精品解析：2024年山东省淄博市张店区中考二模数学试题

2023—2024学年度第二学期毕业学科阶段性学业水平检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 在实数0、、、中，最小是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列如图所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了大力宣传节约用电．某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 A. 平均数是30.5 B. 众数是4 C. 中位数是40 D. 极差是45 6. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象，现将向下平移k个单位长度得到图象．若，都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 4的平方根是_______． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 13. 如图，某厂房屋顶人字架跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是_______．（请从，，中选择填写） 14. 如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则_______度． 15. 如图，四边形，，，，…，都是正方形，对角线，，，，…，都在x轴上（n是整数，且），点，，，，…，在反比例函数的图象上．若已知正方形的面积为2，则点的坐标为_______． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM． 18. 我们定义：二次函数与关于原点O互为“伴随函数”． （1）请直接写出二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数表达式； （2）若点在二次函数的图象上，请证明点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上． 19. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康，使人聪明，使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．；B．；C．；D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为_______； （3）若该校有学生1500人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； （4）该学校为进一步宣传运动的重要性，决定举行以“我运动我快乐！我运动我成长！”为主题的宣讲活动，现已从D组中择优遴选了4名同学，已知其中1名同学为男生3名同学为女生，学校想从这4位同学中随机选择2位同学参加宣讲活动，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于x不等式的解集． （3）在线段上取点C（不与点A，B重合），连接，交反比例函数的图象于点D，连接．当时，求点C的坐标． 21. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：） （1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离； （2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？ 22. 如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A，C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． （1）若，则__________； （2）将绕点C逆时针旋转，当旋转至如图2所示的位置时，连接，，请判断此时的形状，并说明理由； （3）若，，在（2）中图2基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中（如图3），当平行四边形为菱形时，请直接写出的面积． 23. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，． （1）求该抛物线及直线的函数表达式； （2）如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期毕业学科阶段性学业水平检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 在实数0、、、中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴在实数0、、、中，最小的实数是-2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 下列如图所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，即可求解． 【详解】解：A、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方及平方差公式依次判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方及平方差公式，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 5. 为了大力宣传节约用电．某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 A. 平均数是30.5 B. 众数是4 C. 中位数是40 D. 极差是45 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、众数、中位数和极差，根据平均数、众数、中位数和极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A，平均数是，故该选项说法错误，不合题意； B，由题意知，40出现了4次，出现的次数最多，因此众数是40，故该选项说法错误，不合题意； C，将这10户家庭的月用电量按从低到高顺序排列，第5、6位均是40，因此中位数为，故该选项说法正确，符合题意； D，这10户家庭的月用电量最大值与最小值的差为，因此极差为35，故该选项说法错误，不合题意； 故选C． 6. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意得，， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，由，可设，，得，由作图可知垂直平分，设与的交点为，连接，得，，在中，由勾股定理得，求得，得到，，进而得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∴， 由作图可知，垂直平分，设与的交点为，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知二次函数的图象，现将向下平移k个单位长度得到图象．若，都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点问题，当时，求得抛物线与轴的两个交点坐标为：，，则抛物线与轴的交点之间的距离为，根据题意四个交点间的距离都相等，即每相邻两点间的距离为，于是得到平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，利用交点式写出平移后的抛物线解析式为，即，接着用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，从而得到的值． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，， ∴抛物线与轴的交点之间的距离为：， ∵二次函数的图象与其向下平移k个单位长度得到图象也与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴每相邻两点间的距离都为， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为：，， ∴平移后的抛物线解析式为：， 即， ∵抛物线向下平移个单位所得的抛物线解析式为： ， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，过点B作且，连接，先证明，再由平行线的性质得到，证明得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，在中，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作且，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案±2． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 13. 如图，某厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是_______．（请从，，中选择填写） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：在直角三角形中，已知一个锐角和它的对边，可利用这个角的正弦求出斜边．也考查了等腰三角形的性质．过点作于，根据等腰三角形的性质得到，在中，利用的正弦进行计算即可得到，即可得解． 【详解】解：过点作于， ∵，，， ∴， ∴在中，， 即由左到右第三个空白方格中应按键的符号是． 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理切线的性质及切线长定理得求出 ，再证明得到，即可求出答案 【详解】解：连接，， ∵，是两条切线， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴（） ∴， ∴----， 故答案为：． 【点睛】此题考查切线长定理，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质，此题中证明是解题的关键 15. 如图，四边形，，，，…，都是正方形，对角线，，，，…，都在x轴上（n是整数，且），点，，，，…，在反比例函数的图象上．若已知正方形的面积为2，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于四边形是正方形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于四边形，都是正方形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，即可求得点的坐标，得出规律，即可得到结果． 【详解】解：过作轴于， ∵正方形的面积为2， ∴，， ∴， ∴, ∴是的中点， ． 可得的坐标为， ∴, ∴反比例函数, 的解析式为：， ， 的表达式一次项系数与的一次项系数相等， 将代入， ， 的表达式是， 与联立，解得 同上，． ， 以此类推，点的坐标为， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后将解集表示在数轴上即可．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、用数轴表示不等式的解集，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图 所以，原不等式组的解集是． 17. 如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据题意证得∠AEF=∠CFM，再由∠AEP=∠CFQ，可得出∠PEM=∠QFM，PE∥QF，即能得出∠EPM=∠FQM． 【详解】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠PEA=∠QFC（已知）， ∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）． 即∠PEM=∠QFM． ∴PE∥QF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 18. 我们定义：二次函数与关于原点O互为“伴随函数”． （1）请直接写出二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数表达式； （2）若点在二次函数的图象上，请证明点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及新定义的理解，根据新定义得出伴随函数的解析式是解题的关键． ()根据新定义可得； () 将点代入得 ，进而得，从而得证； 【小问1详解】 解：∵二次函数与关于原点O互为“伴随函数”． ∴二次函数关于原点O互为“伴随函数”为； 【小问2详解】 ∵点在二次函数的图象上， ∴， 该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数为， 当时，， ∴点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上； 19. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康，使人聪明，使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．；B．；C．；D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为_______； （3）若该校有学生1500人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； （4）该学校为进一步宣传运动的重要性，决定举行以“我运动我快乐！我运动我成长！”为主题的宣讲活动，现已从D组中择优遴选了4名同学，已知其中1名同学为男生3名同学为女生，学校想从这4位同学中随机选择2位同学参加宣讲活动，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）120； （2）144°，图见解析 （3）525人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）根据组人数及所占比例求总人数； （2）根据总人数及，，组人数求出组人数，补全图形，用组人数除以总人数再乘以度即可求出C组所对应扇形圆心角的度数； （3）利用样本估计总体思想求解； （4）根据画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 即共调查了120名学生， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：C组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： C组所对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的有人． 【小问4详解】 解：画树状图如图所示， 共有种等可能结果，其中一男一女的情形有种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于x不等式的解集． （3）在线段上取点C（不与点A，B重合），连接，交反比例函数的图象于点D，连接．当时，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点C的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式； （2）根据图象得出不等式解集即可； （3）分别过C，D两点作轴于，作轴于，根据，得出，证明，得出，求出，设，得出，求出或，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ∴， 把、代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由图象可知当或时，， ∴不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：分别过C，D两点作轴于，作轴于，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，相似三角形的判定和性质，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键． 21. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：） （1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离； （2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？ 【答案】（1）遮阳棚前端M到墙面的距离为米 （2）则加装的前挡板的宽度的长是米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可； （2）过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果． 【小问1详解】 解：过点M作，垂足为N， 在，米，， ， 米， 遮阳棚前端M到墙面的距离为米； 【小问2详解】 如图，过点E作，垂足为H， 在，米，， 米， 米， 米， 由（1）可知米， 米，米， 米， 在中，米， 米， 加装的前挡板的宽度的长是米． 22. 如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A，C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． （1）若，则__________； （2）将绕点C逆时针旋转，当旋转至如图2所示的位置时，连接，，请判断此时的形状，并说明理由； （3）若，，在（2）中图2的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中（如图3），当平行四边形为菱形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）9或25 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可证，，进而可证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交于．根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可证，，，，则，可知，得，求得，进而可证，得，，可知，即可证明结论； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，则，当时，即时，四边形是菱形，分两种情况：①若在下方，②若在上方，分别进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ， ∵为等腰直角三角形，且， 则， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 延长交于． ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 四边形是平行四边形， ，，则， ，则， ∴， 则， 又∵， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，则， 当时，即时，四边形是菱形， ①若在下方，设交于H， ∵，， 则垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知是等腰直角三角形，则， 则的面积； 若在上方，同理可求， 则的面积； 综上所述，当平行四边形为菱形时，的面积为9或25． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型． 23. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，． （1）求该抛物线及直线的函数表达式； （2）如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）的周长最大值：，P的坐标为； （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）证明，得求出直线的解析式，设点P的坐标，则点E的坐标，得；当时，取得最大值，即，当时，的周长取得最大值； （3）设点P的坐标，设点Q的坐标，分所求情况讨论：当点P在y轴右边的抛物线上时，当时，，则，列方程求解m；当点P在y轴左边的抛物线上时，同理求解． 【小问1详解】 解：（1）将点，代入， 得，， 解，得， 所以，该抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解，得， 所以，直线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点A作轴，交于点F， 因为，轴， 所以，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 在和中， ， 所以， 所以，， 由直线和点， 得点F坐标为， 所以，， ，， 所以，的周长， 所以，的周长．的周长， 设点P的坐标，则点E的坐标， 所以， 所以，当时，取得最大值， 即，当时，的周长取得最大值： 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 设点P的坐标，设点Q的坐标 ①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1）， 所以，，，，， 因为，当时，， 所以，， 即，， 解，得，（舍） 所以，点P的坐标为， 由题意，易得线段的中点坐标为， 因为，点Q与点P关于线段的中点成中心对称， 所以， 所以，点Q的坐标为； ②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2）， 同①得，， 即，， 解，得， 所以，点P的坐标为， 同理，因为点Q与点P关于线段的中点成中心对称， 所以，， 所以，点Q的坐标为 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$