精品解析：2024年江苏省南京市建邺区九年级中考第二次数学练习试题

2023—2024学年第二学期练习（二）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 2 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，用3个棱长为1正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是__，的倒数是__． 8. 历史上第一次测量月地距离的天文学家是希腊人西帕恰斯，他利用月食测量了月地距离是381000千米．将数据381000用科学记数法表示为__． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__． 10. 已知∠的补角是它的余角的4倍，则∠=_____． 11. 计算的结果是__． 12. 边长为2的正六边形的面积为_____________． 13. 如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为__． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 15. 如图，⊙O的直径是AB=12cm,AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD=x,BC=y，则y与x的函数解析式为______. 16. 如图，将边长为的正方形纸片的四个角分别切去边长为的小正方形，则在剩下的纸片中可剪得正方形面积最大值为__ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18 解方程组：． 19. 如图，在中，点是边的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 20. 甲，乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲，乙的速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲，乙的速度． 21. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，这个球是红球的概率为_________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到相同颜色球的概率． 22. 某单位订餐，有甲，乙两家公司可选择．该单位收集了家企业对两家公司的相关评价，并整理，描述，分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 统计量 公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）　　；比较大小：　　（填“”“”或“”）； （2）请你帮该单位选择合适的订餐公司，并简述理由． 23. 如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 24. 某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示． （1）　　，　　； （2）选择哪种套餐更划算？请说明理由． 25. 如图，在中，，点D是的中点，经过A，B，D三点的交于点E，的直径． （1）求证：； （2）当时，求的半径． 26. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． （1）当时，求的值； （2）当，且时，求的取值范围； （3）线段长最小值为　　． 27. 千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期练习（二）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：2的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、负整数指数幂及同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方、负整数指数幂及同底数幂除法法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：B． 3. 某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可． 【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得： ， 故选：C． 4. 如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据三角函数解直角三角形，折叠的性质等知识．先根据勾股定理求出，得到，根据折叠的性质得到，，进而求出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由题意得折叠得到， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：B 5. 如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，勾股定理，先将正方体展开，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图，， 所以最短路径是． 故选：A． 6. 若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是__，的倒数是__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相反数与倒数的意义，理解相反数与倒数的概念是解题的关键．根据相反数和倒数的概念解答即可． 【详解】解：的相反数是3； ， 的倒数是． 故答案为：，． 8. 历史上第一次测量月地距离的天文学家是希腊人西帕恰斯，他利用月食测量了月地距离是381000千米．将数据381000用科学记数法表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求答案． 详解】解：381000=， 故答案为：． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必需大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知∠的补角是它的余角的4倍，则∠=_____． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】先表示出这个角的补角和余角，然后再依据题意列出方程，从而可求得∠α的度数. 【详解】∠α的补角是180°−∠α，∠α的余角是90°−∠α， 根据题意得：180°−∠α=4（90°−∠α）， 解得：∠α=60°. 故答案为：60°. 【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出方程是解题的关键. 11. 计算结果是__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：原式 ， 故答案：． 12. 边长为2的正六边形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解． 【详解】解：∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB60°； ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2， ∴OG＝OA•＝2， ∴S△OABAB×OG2， ∴S六边形＝6S△OAB＝66． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，不仅要熟悉正六边形的性质，还要熟悉正三角形的面积公式． 13. 如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角及弧长的求解．连接，先求出所对圆心角的度数，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F， ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 15. 如图，⊙O的直径是AB=12cm,AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD=x,BC=y，则y与x的函数解析式为______. 【答案】y= 【解析】 【分析】作出辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理即可求出y关于x的函数解析式. 【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD、BC是它的两条切线， ∴∠OAD=∠OBF=90° 又DF⊥BC， ∴四边形ABFD为矩形， ∴DF=AB=12cm，BF=AD， ∵AD、BC、DC分别是圆O的切线， ∴DF=DA=x,CE=CB=y，CF=y-x； ∴DC=x+y 由勾股定理得DC2=DF2+CF2 即（x+y）2=(y-x)2+122, 整理得xy=36， ∴y= 【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再找出线段间的关系. 16. 如图，将边长为的正方形纸片的四个角分别切去边长为的小正方形，则在剩下的纸片中可剪得正方形面积最大值为__ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析出，当最大，且能剪成正方形是满足条件的面积最大，先证明，得出，再证明，列式代入计算得出再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：当剩下的纸片的面积运用率最大时，则剪得正方形面积有最大值， 如图：此时最大，且能剪成正方形是满足条件的面积最大， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵纸片是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∵将边长为的正方形纸片的四个角分别切去边长为的小正方形 ∴， ∴ ∴ 则 即 整理得 解得（舍去）， 经检验：是原方程的解 ∴ 则 ∴正方形的面积 故答案为：15． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 【详解】解：原式 当，时，原式． 18. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可得答案． 【详解】解： 将，得，③ 将，得，④ ，得，， 将带入①，得， ∴方程组得解为． 19. 如图，在中，点是边的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，利用证明，可得，即可证明四边形是平行四边形，进而可得结论； （2）根据平行四边形的性质得出，即可得出，进而得出四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． 20. 甲，乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲，乙的速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲，乙的速度． 【答案】甲的速度为，则乙的速度为． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系列出方程是解题关键．根据甲乙速度的比例关系分别设他们的速度为，，根据题意列出分式方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，则乙的速度为． 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴，． 答：甲的速度为，则乙的速度为． 21. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，这个球是红球的概率为_________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到相同颜色球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，可知共有9种等可能的结果，满足条件的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，袋子中装有2个红球和1个白球， 则任意摸出1个球，这个球是红球的概率； 【小问2详解】 根据题意作树状图，如下， 由图可知，共有9种可能结果，满足条件的结果有5种， ∴次摸到相同颜色球的概率为． 【点睛】本题考查了概率的计算公式及列举法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题关键． 22. 某单位订餐，有甲，乙两家公司可选择．该单位收集了家企业对两家公司的相关评价，并整理，描述，分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 统计量 公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）　　；比较大小：　　（填“”“”或“”）； （2）请你帮该单位选择合适的订餐公司，并简述理由． 【答案】（1）， （2）选择甲公司，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据条形统计图和中位数的定义即可求出，根据折线统计图和方差的计算公式求出，据此即可求解； （）根据平均数、中位数、方差判断即可求解； 本题考查了条形统计图，折线统计图，中位数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得，甲公司的配送速度得分为：， ∴中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由折线统计图可得，甲公司的服务质量得分为：， ∴， 甲公司的服务质量得分为：， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择甲公司订餐公司更合适，理由：甲公司配送速度得分的平均数、中位数、服务质量得分的平均数与乙公司都相同，但甲公司服务质量得分的方差更小，服务质量更稳定，所以选择甲公司更合适． 23. 如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 【答案】隧道的长度 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点P作于F，设长为x．在和以及，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可． 【详解】解：过点P作于F，设长为x． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， 在中，由， ∴， ∴， ∴ 即隧道的长度． 24. 某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示． （1）　　，　　； （2）选择哪种套餐更划算？请说明理由． 【答案】（1）； （2）当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据“单价＝总价÷数量”，结合套餐收费方案计算即可求出，结合套餐收费方案计算即可求出； （2）先根据，两种流量套餐的收费方案列出函数关系式，再分三种情况讨论求解即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【小问1详解】 解：∵套餐按实际使用的流量收费，当使用为时，费用为元， ∴（元）， ∵套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，当使用为时，费用为元， ∴（元） 故答案为：；； 【小问2详解】 根据，两种流量套餐的收费方案可知： ， ，即， 当时，解得：， 当时，解得：， ∴当或时，，选套餐划算； 当或时，，、套餐一样划算； 当时，，选套餐划算； ∴当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算． 25. 如图，在中，，点D是的中点，经过A，B，D三点的交于点E，的直径． （1）求证：； （2）当时，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理推论可得是直径，从而，根据弧、弦、圆心角的关系可知，根据垂径定理有，即可证明； （2）连接，结合（1）中结论，根据等弧所对的圆周角相等可得，易证，从而，由条件及（1）的证明可知，代入数值求出的值，再利用勾股定理求出的长度，从而求出的半径． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， 是直径， 直径， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 点D是的中点， ， ， ， 是直径， ， ， 直径， ， ， ， ，即， ， 由勾股定理有， 的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． 26. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． （1）当时，求的值； （2）当，且时，求的取值范围； （3）线段长的最小值为　　． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键． （1）把代入得，可得，即可求解； （2）把代入得，把代入得，分类讨论，利用数形结合思想即可解决； （3）先表示出，再由一元二次方程根于系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ∵ 图像与x轴的公共点为，， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得， 把代入得， 当时，则， ∴． 当时，则， ∴． 综上所述，m的范围是：或； 小问3详解】 解：把代入得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27. 千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$