精品解析：2024年山东省泰安市肥城九年级中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质生活的顺利又代表着精神生活的满足．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位，其中54万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. 80° B. 76° C. 66° D. 56° 6. 如图所示，四边形为的内接四边形，E为延长线的上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 8. 如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足二尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，函数的最大值是8 C. 当时，直线与该图象恰有三个公共点 D. 关于x的方程的所有实数根的和为3 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 计算：________． 14. 已知二次函数，当时，函数的最大值为________． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 16. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________米（结果精确到米）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 17. 如图，图中数字是从开始按箭头方向排列的有序数阵．从开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：，，，，，，如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律、请写出第个数对：_____． 18. 如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）． 19. （1）解不等式 （2）用配方法解一元二次方程； 20. 为落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩（成绩满分100分），绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 分数 人数 A组 4 B组 C组 10 D组 E组 14 合计 （1）本次共调查了多少名学生？C组所在扇形的圆心角为多少度？ （2）该校共有学生1800人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ （3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为，，，，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到，的概率． 21. 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）过动点作x轴的垂线l，l与一次函数和反比例函数的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围． 22. 泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值． （2）第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，过点E作分别交于G，H两点． （1）求证：； （2）请判断的位置关系，并说明理由； 24. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算即可求解． 【详解】解：、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算，掌握整式的混合运算是解题的关键． 3. 在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质生活的顺利又代表着精神生活的满足．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 4. 党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位，其中54万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：54万亿， 故选：B． 5. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. 80° B. 76° C. 66° D. 56° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 如图所示，四边形为的内接四边形，E为延长线的上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质和补角的性质求出，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可． 【详解】解：由图可得甲班视力值分别为：； 从小到大排列为：；中位数为， 平均数为；极差为 方差为； 乙班视力值分别为：； 从小到大排列为：，中位数为 平均数为；极差为 方差为； 甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质得出是等边三角形，进而通过三角形全等证得，从而求得，利用即可求得． 【详解】解：连接，延长，交于E， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，求得是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C正确； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故错误； 故选：D． 10. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足二尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设木长x尺，绳长y尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，列出方程组即可． 【详解】解：设木长x尺，绳长y尺，根据题意得： ， 故选：C． 11. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证． 【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点， ∴，，， ∴,， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 若， 则平行四边形是矩形， 由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知， E点到B、C两点的距离相等， ∴E点在的垂直平分线上， 由，可得， 所以N点是的中点， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； 若，则， 如图1，分别过D、E两点向作垂线，垂足分别为Q点和P点， ∴， ， ∵E点是中点， ∴， ∵，， ∴， ， 故③错误； 若， 因为， 所以， 分别过N、C两点向作垂线，垂足分别为H、K， 由平行线间的距离处处相等可知：， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵， ∴， 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综合分析能力有一定的要求． 12. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，函数的最大值是8 C. 当时，直线与该图象恰有三个公共点 D. 关于x的方程的所有实数根的和为3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C正确；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D错误．利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A错误； 由图象可得，函数没有最大值，故B错误； 如图，当时，直线， 当时，，当时，，则， 即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图， 此时直线与该图象恰有三个公共点， 故C正确； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，立方根，0次幂，绝对值，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，函数的最大值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 16. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________米（结果精确到米）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 【答案】19.2米 【解析】 【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G， 则四边形为矩形， ∴米，． ∴． ∴． 中，，（米）． ∴（米）． 中，， ∴（米）． ∴（米）． 故答案为：19.2米． 【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键． 17. 如图，图中数字是从开始按箭头方向排列的有序数阵．从开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：，，，，，，如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律、请写出第个数对：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，当时代入即可求解，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解题的关键． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个数为：， ∴第n个数对为：， 当时，即第个数对为， 故答案为：． 18. 如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的性质，连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点，则四边形为矩形， 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 由折叠的性质可得可得， 在中，由勾股定理得， ， 解得或，即或． 在中，设， 当时，，，， 由勾股定理得，， 解得，即， 当时，，，， 由勾股定理得，， 解得，即． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）． 19. （1）解不等式 （2）用配方法解一元二次方程； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组和解一元二次方程． （1）分别求出不等式组中短一个不等式的解集，再根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的解集即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组解集是； （2）， ， ， ， ， ， ∴． 20. 为落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩（成绩满分100分），绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 分数 人数 A组 4 B组 C组 10 D组 E组 14 合计 （1）本次共调查了多少名学生？C组所在扇形的圆心角为多少度？ （2）该校共有学生1800人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ （3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为，，，，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到，的概率． 【答案】（1）50，72； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计表，扇形统计图，样本容量，画树状图求概率，掌握统计图的意义，并能灵活运用画树状图法进行相关计算是解题的关键． （1）根据样本容量=样本中某项目的频数除以该项目所占的百分数，求得样本容量，利用圆心角度数=某项目所占的百分数乘以，计算即可； （2）计算出各组的人数,利用样本估计总体的思想计算即可； （3）利用画树状图法计算概率； 【小问1详解】 解：∵样本容量， ∴共有50人参与调查； ∴等级C组所对应的扇形的圆心角为：， ∴本次共调查了50名学生，C组所在扇形的圆心角为72度； 【小问2详解】 B组人数：（人） D组人数：（人） 该校优秀人数：（人）； 【小问3详解】 解：列树状图如下： 共12种等可能出现的情况，其中恰好抽到，的有2种， （抽到，）． 21. 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）过动点作x轴的垂线l，l与一次函数和反比例函数的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键． （1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案； （2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案； （3）直接由函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 把代入反比例函数得， ， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 联立， 解得或， ∴， 令直线与x交于点C，如图， 当时，， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 由图象可得： 当M在N的上方时，t的取值范围为：或． 22. 泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值． （2）第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）60 （2）购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用； （1）根据用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可； （2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出m范围，设总利润为w元，根据总利润=A的单件利润×数量+B的单件利润×数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，解得， 经检验是原方程的解， ∴x的值为60． 【小问2详解】 解：设A为m袋，则B为袋， 由题知：， 解得， 设总利润为w元， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，， ∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元． 23. 如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，过点E作分别交于G，H两点． （1）求证：； （2）请判断的位置关系，并说明理由； 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）， 理由如下： 如图，连接， ∵，F为的中点， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，关键是证明三角形全等． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出即可证出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再判定，即可得出，据此完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）证明，得，即可得出结论； （3）先证明，求出，进而得出，设，，列方程求出，结合（2）中结论即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 设，， 在中，， 解得． ∴，． ∴． 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析 【解析】 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系， 则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $