精品解析：2024年山东省淄博市临淄区中考二模数学试题

2023-2024学年度第二学期阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5，评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C D. 4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 小亮在网上销售笔记本．最近一周，每天销售某种笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是14本 B. 平均数是15本 C. 方差是4 D. 中位数是14本 6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 7. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三次函数的图象与轴有个交点，分别是，请同学们根据所学过的函数知识进行判断当时，；当时，有最小值；若点在函数的图象上，则的取值只有一个；将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 利用计算器进行计算时，按键顺序如下： 计算结果是_______． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为_______． 15. 如图，在中，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为上一点且满足，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）化简，并在，，，中选一个合适的数求值． 17. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 18. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 19. 为了解甲、乙两个茶园种植的“龙井”茶叶的品质，现从两个茶园里分别随机抽取了20份茶叶样本，对它们的品质进行评分（满分100分，分数越高代表品质越好）．评分用x表示，共分为四组，A组：，B组：，C组：，D组：． 甲茶园20份茶叶的评分从小到大分别为：65，68，72，75，78，80，82，85，85，88，90，90，90，92，95，95，95，95，98，100； 乙茶园20份茶叶中有3份的评分为100分，评分在C组中的数据是：85，88，80，85，82，83． 甲、乙两茶园随机抽取茶叶评分数据统计分析如下表所示，乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图所示： 甲茶园 乙茶园 平均数 中位数 89 b 众数 a 95 根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出统计表中a，b值； （2）若甲、乙两茶园的茶叶总共有2400份，请估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共有多少份； （3）本次抽取的40份茶叶样本中，评分为100分的视为“精品茶叶”．茶农要在“精品茶叶”中任选两份参加茶叶展销会，用列表法（或画树状图）求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． （1）求m，n的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移t个单位，若平移后直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 21. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需元． 【素材2】每逢周六，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润元，“满杯杨梅”获利润元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖杯． 【问题解决】任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？ （，） 22. 已知，内接于，平分交边于点E，连接． （1）如图1，过点D作直线，求证：是的切线： （2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列探究，发现线段之间存在着一种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系 【推理证明】延长AC到点P使得 平分 又 为正三角形 【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； 【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：． 23. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值； （3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5，评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 的计算结果是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是先根据绝对值的代数意义化简，再进行减法运算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方及同底数幂的除法依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左边看到的图形，据此即可作答． 【详解】解：∵世乒赛颁奖台如图所示， ∴它的左视图是 故选：C 4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，根据内角和定理可得，根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 小亮在网上销售笔记本．最近一周，每天销售某种笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是14本 B. 平均数是15本 C. 方差是4 D. 中位数是14本 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择． 【详解】解：数据12，13，14，15，14，16，21中，14出现的次数最多， 因此众数是14，故A选项不符合题意； ，即平均数是15，故选项B不符合题意； ， 因此方差为，故选项C符合题意； 将这7个数据从小到大排列12，13，14，14，15，16，21， 处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提． 6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法．根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故选：C． 7. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标． 【详解】解：由题意，， 设，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， 解得，， 设， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：A． 9. 如图，三次函数的图象与轴有个交点，分别是，请同学们根据所学过的函数知识进行判断当时，；当时，有最小值；若点在函数的图象上，则的取值只有一个；将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，当时，或，故错误； 由图象可得，当时，有最小值，故正确； 由图象可知，函数的图象过点 若点在函数的图象上，则的取值有两个，故错误； ∵函数的图象经过点， ∴将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点，故正确； ∴正确的结论有，共个， 故选：． 10. 如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数综合问题，先求出，找到规律再计算即可． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数 中，自变量x取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 利用计算器进行计算时，按键顺序如下： 计算结果是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了计算器的应用和锐角三角函数值，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值，即可解题． 【详解】解；由题知，， 故答案为：4． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式可得结论． 设点坐标为，点坐标为，则可得出和的长度，从而列式，化简即可求出的值． 【详解】解：由题意可设点坐标为，点坐标为， 由图可得，， 的面积为， ， 化简可得， 则的值为． 故答案为：. 15. 如图，在中，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为上一点且满足，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，在上取一点，使得，连接，过点作，先根据勾股定理求得，再根据中点定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再证是等边三角形，得，，，-由勾股定理得在证明，得点在以为半径，点为圆心的圆上，当、、三点共线，连接交于点，则的最小值的长度即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，在上取一点，使得，连接，过点作， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴- ∴ ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点在以为半径，点为圆心的圆上，当、、三点共线，连接交于点，则的最小值的长度即为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，确定点M的运动路线以及利用隐形圆求解线段最值问题是解答的关键． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）化简，并在，，，中选一个合适的数求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值， （1）根据有理数的乘方，零指数幂，特殊角三角函数值，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）先根据异分母分式的减法运算法则计算小括号内的，再进行乘法运算，根据分式有意义的条件得出不能为，，，可能取，最后代入求出答案即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式的分母不为， ∴不能取，，， ∴当时，原式． 17. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证； （2）由，可得，那么，可得，即证四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 又是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形． 【点睛】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定知识，掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 18. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山高度约为 【解析】 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 19. 为了解甲、乙两个茶园种植的“龙井”茶叶的品质，现从两个茶园里分别随机抽取了20份茶叶样本，对它们的品质进行评分（满分100分，分数越高代表品质越好）．评分用x表示，共分为四组，A组：，B组：，C组：，D组：． 甲茶园20份茶叶的评分从小到大分别为：65，68，72，75，78，80，82，85，85，88，90，90，90，92，95，95，95，95，98，100； 乙茶园20份茶叶中有3份的评分为100分，评分在C组中的数据是：85，88，80，85，82，83． 甲、乙两茶园随机抽取的茶叶评分数据统计分析如下表所示，乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图所示： 甲茶园 乙茶园 平均数 中位数 89 b 众数 a 95 根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出统计表中a，b的值； （2）若甲、乙两茶园的茶叶总共有2400份，请估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共有多少份； （3）本次抽取的40份茶叶样本中，评分为100分的视为“精品茶叶”．茶农要在“精品茶叶”中任选两份参加茶叶展销会，用列表法（或画树状图）求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率． 【答案】（1）95，85 （2）甲、乙茶园品质评分在90分及以上的茶叶共有份 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数，利用样本估计总体，用列表法或树状图求概率，解题关键是熟练掌握众数和中位数的定义，用样本估计总体的方法和步骤，以及概率公式． （1）根据众数和中位数的定义，即可求出a和b的值； （2）先求出甲乙两个茶园D组的茶叶的份数，再用甲乙两个茶园茶叶总份数乘以D组茶叶份数所占百分比，即可解答； （3）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答． 【小问1详解】 解：由表可知，甲茶园20份茶叶的评分中95分出现了4次，95分出现次数最多， ∴； 乙茶园评分中各组份数：A：（份），B：（份），C：（份） ∵， ∴乙茶园20份茶叶的评分的中位数在C组， 将乙茶园20份茶叶中评分在C组中的数据排序为：80，82，83， 85，85，88． ∴； 【小问2详解】 解：乙茶园品质评分在D组的茶叶有（份）， 甲茶园品质评分在D组的茶叶有10份， ∴甲、乙茶园品质评分在90分及以上的茶叶共有（份）； 【小问3详解】 解：甲茶园评分为100的有1个，乙茶园评分为100的有3个， 甲茶园“精品茶叶”记为1；乙茶园“精品茶叶”记为记为a，b，c； 列表如下： 1 a b c 1 a b c 共有12种等可能结果，这2份茶叶全部来自乙茶园的结果有6种， ∴这2份茶叶全部来自乙茶园的概率为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． （1）求m，n的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入求出的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：将，代入得，，， 解得 将代入，得k＝6，即； 【小问2详解】 解：∵直线向下平移t个单位得新直线， 与联立得， 消y得，化简得 ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴， 解得或， ∵， ∴（舍去）， 即． 21. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需元． 【素材2】每逢周六，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润元，“满杯杨梅”获利润元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖杯． 【问题解决】任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？ （，） 【答案】（1）每杯“满杯杨梅”的售价是元，每杯“芝士杨梅”的售价是元 （2）每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务2：方法一：设“芝士杨梅”卖a杯，则“满杯杨梅”卖杯，依题意得，，可求，根据“芝士杨梅”成本为，“满杯杨梅”成本为，计算求解即可；方法二：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，由题意得：，可求，然后计算求解即可． 【详解】任务1：解：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元， 依题意得，， 解得：， ∴， 答：每杯“满杯杨梅”的售价是元，每杯“芝士杨梅”的售价是元； 任务2： 方法一：解：设“芝士杨梅”卖a杯，则“满杯杨梅”卖杯， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意， ∴“芝士杨梅”成本为（元/杯），“满杯杨梅”成本为（元/杯） 答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯； 方法二：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且满足题意； ，， 答：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元． 22. 已知，内接于，平分交边于点E，连接． （1）如图1，过点D作直线，求证：是的切线： （2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系 【推理证明】延长AC到点P使得 平分 又 为正三角形 【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； 【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）类比探究：AB+AC＝AD 一般归纳： 拓展应用：详见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点F，根据垂径定理推理和切线的判定定理进行证明即可； （2）①延长到点，使得，证明，则，证明为等腰直角三角形，即可得到结论； ②由①中证明，同理可得，过点D作于Q，在中，，得到，即可得到； ③连接与交于点K，证明，得到为等腰三角形，得到垂直平分，设，求出，求出，求出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点F， ∵平分 ∴ ∵为直径 ∴ 又∵ ∴ ∴是的切线 【小问2详解】 ①数量关系： 证明如下：延长到点，使得 ∵平分 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ②数量关系： 证明如下：由①中证明，同理可得 ∴ 过点D作于Q 在中， ∴ ∴ ③证明：连接与交于点K ∵，， ∴ ∴ ∴为等腰三角形 ∴垂直平分 设 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定定理、垂径定理的推论、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，准确推理是解题的关键． 23. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值； （3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①或；②点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把点代入，可得直线的解析式及的值，再把点代入即可得解； （2）取点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，此时的值最小； （3）①当时，得，，，可得结论；时，得，设，则，过点作交于点，可求得，再由点在直线上，求出，从而得到，，可得结论； ②设，则，，再由点在直线上，求出，分三种情况讨论：当时；当时；当时． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，， 则，当、、共线时，取“”，此时的值最小， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，轴于点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ①当时， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴，， ∴点的纵坐标为，， 由，得：或， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积为或； ②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵点是的中点， ∴，将坐标代入， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 设点 1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 2）当时，设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 点D坐标为或； 3）当时， ∵，， 此时点与点重合， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数动点问题为背景，考查待定系数法确定函数解析式，二次函数图像与性质，最短路径问题，勾股定理，相似三角形判断与性质，菱形存在性的判断，正方形的判定，中点坐标等知识点，运用了分类讨论及数形结合的思想．掌握二次函数图像与性质，相似三角形的判定与性质及菱形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$