4.1平面向量基本定理课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量的基本定理 高一数学组 赵忠保 亳州五中 复习回顾 1、向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算,统称向量的线性运算, 又称线性组合。向量的线性运算的结果还是一个向量。 2、共线(平行)向量基本定理 已知为非零向量,则 存在唯一实数,使。 亳州五中 问题探究 问题:向量,不共线,对任意实数,,都有 还是向量;反之,对于任意,是否都能 由,线性表示?即 。 简言之,是否可以由不共线的向量,生成平面内 的一切向量? 亳州五中 问题探究 分析:如图,向量,对任意向量, 由平行四边形法则,得 , 由共线向量基本定理,存在唯一实数,,使得 ,, 所以, ,即。 亳州五中 问题探究 分析:如图,向量不共线,对任意向量, 由平行四边形法则,得 , 由共线向量基本定理,存在唯一实数,,使得 ,, 所以, ,即。 亳州五中 抽象概括 1、平面向量基本定理 如果向量,不共线,那么对于平面内任意向量, 存在唯一实数对,,都有 。 特别地,若 ,则0。 注意:平面向量基本定理,也称平面向量分解定理。 亳州五中 抽象概括 2、平面向量的基 不共线向量,叫作平面向量的一组基, 记作。 若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基。 在正交基下的线性表示,叫作正交分解。 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为 标准正交基。 在标准正交基下的线性表示,叫作标准正交分解。 亳州五中 典例讲解 例1 如图,在 中,点分别为的中点, ,,用表示和。 亳州五中 典例讲解 例2 如图,已知点分别是 三边 上的点,且,,。 设 ,,选择基,试写出下列, ,在此基下的分解式。 亳州五中 问题探究 问题:在 中,设, ,点在边上, 试用表示满足下列各条件的向量: (1); (2); (3)。 通过上面的讨论,你能得到什么结论? 亳州五中 抽象概括 3、平面向量的爪子定理 在 中,点在边上,且,则 。 特别地,当时,即是的中点,则 。 称为三角形的中线向量定理。 亳州五中 典例讲解 例3 如图,在 中,是的中点,点在上, 且, 与交于点。 (1)求的值; (2)求的值。 亳州五中 练习巩固 1、(P101练习3)已知基,实数满足: , 求的值。 2、(P101练习4)已知 的两条对角线交于点,设 , 选择基,试写出下列下列在此基下的分解式: (1),; (2) ,。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了: 1、平面向量基本定理 如果向量,不共线,那么对于平面内任意向量,存在唯一实数对,,都有 。 特别地,若 ,则0。 2、平面向量的爪子定理 在 中,点在边上,且,则 。 特别地,当时,即是的中点,则 。 称为三角形的中线向量定理。 亳州五中 作业布置 1、P105 习题2-4A组 第1题; 2、P105 习题2-4A组 第2题。 3、P105 习题2-4A组 第4题。 亳州五中 $$