精品解析：2024年北京市大兴区中考二模数学试题

大兴区2023～2024学年度第二学期期末检测 初三数学 2024.05 考生须知 1.本试卷共7页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答、其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 2. 截至年月中旬，年全民健身线上运动会已上线项赛事，累计参赛人数达到万，证书总发放量达万张．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 7. 如图，点在上，为的中点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 10. 分解因式：3a2-3__． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 14. 如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是______． 15. 在四边形中，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 三、解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 21. 如图，在中，，分别是的中点，连接，是线段上一点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．A队学生的身高： 165 167 168 170 170 170 171 172 173 174 b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： c．B队学生身高的数据在这一组的是： 169 169 169 170 d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A队 170 170 m B队 170 n 169 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）； （3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2，下列推断合理的是______（填序号）． ①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2； ②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 24. 综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 15625 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象． 根据以上信息，解决下列问题： （1）当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； （2）当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； （3）下列推断合理是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． （4）当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 25. 如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，且 （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大兴区2023～2024学年度第二学期期末检测 初三数学 2024.05 考生须知 1.本试卷共7页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答、其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 根据几何体的展开图可进行求解． 【详解】解：由图可知该几何体是圆锥； 故选D． 2. 截至年月中旬，年全民健身线上运动会已上线项赛事，累计参赛人数达到万，证书总发放量达万张．将用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，掌握其表示形式，确定值的方法是解题的关键． 根据科学记数法的形式，确定的方法是看把原数变为时，小数点的移动；当小数点向左移动几位时，的值就是几；当小数点向右移动时，的值为移动位数的相反数；由此即可求解． 【详解】解：，   故选： ． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，A，B两点在数轴上表示数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是解题的关键．根据数轴判断出，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，，，， 故选：B． 5. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率． 画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果． 【详解】解：用甲表示“文明交通”宣传队，用乙表示“垃圾分类”宣传队，根据题意得，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选到同一个宣传队的有2种，则小明和小亮恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，，   故选：B ． 7. 如图，点在上，为的中点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据点是的中点，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，点是中点， ∵， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】x≠5 【解析】 【详解】试题分析：依题意得：x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5． 考点：分式有意义的条件． 10. 分解因式：3a2-3__． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再对余下的的多项式利用平方差公式继续分解. 【详解】3a2-3=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)； 故答案是；. 【点睛】本题考查的知识点是用提公因式法和公式法进行分解，解题关键是熟记因式分解的方法. 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后解方程并检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°， ∴n=360÷60=6． 故答案为：6． 14. 如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得，由垂径定理得，，进而根据勾股定理即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 15. 在四边形中，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，运用根据，或添加条件是解题的关键． 【详解】解：添加条件， 在和中， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 三、解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分别根据二次根式化简，负整数指数幂的运算法则，化简绝对值、特殊角的三角函数值计算出各数，再进行合并计算即可，熟知二次根式化简，负整数指数幂的运算法则，化简绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把变形后整体代入即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 20. 在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 21. 如图，在中，，分别是的中点，连接，是线段上一点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，点分别为中点，可证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由此即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，连接，根据菱形的性质可得，的长，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． 点分别为中点， ，． ． 四边形是平行四边形． ，点为中点， ． 四边形菱形． 【小问2详解】 解：连接，交于点． 在中， ，，， （舍负）． ， ． ， ． ∵四边形是菱形， ∴是的中点，． ，． ． 在中， ， （舍负）． 22. 某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．A队学生的身高： 165 167 168 170 170 170 171 172 173 174 b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： c．B队学生身高的数据在这一组的是： 169 169 169 170 d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A队 170 170 m B队 170 n 169 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）； （3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2，下列推断合理的是______（填序号）． ①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2； ②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2． 【答案】（1）， （2）B队 （3）① 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据两个队的方差进行判断即可； （3）先求出两种情况下的方差，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵A队学生身高出现最多的是170， ∴， ∵将B队学生身高从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为169，170， ∴中位数． 【小问2详解】 解：∵A队学生身高的方差为，A队学生身高的方差为，且， ∴A，B两队舞台呈现效果更好的是B队； 【小问3详解】 解：①此时5名学生身高的平均数为： ， 此时5名学生身高的方差为： ， ∴5名学生身高的平均数大于171，方差小于2，推断合理； ②此时5名学生身高的平均数为： ， 此时5名学生身高的方差为： ， ∴5名学生身高的平均数大于171，方差大于2，推断不合理． 故答案为：① 【点睛】本题主要考查了中位数、众数的定义，求方差，根据方差进行判断，解题的关键是熟练掌握相关定义，方差的计算公式，准确计算． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：由题意，得时直线在直线的上方， 当时，， 把代入，得，解得， 如图： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 24. 综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象． 根据以上信息，解决下列问题： （1）当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； （2）当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； （3）下列推断合理是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． （4）当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 【答案】（1）100 （2）cm （3）② （4）400 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把x的值代入函数解析式计算即可； （2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，再代入的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 当剪去小正方形的边长x为10cm时， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：∵，， 当时，取最大值，最大值为， 即当无盖纸盒的侧面积取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为； 【小问3详解】 ①∵，， ∴当时，随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； 故①不合理， ②由的图象可知，当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于，故②合理； ③由的图象可知，当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x除了10cm，还有一个值在1和2之间． 故③不合理； 故选：②； 【小问4详解】 由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即， 此时， 故答案为：400． 25. 如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交延长线于点，且 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接．利用等腰三角形的性质及平行线的判定证．得．从而即可得证． （）连接，由，得．然后证．得．从而．在和中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， 在中， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，圆周角定理的推论，切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形，直角三角形的性质以及圆周角定理的推论是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由．得到．则．证明，，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下： 【小问2详解】 证明：连接． ∵点D关于直线的对称点为E，， ，． ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 用等式表示线段与的数量关系是：． 证明：连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$