精品解析：河南省周口恒大中学2024届高三下学期5月月考数学试题

2023-2024学年（下）周口恒大中学高三数学5月考 数学试题 试卷考试时间：120分钟 满分：150 第I卷（选择题） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A. 16 B. 32 C. 1 D. 2. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个不同的平面，直线m满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ） A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝ C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝ 7. 已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中正确（ ） A. 0与表示同一个集合； B. 由1，2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面AEF的距离的最大值为 B. 该直三棱柱的外接球的表面积为 C. 当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 D. 若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为 10. 若，则下列不等式中一定不成立是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数且的图象经过定点 C. 幂函数在上单调递增，则的值为 D. 函数的单调递增区间是 12. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为___________________． 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 15. 如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则__________；若为边长等于2的正三角形，则__________. 16. 已知，，则__________． 四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分） 17. 已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 18. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式. 19. 已知角的终边经过点，求的值. 20. 已知，是同一平面内的向量， （1）若，，与夹角为，求； （2）若，，与平行，求与的夹角. 21. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优. 22. 已知函数． （1）当，时，求证恒成立； （2）当时，，求整数最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年（下）周口恒大中学高三数学5月考 数学试题 试卷考试时间：120分钟 满分：150 第I卷（选择题） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A. 16 B. 32 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案. 【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得， 所以，令得展开式中各项系数和为． 故选：A 2. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正切函数的单调性与周期性解答即可； 【详解】解：在这个周期内，所对应的区间是，故在上， 的解集为. 故选：C 【点睛】本题考查正切函数的单调性的应用，属于基础题. 3. 已知，是两个不同的平面，直线m满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断． 【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设，当，且，，此时，但是与相交，故必要性不成立． 故选：A． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论. 【详解】，. 故选：D. 5. 设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可． 【详解】由，为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，知： 在中，，则，满足平面与平面垂直的判定定理，所以正确； 在中，若，不能得到，也不能得到，所以得不到，故错误； 在中，若，则与可能相交、平行或异面，故不正确； 在中，若，则由面面平行的性质定理得，不一定有，也可能异面，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6. 已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ） A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝ C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的条件列方程组，直接解得. 【详解】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝. 故选：D 7. 已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的标准方程为，焦点在y轴上，则，， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 8. 下列命题中正确的（ ） A. 0与表示同一个集合； B. 由1，2，3组成的集合可表示为或； C. 方程的所有解的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：不能表示一个集合，故错误； 对B：因为集合的元素具有无序性，故正确； 对C：因为集合的元素具有互异性，中有相同的元素，故错误； 对D：集合有无限个元素,且列举后无法用有规律的数字表示，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面AEF的距离的最大值为 B. 该直三棱柱的外接球的表面积为 C. 当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 D. 若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据，推导出的面积最小时，点到平面AEF的距离最大，要想的面积最小，则要点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离，根据体积相等列出方程，得到；B选项，外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中心，由正弦定理和余弦定理得到外接圆半径，从而得到外接球半径和表面积；C选项，作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点，进而求出各边长，得到；D选项，作出辅助线，得到过A，E，F三点的截面，并求出面积. 【详解】A选项：因为，所以三棱锥的体积为定值. 设点到平面AEF的距离为d，若d最大，则的面积最小， 即点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离， 即为与平面的距离，即点B与平面的距离，记为h， 由，得，所以， 解得，故A项正确； B选项：外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中点， 设上底面外接圆圆心为，外接圆半径为r， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理得，所以， 设外接球的半径为R，则， 所以外接球的表面积为，故B项错误； C选项：作，垂足H，作，垂足为H1， 易证棱在平面上的射影为， 则点E在平面上的射影在线段上， 由B选项可知，，故，解得， 故，则， 设AF的中点为，外接球的球心为，半径为，则平面， 即，在中，①， 又因为②， 由①②可得，所以当取最小值时，最小，即最小， 此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点. 因为，所以直线EF与所成角即为直线EF与所成角. 由B项中，再由余弦定理可得， 因为，所以，，故C项正确； D项：延长AF，交于点P，连接PE交于点M， 则四边形AEMF是截面，且点F是AP的中点，点M是上靠近的三等分点， 由勾股定理求得，，， 因为，所以为直角， 故， 又，， 易知， 所以四边形AEMF的面积为，故D项正确. 故选：ACD 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 10. 若，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 分析】 利用作差法或特例逐项判断各选项中的不等式是否成立，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，， 因为， 故， 即，故A一定不成立； 对于B，取，则， 故B可能成立； 对于C，， 因为，故， 即，故C一定成立. 对于D，， 因为，故， 故，故D一定不成立. 故选：AD． 【点睛】关键点睛：掌握不等式的性质是解题关键．注意不等式证明的方法，可用分析寻找思路，用综合法写出证明过程． 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数且的图象经过定点 C. 幂函数在上单调递增，则的值为 D. 函数的单调递增区间是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令求解判断；C.根据是幂函数求得m，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断. 【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确； B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确； C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确； D.令，得 或，所以函数的定义域为， 又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是， 故选：ABC 12. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用配凑法求出数列的通项公式，即可判断选项A、B、D；再利用求和方法即可判断选项C. 【详解】由，可得： 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 则， 故. 所以 . 则， 所以选项A错误，选项B、D正确. 因为 所以正确． 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据三角恒等变换得出，然后根据值域为得出，即可求出的最大值，最后根据、求出的最小值，即可得出结果. 【详解】 ， 因为值域为，所以， ，， 则，的最大值为， 当最小时，，，此时， 故的取值范围为， 故答案为：. 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式. 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以则解得或， 故实数t的取值范围是. 15. 如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则__________；若为边长等于2的正三角形，则__________. 【答案】 ①. ##-0.5 ②. 【解析】 【分析】第一空，根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求得答案；第二空，根据平面向量的线性运算，用表示出，再结合数量积的运算律，即可求得的值. 详解】由于，则， 又是线段的中点，故 ， 结合得， 故； 设，而，是线段的中点， 故 ， 又三点共线，故，则， 故 ， 又为边长等于2的正三角形，则 ， 故答案为：； 16. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求出，进而根据向量模的坐标公式计算得解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分） 17. 已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船 【解析】 【分析】设缉私艇在处截住该走私船，依题意可得，，，利用余弦定理求出，即可求出速度，再求出，即可得到方向. 【详解】设缉私艇在处截住该走私船， 依题意， 由余弦定理得， 所以缉私艇速度为海里/时， 又，为锐角，所以， 所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得出的值，利用奇函数的定义可求得函数在时的解析式，综合可得出函数在上的解析式. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以， 当时，， 当时，，则， 所以当时，， 所以. 19. 已知角的终边经过点，求的值. 【答案】或． 【解析】 【分析】先求点到原点的距离，再利用定义求，，应注意分类讨论． 【详解】， 当时，，，，； 当时，，，，． 综上可知，的值为或. 20. 已知，是同一平面内的向量， （1）若，，与的夹角为，求； （2）若，，与平行，求与的夹角. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量模的计算公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果； （2）根据向量共线的坐标表示，列出方程，求出，得到，即可得出向量夹角. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为，， 所以，， 又与平行，所以，解得， 所以，因此，即与同向共线， 因此与的夹角. 【点睛】本题主要考查求向量的模，以及求向量的夹角，涉及向量共线的坐标表示，属于常考题型. 21. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优. 【答案】（1） （2）（分），(分)，甲同学的方案更优. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解判断即可. 【小问1详解】 因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分， 所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：； 【小问2详解】 甲同学的两题得分的可能取值为 所以，， ， 所以的分布列为： 因此（分）， 乙同学第11题可能得分为：，， ， 乙同学第12题可能得分为：，， ， 乙同学的两题得分的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 因此(分)， 因为，所以甲同学的方案更优. 22. 已知函数． （1）当，时，求证恒成立； （2）当时，，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）将，代入函数，求导求最小值即可； （2）分离参变量，构造函数，研究函数的单调性及最值，最终确定的取值范围，进而得到整数的最大值. 【小问1详解】 当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. 【小问2详解】 当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 点睛】方法点睛：分离参变量，构造函数，用进行代换，进而简化函数求得参数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$