形中，各边和它所对角的正弦比等于外接圆直径。 思考：对正弦定理的公式变形，能得出哪些公式？ 亳州五中 抽象概括 3、正弦定理的推论 （1），，； （2），，； （3）； （4）。 注意：利用正弦定理能将“同次边”与相应“同次角的正弦”互化。 亳州五中 典例讲解 例3 如图，△是半径为的⊙的内接正三角形。 求△的边长和△的外接圆的半径。 亳州五中 练习巩固 1、（P118练习2）在△中，已知，， ， 则 。 2、在△中，证明： （1）若，则； （2）若，则。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、正弦定理（加强版） 。（为外接圆半径） 语言叙述： 在三角形中，各边和它所对角的正弦比等于外接圆直径。 2、利用正弦定理能解决题型 （1）已知两角和一角对边，求另一角对边：已知角和边，求边； 即“”型（一解） （2）已知两角和夹边，求另两边角：已知角和边，求边。 即“”型（一解） 亳州五中 作业布置 1、在△中，已知， 求角。 2、在△中，已知， ， ， 求边及△外接圆半径。 亳州五中 $$