4.2平面向量及运算的坐标表示（一）课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§4 平面向量基本定理及坐标表示 4.2 平面向量及运算的坐标表示（一） 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、平面向量基本定理 如果向量，不共线，那么对于平面内任意向量， 存在唯一实数对，，都有 。 特别地，若 ，则0。 其中， 称为平面向量的一组基。 注意：平面向量基本定理，也称平面向量分解定理。 亳州五中 问题探究 问题1：通过向量的几何意义进行向量的加法、减法、数乘 运算具有很多的局限性， 并且过程繁琐。那么，向量的 运算能否实现代数化？ 问题2：用有向线段表示向量时，长度相等，方向相同的有 向线段表示相等向量，与有向线段的起点位置无关。 在平 面直角坐标系中，如果把表示向量的有向线段的起点放在 原点，那么，终点是否是唯一确定的？ 亳州五中 问题探究 分析：如图，在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴同 方向的两个单位向量，作为标准正交基。 对任意向量，作。 显然，点唯一，设。 把向量沿，正交分解， 由平面向量基本定理，得 。 亳州五中 问题探究 分析： 对任意向量， （向量的位置向量） 。 所以 ，即。 亳州五中 抽象概括 1、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，向量，是轴、轴同方向的两个 单位向量，对任意向量，若，则称为 向量在标准正交基，下的坐标，记作 。 注意：（1）向量的坐标是基向量，的系数； （2）向量的坐标与点的坐标书写不同。 亳州五中 典例讲解 例1 如图，在平面直角坐标系中，为平行四边形， ，，。 （1）求向量的坐标； （2）求向量 的坐标。 亳州五中 抽象概括 2、平面向量线性运算的坐标表示 设，，则 （1）； （2）； （3）。 思考：（1）如何证明向量线性运算的坐标表示？ （2）向量的线性运算为什么要写成坐标的形式？ 亳州五中 典例讲解 例2 已知， ，求下列向量坐标： （1）； （2）； （3）。 注意：向量线性运算的结果要写成坐标的形式。 亳州五中 问题探究 问题：如果一个向量的起点放在坐标原点，那么向量的 坐标就是求位置向量的终点的坐标。如果一个向量 的起点不在坐标原点，起点，终点， 那么向量的坐标与点的坐标有何关系？ 。 亳州五中 抽象概括 2、向量的坐标与起点、终点坐标的关系 在平面直角坐标系中，设点，点， 则向量的坐标为 。 思考：向量平移后，向量的坐标是否改变？为什么？ 亳州五中 典例讲解 例3 已知， ， ， 且，求点的坐标。 注意：求点的坐标或未知向量的坐标，可以通过相等向量的坐标分别相等，建立坐标满足的方程组。 解法：（直接法） 求的坐标，代入已知； （转化法）都转化为以为起点的向量。 亳州五中 典例讲解 例4 设点，点，若是线段的 中点，求点的坐标。 中点坐标公式： 。 思考：由中点要想到三角形的中线，如何构造三角形？ 亳州五中 典例讲解 例5 已知点， ， ，用向量 方法求□的顶点的坐标。 解法：（方法一）对边平行且相等 ； （方法二）对角线互相平分。 注意：用向量法解决与平面几何有关的问题，注意几何 图形具有的性质。 亳州五中 练习巩固 1、（P104练习1）已知向量的坐标，求， 的坐标。 （1），； （2） ，； （3），；（4） ，。 2、（P104练习2）已知，，求 ，的坐标。 3、（P104练习3）已知两点的坐标，求， 的坐标。 （1），； （2） ，； （3），； （4） ，。 4、（P104练习4）已知作用在原点上的三个力，， ，求这些力的合力的坐标。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、平面向量的坐标表示 。 2、平面向量线性运算的坐标表示 设，，则 （1）； （2）； （3）。 3、向量的坐标与起点、终点坐标的关系 在平面直角坐标系中，设点，点，则向量的坐标为 。 亳州五中 作业布置 1、P105 习题2-4A组 第6题； 2、P105 习题2-4A组 第7题； 3、P105 习题2-4A组 第8题。 亳州五中 $$