精品解析：2024年广东省广州市天河区中考二模数学试题

2024届初三毕业班综合测试 数学 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 欢欢放学回家看到弟弟用几个小正方体的积木搭建出如图的几何体，她用手机拍照得到这个几何体的三视图，其中左视图是（ ） A B. C. D. 2. 民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的，具有鲜明的艺术特色和生活情趣．下列剪纸图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ） A B. C. D. 4. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ） A B. C. D. 6. 彤彤在班上做节水意识调查，收集了班上位同学家里上个月的用水量（单位：）如下：7，5，13，6，9，11，5．这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A. 7，6 B. 6，7 C. 6，8 D. 7，8 7. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（ ） A. 5100 B. 3800 C. 2650 D. 588 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别是矩形的边，上的动点，点B关于直线对称的点刚好落在边上，与交于点O．连接，，以下四个结论：①四边形是菱形；②当点与点D重合时，；③的面积S的取值范围是；④当时，四边形的面积为．正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①② 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为），为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了60袋，测得它们的实际质量分析如表：则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 分装机 平均数 方差 甲 200 15.24 乙 200 7.83 12. 因式分解：=__________________ 13. 某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________． 14. 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4，则□ABCD的面积等于________． 15. 如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为________． 16. 中，，，点D是边的中点，把点D绕点B逆时针旋转得到点E，连接，则线段的最小值是________． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解分式方程． 18. 古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：． 19. 某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． （1）填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） （2）请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 20. 一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求y与t之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 21. 已知． （1）化简T； （2）若a，b互为相反数，求T的值． 22. 如图，中，是边的中点，，垂足是． （1）作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的值． 23. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， （1）求的长度（结果保留整数）； （2）若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 24. 如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接． （1）填空：当时，线段长的最大值是　　　　； （2）在正方形的边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由； （3）如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． （1）求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） （2）若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； （3）当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届初三毕业班综合测试 数学 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 欢欢放学回家看到弟弟用几个小正方体的积木搭建出如图的几何体，她用手机拍照得到这个几何体的三视图，其中左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据由左向右观察物体得到的图形判定即可． 【详解】解：在侧面内得到由左向右观察物体的左视图为 ， 故选：B． 2. 民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的，具有鲜明的艺术特色和生活情趣．下列剪纸图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，根据“旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形”判断即可． 【详解】解：A. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，是解决问题的关键． 将点代入正比例函数，得正比例函数的解析式为．根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，逐项判断． 【详解】∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， A．， 时，， ∴的图象不经过点； B．， 时，， ∴的图象经过点； C．， 时，， ∴的图象不经过点； D．， 时，， ∴的图象不经过点． 故选：B． 4. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，合并同类项，同底数幂的乘法，零次幂的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 运用立方根的运算可判定A；根据二次根式的加减运算可判定B；根据同底数幂的运算法则可判定C；非零数的零次幂的运算可判定D；由此即可求解． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B ． 5. 代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解： 代数式有意义， ， ． 故选：A． 6. 彤彤在班上做节水意识调查，收集了班上位同学家里上个月的用水量（单位：）如下：7，5，13，6，9，11，5．这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A. 7，6 B. 6，7 C. 6，8 D. 7，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，掌握平均数，中位数的计算方法即可求解． 【详解】解：将数据从小到大排序为：5，5，6，7，9，11，13， ∴中位数为第4个，即7， 平均数为，   故选：D ． 7. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案． 【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象开口方向、对称轴、与x轴交点个数和交点坐标分析即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵二次函数的图象对称轴为直线，经过点， ∴二次函数的图象经过点， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D 9. 如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（ ） A. 5100 B. 3800 C. 2650 D. 588 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为 第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为 第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为 第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为 … 由此发现规律是： 第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为， 第50个图形中长为1线段和为． 故选：A． 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别是矩形的边，上的动点，点B关于直线对称的点刚好落在边上，与交于点O．连接，，以下四个结论：①四边形是菱形；②当点与点D重合时，；③的面积S的取值范围是；④当时，四边形的面积为．正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次函数的函数值的范围，熟练掌握相关内容是解题的关键． 证明，即可证明四边形是菱形，故①正确；当点与点D重合时，设，则，得，解得，求得，利用勾股定理可求，由此可求，可判定②正确； 利用，而，可得到的面积S的取值范围是，可判定③错误；当时，可求得，即可求出梯形的面积，由此判定④． 【详解】解： 点B关于直线对称的点刚好落在边上， ，， 为矩形， ， ， 又 ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 当点与点D重合时，如图所示， 设，则， 由于四边形是菱形， ， ， 解得， ，， ， ， ， ，故②正确； , 当点与点D重合时，取得最大值，即， ， 当时，， 当时，， 在，随着值增大而增大， 的面积S的取值范围是，故③错误； 当时，如图， ， ， ， 四边形的面积为， 故④正确， 综上所述，①②④符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为），为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了60袋，测得它们的实际质量分析如表：则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 分装机 平均数 方差 甲 200 15.24 乙 200 7.83 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了方差判断数据的稳定性，比较方差大小后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 即方差小的为乙， ∴分装的茶叶质量更稳定的是乙． 故答案为：乙． 12. 因式分解：=__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式直接求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：； 【点睛】本题考查公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握． 13. 某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张，根据“40名学生恰好用去2900元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张， 依题意得：， 解方程得：． 即甲种套票买了10张． 故答案为：10． 14. 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4，则□ABCD的面积等于________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形性质推出AC=BD，根据矩形的判定推出平行四边形ABCD是矩形；求出AC长，根据勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式求出即可． 【详解】∵△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=2OA，BD=2OB， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. ∵OA=AB=4，AC=2OA=8，四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵在Rt△ABC中,由勾股定理得：BC=， ∴▱ABCD的面积是：AB×BC=4×4=16. 【点睛】此题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题关键在于求出AC长. 15. 如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，根据垂径定理可得，在直角三角形中，由边角关系可得的关系，从而可得的关系 【详解】解：如图， ∵是的直径，是弦，且， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴， 故答案为： 16. 中，，，点D是边的中点，把点D绕点B逆时针旋转得到点E，连接，则线段的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系求最值，作出辅助线，构造三角形证明全等，利用三角形三边关系是解题的关键．取中点，逆时针旋转到，连接，为三角形的中位线，根据中位线性质可得，利用旋转可得和都为等边三角形，由此可证，得到，在中，，即，将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，而，故点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理，，利用勾股定理可求，由此可求得线段的最小值． 【详解】解：取中点，逆时针旋转到，连接，如图所示， 点，分别为中点， ， 旋转到，逆时针旋转到， ，，， 和都等边三角形， ，， ， 又，， ， ， 在中，，即， 若将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，如下图所示， 都为等边三角形， ， 点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理， ， ， 此时，． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解分式方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解，再将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键．方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解． 【详解】解：， ， ， 解得， 检验：当，， 所以，是原方程的根． 18. 古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据，，，利用即可证明，从而得到． 【详解】解： ， ， ． 19. 某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． （1）填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） （2）请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．理解随机事件的定义，掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可判断； （2）画出树状图或者表格，可知一共有9种等可能的结果，小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有5种，利用概率公式即可得解． 【小问1详解】 因为没有《数学大爆炸》这本书，所以小聪不可能抽到《数学大爆炸》为不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 设A表示《生活中的数学》，B表示《数学家的故事》，C表示《奇妙数世界》，则用列表法列举如下： 小华 小聪 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 由表可知总的情况有9种，都是等可能性的，其中小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有：CA，CB，AC，BC，CC，共5种情况， 小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为：． 答：小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为． 20. 一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求y与t之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】（1） （2）平均每天至少要卸载48吨． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【小问1详解】 解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 21. 已知． （1）化简T； （2）若a，b互为相反数，求T的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键． （1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可； （2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 a，b互为相反数， ， ． 22. 如图，中，是边的中点，，垂足是． （1）作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的值． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线，构造相似三角形，结合其判定和性质是解题的关键． （1）以点圆心，以为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，作射线交于点，即可求解； （2）根据都是直角三角形，点为中点，可得点四点共圆，由可得是等腰直角三角形，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，于点， ∴即为所求线段； 【小问2详解】 解：如图所示，设交于点， ∵，中，，点是的中点， ∴点四点在以点为圆心，以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，即是等腰直角三角形， ， ∴， ∴． 23. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， （1）求的长度（结果保留整数）； （2）若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）的长度 （2）小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握构造直角三角形，运用锐角三角形求解是解题的关键． （1）在中，运用解直角三角形的方法可求出的值，在中，可求出的值，有次即可求解； （2）过点作，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，根据可得点到地面的距离，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，过点作于点， 由（1）可知，，，， ∴，， 在中，，则， ∴， ∵点到地面的距离为， ∴点到地面的距离为, ∵坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，， ∴小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 24. 如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接． （1）填空：当时，线段长的最大值是　　　　； （2）在正方形边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由； （3）如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系． 【答案】（1） （2）在线段上（与不重合）或在的中点与的连线段上（不与的中点重合）， （3）， 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，，，证明为的中位线，可得，结合，当三点共线时取等号，再进一步可得答案； （2）如图，取的中点，以为圆心，为半径画圆，交于，交于，证明，都为等腰直角三角形，过作于，则，可得，即，由不重合，可得不与重合，不与的中点重合，当以为等腰直角三角形的直角边时，以为边作正方形，此时正方形的另外两个顶点不可能落在正方形的边上，即不会落在正方形的边上，不符合题意，舍去；从而可得答案； （3）证明，，，，可得，可得，，即；结合，可得． 【小问1详解】 解：如图，连接，，，， ∵点M和点P分别是这两个正方形的对称中心， ∴为的中位线， ∴， ∵，当三点共线时取等号， 而四边形，为正方形， ∴共线时， ∴的最大值为， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，以为圆心，为半径画圆，交于，交于， ∵为直径， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴，都为等腰直角三角形， 过作于，则， ∴，即， ∵不重合， ∴不与重合，不与的中点重合， ∴在线段上（与不重合）或在的中点与的连线段上（不与的中点重合）， 当以为等腰直角三角形的直角边时，以为边作正方形， 此时正方形的另外两个顶点不可能落在正方形的边上，即不会落在正方形的边上，不符合题意，舍去； 综上：在线段上（与不重合）或在的中点与的连线段上（不与的中点重合）， 【小问3详解】 解：如图，∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形的中位线的性质，三角形的三边关系的应用，平行线分线段成比例，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． （1）求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） （2）若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； （3）当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点E的坐标为或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线求出，根据图象的平移的性质，即可得到抛物线：，顶点E的坐标为； （2）由于抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，分别讨论当抛物线经过原点时和抛物线不经过原点时两种情况．当抛物线经过原点时满足要求，将代入抛物线：，即可求出顶点E的坐标为；当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，此时，顶点E的坐标为； （3）① 画出图象可知，当时，抛物线纵坐标取值范围是，要满足题目要求，D点纵坐标要小于等于-1，即，同时点横坐标小于等于2，即，由此可解出m的取值范围； ② 存在一点F，满足，故点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，设，然后利用两点间的坐标公式，结合，化简可得，即是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，在，随着的增大而减小，根据函数增减性，即可求出点F的纵坐标的取值范围； 【小问1详解】 抛物线过点， ，解得， 抛物线． 向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，根据图象的平移，可得， 抛物线：． 其顶点E的坐标为． 【小问2详解】 抛物线与坐标轴有且只有两个公共点， ① 当抛物线经过原点时满足条件，如图所示， 将代入抛物线：， 得，即， 顶点E的坐标为． ② 当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，如图所示， 此时，，顶点E的坐标为． 综上所述，顶点E的坐标为或． 【小问3详解】 ① 当时，抛物线为：，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，如图所示， 当，， 点坐标为， 当，即，解得，， ，， 当时，抛物线纵坐标取值范围是， 当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等， 点纵坐标要小于等于-1，即，解得，或（由于，舍去） 同时点横坐标小于等于2，即，解得， 综上，． ② 存在一点F，满足， 点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，故设， ，， ， ， ，即， ， 整理化简得，， ， ， 二次函数的对称轴为直线，开口向下， 在，随着的增大而减小， 当时，，时，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，图象的平移，勾股定理，利用函数的增减性求函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$