2.5.1 向量的数量积（二）课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§5 从力做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积（二） 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、向量数量积的定义 向量为非零向量，记两向量的夹角为或。 把称为向量与的数量积（或内积）。 记作，即 。 规定：与任一向量的数量积为0，即。 亳州五中 复习回顾 2、投影向量 如图，已知为非零向量，作， ，过点 向直线作垂线，垂足为，称 向量 为在上的投影向量。 （1）当时， 在上的投影向量与同向； （2）当时， 在上的投影向量与反向； （3）当时， 在上的投影向量为。 亳州五中 复习回顾 3、投影数量 如图，已知为非零向量，夹角为， 把称为向量 在向量上的投影数量。 （1）当时， 在上的投影数量为正数； （2）当时， 在上的投影数量为负数； （3）当时， 在上的投影数量为0。 亳州五中 复习回顾 4、向量数量积的几何意义 （1）数量积为的模与在上的投影数量的乘积； （2）数量积为的模与在上的投影数量的乘积。 亳州五中 问题探究 问题：向量的加、减法满足交换律和结合律；向量的数乘运算满足 分配律和结合律。向量的数量积满足什么运算律呢？ 对任意向量和实数， （1） ？ （2）？ （3）？ 如何证明上述的等式？ 亳州五中 抽象概括 1、向量数量积的运算律 对任意向量和实数， （1）交换律： ； （2）与数乘的结合律：； （3）关于加法的分配律：。 注意：数量积的运算律与实数和代数式的运算律相同。 亳州五中 问题思考 思考：下列结论是否成立？ （1）； （2）且。 结论：（1）向量的数量积不满足多个向量乘法的结合律； （2）向量的数量积不满足消去律（因为没有数除向量的运算）。 亳州五中 抽象概括 2、向量数量积的性质 （1）若是单位向量， 则； （2） ； （3），即； （4）（）； （5），当且仅当//时等号成立。 亳州五中 典例讲解 例1 已知，，与的夹角，求： （1）； （2） 。 亳州五中 典例讲解 例2 已知，是两个非零向量，满足， 求与的夹角。 亳州五中 典例讲解 例3 已知向量，，，其中，，且与的 夹角， 与的夹角，求在方向 上的投影数量。 亳州五中 练习巩固 1、（P109练习4）已知，且。求证：。 2、（P113练习1）已知，， ，求与的夹角。 3、（P113练习3）已知向量，，分别求出满足下列条件的，并给出 几何直观解释： （1），； （2），； （3）。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）与数乘的结合律：； （3）关于加法的分配律：。 2、向量数量积的性质 （1）若是单位向量， 则； （2） ； （3），即； （4）（）； （5），当且仅当//时等号成立。 亳州五中 作业布置 1、已知，为非零向量，证明： （1）的充要条件是； （2）的充要条件是。 亳州五中 $$