精品解析：广东省 湛江市吴川市实验学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

吴川市实验学校2023-2024学年度初三级学科综合训练 数学训练卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 使二次根式有意义的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 不等式x+1＞2x﹣1的解集为( ) A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x＞2 D. x＜2 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 9. 如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2......按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 12. 因式分解＝_____． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则_________，__________． 14. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 15. 甲、乙两同学近四次数学测试成绩的平均分都为分，且，则成绩比较稳定的是 __． 16. 如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为______． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，是它的一条对角线． （1）求证：； （2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 20. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集：______； （3）求的面积． 22. 如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）求证：是切线； （3）连接交于点F，若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段、、的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D． ①求的最大值； ②连接，当与相似时，求点P的坐标． 25. 新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ； ②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ； 【猜想论证】 （2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形） 【拓展应用】 （3）如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴川市实验学校2023-2024学年度初三级学科综合训练 数学训练卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】利用相反数的符号法则和绝对值意义化去符号后，再判断即可． 【详解】-（-3）=3，+ (-5)=-5，-[-(-5)]=-5，-（-7）=7，-|-7|=-7， A、相等，B、相等，C、互为负倒数，D、互为相反数． 故选择：D． 【点睛】本题考查互为相反数及绝对值意义，关键是掌握相反数的符号法则，和绝对值意义． 2. 新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，一般形式为，这里n为正整数，，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，按照此方法即可把0.0000014用科学记数法表示出来． 【详解】0.0000014． 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，这里n为正整数，，正确确定a与n是解题的关键． 3. 使二次根式有意义的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可 【详解】解：二次根式有意义，则， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 4. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行判断． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于x坐标轴的对称点的特征求解即可 【详解】∵， ∴点关于轴的对称点为：， ∴点关于轴的对称点在第三象限， 故选：C 【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键 6. 不等式x+1＞2x﹣1的解集为( ) A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x＞2 D. x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解法即可求解. 【详解】解 -x＞-2，x＜2， 故选D. 【点睛】此题主要考查不等式的解法，解题的关键是熟知不等式的性质. 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解： 即 的值在4和5之间， 的值在4和5之间， 故选：B． 8. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可． 【详解】解：A．极差，故选项不符合题意； B．中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意； C．5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意； D．平均数为，故选项不符合题意， 故选：B． 9. 如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据及内角和求出，又因得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是求出． 10. 如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2......按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的直角边是斜边的，从而得到，，，，……，由此得到规律，即可求解． 【详解】解：∵△CDE是以CD为斜边等腰直角三角形， ∴DE=CE，∠CED=90°， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边是斜边的， ∴， ， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 11. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①错误；通过导角能得出，得，从而证明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点作于，于，将转化为，从而判断④成立． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在正方形中， ，， ， ， 故①错误； ，， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ，， ， ， ， 故③正确； 如图，过点作于，于， 正方形的边长为2，为正三角形， ，， ， ，， ， ， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 12. 因式分解＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则_________，__________． 【答案】 ①. 0 ②. 0 【解析】 【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值． 【详解】将1代入方程得：， 即； 将﹣1代入方程得：，即； 故答案为0，0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键． 14. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 15. 甲、乙两同学近四次数学测试成绩的平均分都为分，且，则成绩比较稳定的是 __． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，， ∴， ∵甲、乙两同学近四次数学测试成绩的平均分都为分， ∴方差越小，波动越小， ∴成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙． 16. 如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、矩形的性质，由矩形的性质及折叠的性质得，设，则，在中，利用勾股定理即可求解，熟练掌握基础知识，利用方程的思想及数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图： 四边形是矩形， ， ， 根据题意得：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．学会因式分解是解决这个问题的关键． 首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分得出化简结果，最后将x的值代入化简后的式子得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在中，是它的一条对角线． （1）求证：； （2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2） 如图所示，     【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，再由，即可证明； （2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，基本作图，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 20. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）将代入，解方程即可； （2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ， 即，， 解得：，； 【小问2详解】 解：该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集：______； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值． 【小问1详解】 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ∴， 把、代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：；． 【小问2详解】 由图象可知当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【小问3详解】 设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于， ∵，， ∴， ∵一次函数的解析式为， ∴． ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键． 22. 如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】（1）菜鸟驿站与超市的距离约为 （2） 解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，先根据三角函数求出的长，再根据三角函数求的长即可； （2）先根据三角函数求出的长，再计算即可． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点，则， 由题意可知，，，， ，是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站与超市的距离约为． 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）求证：是切线； （3）连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 证明：以为直径的交于点， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图， 为直径， ， 为的斜边的中点， ， ， ， ， 而 ， ， ， 为的切线； 【小问3详解】 解：在中，根据勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段、、的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D． ①求的最大值； ②连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果； （2）①作于F交于E，求出的关系式，然后设点，表示出，求出的最值，根据，进而求出的最大值； ②当时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点P的坐标，当时，作于F，交于E，可推出，进而求得结果． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图1，作于F交于E， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 设点， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵∠PDE=∠AOC， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2， 当时，， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∴， 如图3， 当时，作于F，交于E， 由①知：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，符合条件的P的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求二次函数扩一次函数关系式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键正确作出辅助线构造相似三角形． 25. 新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ； ②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ； 【猜想论证】 （2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形） 【拓展应用】 （3）如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 【答案】（1）①2；②3； （2） ， 证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE， 则四边形AC′EB′为平行四边形． ∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′E＝180°， ∴∠BAC＝∠AB′E． 在△BAC和△AB′E中， ， ∴△BAC≌△AB′E（SAS）， ∴BC＝AE． ∵ADAE， ∴ADBC； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB＝AC＝4、∠BAC＝60°，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′＝AC′＝4、∠B′AC′＝120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′＝90°，通过解直角三角形可求出AD的长度； ②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′＝90°＝∠BAC、AB＝AB′、AC＝AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′＝BC＝6，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度； （2）ADBC，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AC′EB′为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC＝∠AB′E、BA＝AB′、CA＝EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC＝AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出ADBC； （3）过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度． 【小问1详解】 ①∵△ABC是等边三角形，BC＝4， ∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60°， ∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°． ∵AD为等腰△AB′C′的中线， ∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°， ∴∠ADC′＝90°． 在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°， ∴ADAC′＝2． ②∵∠BAC＝90°， ∴∠B′AC′＝90°． 在△ABC和△AB′C′中， ， ∴△ABC≌△AB′C′（SAS）， ∴B′C′＝BC＝6， ∴ADB′C′＝3． 故答案为：①2；②3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在图4中，过点P作PF⊥BC于点F． ∵PB＝PC， ∴PF为△PBC的中线， ∴PFAD＝3． 在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3， ∴BF4， ∴BC＝2BF＝8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用解含30°角的直角三角形求出ADAC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $