5.3利用数量积计算长度与角度课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.3 向量数量积的应用 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、向量数量积的定义与几何意义 （1）的模与在上的投影数量的乘积； （2）的模与在上的投影数量的乘积。 亳州五中 复习回顾 2、向量数量积的性质 （1）若是单位向量， 则； （2） ； （3），即； （4）（）； （5），当且仅当//时等号成立。 亳州五中 课题导入 导入：向量既有几何特征，又有代数特征，所以向量常作 为联系几何与代数的桥梁。由向量数量积的性质知，涉 及长度、距离、夹角、位置关系（垂直、平行）等几何 问题，通常可以运用向量的数量积加以解决。 本节课，将从以下两方面探讨向量数量积的应用： （1）利用数量积计算长度与距离； （2）利用数量积计算夹角或判断位置关系。 亳州五中 典例讲解 例1 已知向量， ，要使的值 最小，求实数的值。 解：（代数法）由已知得， 所以 。 当时， 取得最小值。 亳州五中 典例讲解 解：（几何法）如图，在平面直角坐标系中，作， ， 。以， 为邻边作□，则。 最小值，表示点到直线的距离。 设，， 在中，，。 。 所以，，，。 亳州五中 典例讲解 例2 用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的 平方和。 已知：四边形是平行四边形。 证明：。 证明：，。 ， 。 。 所以，。 亳州五中 典例讲解 例3 （1）已知定点和向量，点是直线外的一点，请写出 点到直线的距离的向量表示。 解：设，作向量。 点到直线的距离为。 （2）已知点，向量，过点作以向量为 方向向量的直线，求点到直线的距离。 解：求得直线的一个法向量。 点到直线的距离为。 亳州五中 抽象概括 1、点到直线距离公式的向量表示 （1）直线的法向量 与直线垂直的非零向量，叫作直线的法向量。 与向量垂直的一个非零向量为。 （2）点到直线距离公式 点是直线上任意点，点是直线外的定点，直线的一 个法向量为，那么点到直线的距离为。 亳州五中 典例讲解 例4 （1）（多选）已知， ，若△ 为直角三角形，则的值可以是（ ）。 A．１ B．2 C．4 D．6 （2）已知向量，，若与的夹角为 钝角，则实数的取值范围是 。 亳州五中 练习巩固 1、（P109练习4）已知，且。求证：。 2、（P111练习4）已知点，向量 ，过点作以 向量为方向向量的直线，求点到直线的距离。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、利用数量积求长度和距离 2、利用数量积求夹角或判断垂直关系 3、点到直线距离公式的向量表示 （1）直线的法向量 与直线垂直的非零向量，叫作直线的法向量。 与非零向量垂直的一个非零向量为。 （2）点到直线距离公式 点是直线上任意点，点是直线外的定点，直线的一个法向量为， 那么点到直线的距离为。 亳州五中 作业布置 1、P113 习题2-5B组 第1题； 2、P113 习题2-5B组 第3题； 3、P113 习题2-5B组 第4题。 亳州五中 $$