精品解析：2024年 江苏省苏州市振华中学校中考数学二模试卷

苏州市振华中学校2023-2024学年第二学期初三年级中考模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一分钟仰卧起坐是监测学校体育与健康教育质量的一个项目．某校随机抽取了八年级10名女生的一分钟仰卧起坐测试数据进行统计，分别是40,38,32,34,40,38,45,50,40,45，那么这组数据的众数与中位数分别是（ ） A. 40，38 B. 40，39 C. 38，40 D. 40，40 6. 已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，x的取值范围是______． 10. 分解因式：________． 11. 如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______． 12. 如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是________． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是________． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为________． 16. 如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点P，若的最小值为，则点B的坐标为________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简再求值：，其中． 20. 在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． （1）证明：； （2）若，，平分，求的长． 21. 苏州园林，是中国传统园林艺术的瑰宝，以其精美的景观和独特的设计而闻名于世，其中沧浪亭、狮子林、拙政园和留园代表着不同朝代的艺术风格被并称苏州四大园林，小明和小丽分别挑选四个园林中的一个游玩，假设选择每个园林的可能性相同． （1）小明选择拙政园游玩的概率为________； （2）用树状图或列表法，求他们两人选择不同园林游玩的概率． 22. 为落实“双减”政策，某校积极开展社团活动，丰富学生的课余生活，为了解学生对社团种类（：体育类，：艺术类，：文学类，：科技类）的兴趣情况，在全校范围内随机抽取了部分学生进行统计，收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了________名学生进行调查统计，扇形统计图中的类所对应的扇形圆心角为_____； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，请估计该校喜欢文学类和科技类的学生共有多少人？ 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 24. 我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 25. 如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 26. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： （1）如图①，在等边三角形中，点M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在等腰三角形中，，点M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在等腰直角三角形中，，点E为线段上一点，点D为斜边上一点，满足，过C作交延长线于F，若，，则_____． 27. 如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点为轴上一个动点，则最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市振华中学校2023-2024学年第二学期初三年级中考模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：80.16亿， 故选：B． 3. 如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面应该看到有3列，从左到右正方形的个数为2，1，1，即可解答． 【详解】解：选项A、C、D从左面看都可以看到有3列，且从左到右正方形的个数为2，1，1，故选项A、C、D不符合题意； 选项B从左面看只能看到2列，故B选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 故选：C． 5. 一分钟仰卧起坐是监测学校体育与健康教育质量的一个项目．某校随机抽取了八年级10名女生的一分钟仰卧起坐测试数据进行统计，分别是40,38,32,34,40,38,45,50,40,45，那么这组数据的众数与中位数分别是（ ） A. 40，38 B. 40，39 C. 38，40 D. 40，40 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的概念，正确理解中位数和众数的概念是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的概念即得答案． 【详解】将数据从小到大排列为32, 34, 38, 38,40, 40, 40, 45, 45, 50，在这一组数据中40出现了3次，次数最多，故众数是40；处于中间位置的两个数是40，40，故这组数据的中位数是． 故选：D． 6. 已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内符号特征，解一元一次不等式，根据第四象限的点的横坐标是正数可得不等式，求出解集，即可得出答案． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 7. 设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【详解】解： ， ， A、，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B．，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C．，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故C正确； ，故选项C正确； D．，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项D错误； 故选：C． 8. 如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用代数分别表示全等直角三角形两直角边的长及正方形面积，再根据全等三角形性质推理求得全等直角三角形两直角边的长，利用垂直平分线的判定证明后可得，最后利用相似三角形性质即可求解． 【详解】解：设全等直角三角形长直角边为，短直角边为，，， ，， 依题得：， ， ， ，， ，， ，， 在线段的垂直平分线上， 在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ， 正方形中，， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练 掌握相似三角形的判定与性质． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握常用因式分解方法．运用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键．分别求得边长为3的正方形的面积以及阴影部分的面积，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意，边长为3的正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴这只青蛙跳入阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ，即， ∴． 故答案为： 14. 我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接格点B、D，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：连接格点B、D， 由题图知：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点P，若的最小值为，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线， 点与点关于直线成轴对称， ， ， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴当、P、B在同一直线上时，最小，即最小，且最小值为， ∴此时， 将点代入， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， ∴， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，两点间距离公式，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算、负整数指数幂运算、零指数幂运算以及算术平方根等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据乘方运算法则、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则以及算术平方根的性质进行运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】 ∵ ∴原式． 20. 在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． （1）证明：； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得，然后证明结论即可； （2）证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵是的中点，，， ∴，， ∴在中，． 21. 苏州园林，是中国传统园林艺术的瑰宝，以其精美的景观和独特的设计而闻名于世，其中沧浪亭、狮子林、拙政园和留园代表着不同朝代的艺术风格被并称苏州四大园林，小明和小丽分别挑选四个园林中的一个游玩，假设选择每个园林的可能性相同． （1）小明选择拙政园游玩的概率为________； （2）用树状图或列表法，求他们两人选择不同园林游玩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握简单概率公式和正确作出列表是解题关键． （1）根据简单概率计算公式求解即可； （2）结合题意作出列表，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，苏州四大园林：沧浪亭、狮子林、拙政园和留园， 小明选择拙政园游玩的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 分别用表示沧浪亭、狮子林、拙政园、留园， 根据题意，作出列表如下， 小明 小丽 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小丽选择不同园林游玩的有12种结果， ∴他们两人选择不同园林游玩的概率． 22. 为落实“双减”政策，某校积极开展社团活动，丰富学生的课余生活，为了解学生对社团种类（：体育类，：艺术类，：文学类，：科技类）的兴趣情况，在全校范围内随机抽取了部分学生进行统计，收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了________名学生进行调查统计，扇形统计图中的类所对应的扇形圆心角为_____； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，请估计该校喜欢文学类和科技类的学生共有多少人？ 【答案】（1）50，36 （2） 补画条形统计图如下： （3）390人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“类学生人数其占比”，即可求得抽取学生总数；利用“学生总数类学生人数类学生人数类学生人数”即可求得类学生人数，然后根据“类学生人数占比”求解即可； （2）结合（1）补画条形统计图即可； （3）根据“学生总人数参与调查的学生中喜欢文学类和科技类的学生占比”，即可求得答案． 【小问1详解】 解：人， ∴这次共抽取了50名学生进行调查统计， 类学生人数为人， 则， ∴扇形统计图中的类所对应的扇形圆心角为． 故答案为：50，36； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人， 答：估计该校喜欢文学类和科技类的学生共有390人． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据题意可得，，结合，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 设，则， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， 整理可得 解得或， ∴点的坐标为或． 24. 我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】建筑物的长约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可． 【详解】解：设米，延长交于，作于，于， ， 在中， 米，， ， ， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中， ， 米， 米， 米， 米， 在中， ， ， ， 米， 米， 答：建筑物的长约为米． 25. 如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆周角定理的推论，切线的性质，相似三角形的判定和性质定理． （1）先证明，，再证明，进而得到，即可得到结论； （2）由勾股定理得，再证明，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ． 26. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： （1）如图①，在等边三角形中，点M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在等腰三角形中，，点M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在等腰直角三角形中，，点E为线段上一点，点D为斜边上一点，满足，过C作交延长线于F，若，，则_____． 【答案】（1）， 理由：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，利用等式的性质得出，证明，利用相似三角形的性质即可得证； （3）证明，得出，根据，得出，则可求，利用平角定义和三角形内角和定理可得出，利用平行线的性质得出，则可证，得出，过A作交于G，则是等腰直角三角形，得出，，，证明，利用相似的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵等腰直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去） ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过A作交于G ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形和相似三角形是解题的关键． 27. 如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点为轴上一个动点，则最小值为_______． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法求解即可； （2）连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N，利用等面积法求出，，证明，求出，，可得M的坐标，求直线解析式，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组，解方程组可求点G坐标； （3）取点，作直线，过Q作于H，过B作于M，利用勾股定理求出，利用同角的正弦值相等可得出，求出，则，故要求的最小值，只需求的最小，当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为，证明，利用相似三角形的性质求出得，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入可得， ， 解得， 抛物线的解析式是 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴ ∴存在点，使； 【小问3详解】 解：取点，作直线，过Q作于H，过B作于M， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的最小值，只需求的最小， 当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $