2.5.1向量的数量积（一）课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§5 从力做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积（一） 高一数学组 赵忠保 亳州五中 情境导入 情境问题：分析下面各种情境下力对物体作的功。 （1） （2） （3） （4） （5） 亳州五中 情境导入 问题：力对物体作的功是一个数量，可以看作力和位移 这两个向量的某种运算的结果。那么，如何定义向量这 种运算，这种运算的几何意义是什么？这种运算有什么 性质？ 亳州五中 抽象概括 1、向量数量积的定义 向量为非零向量，记两向量的夹角为或。 把称为向量与的数量积（或内积）。 记作，即 。 规定：与任一向量的数量积为0，即。 亳州五中 问题思考 问题：两个向量的乘积（内积）是一个数量，数量积的符号 取决于哪个量？为什么？ 结论：非零向量的数量积符号的确定 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； （4）当时，； （5）当时，。 亳州五中 问题思考 问题：向量的加法、减法、数乘向量都有几何意义。那么， 向量的数量积的几何意义是什么？ 在初中，学习三视图时，学过投影的概念。那么，如何 定义一个向量在另一个向量上的投影？ 亳州五中 抽象概括 2、投影向量 如图，已知为非零向量，作， ，过点 向直线作垂线，垂足为，称 向量 为在上的投影向量。 （1）当时， 在上的投影向量与同向； （2）当时， 在上的投影向量与反向； （3）当时， 在上的投影向量为。 亳州五中 抽象概括 3、投影数量 如图，已知为非零向量，夹角为， 把称为向量 在向量上的投影数量。 （1）当时， 在上的投影数量为正数； （2）当时， 在上的投影数量为负数； （3）当时， 在上的投影数量为0。 思考：向量在向量上的投影向量如何表示？ 亳州五中 抽象概括 4、向量数量积的几何意义 （1）数量积为的模与在上的投影数量的乘积； （2）数量积为的模与在上的投影数量的乘积。 亳州五中 抽象概括 5、向量数量积与投影数量的关系 （1） ， 在上的投影数量等于数量积除以的模； （2） ， 在上的投影数量等于数量积除以的模。 亳州五中 典例讲解 例1 已知向量与的夹角，且，。 （1）求； （2）求向量在方向上的投影数量。 亳州五中 典例讲解 例2 已知正三角形的边长为，，， ，求。 亳州五中 练习巩固 1、（P109练习1）已知向量与共线，且，，求。 2、（P109练习2）已知，，分别求在下列条件下的值。 （1） ； （2） ； （3）//。 3、（P109练习3）在△中，，，如果，试判断△ 的形状。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、向量数量积的定义 。 2、投影向量 向量在向量上的投影向量：。 3、投影数量 向量在向量上的投影数量：。 4、向量数量积的几何意义 （1）数量积为的模与在上的投影数量的乘积； （2）数量积为的模与在上的投影数量的乘积。 亳州五中 作业布置 1、在直角△中，，， 求的值。 2、已知单位向量，的夹角为，， 求在上的投影数量。 亳州五中 $$