2024年河南省南阳市第十三中学校中考三模数学试题

2024年南阳市第十三中学校三模考试 ( … )* ** … … …… 数学 (时间：100分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.2024的相反数是( ) ( C.2024 )D.-2024 A 2. 如图1所示的几何体的主视图是( ) ( 正面 图 1 ) 3.刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳 米就是0.000000005米.数据0.000000005用科学记数法表示为( ) A.5×10-⁸ B.5×10 C.0.5×10-⁸ D.50×10~⁹ 4.如图2,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O 的光线相交于 点P, 点 F 为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为 ( ) A.45° B.50° C.55° D.60° ( 图2 )5.化简. 的 结果是( ) A.1 C. 6.如 图 3 ,A,B,C 为 OO 上的三个点，∠AOB=4∠BOC, 若∠ACB=60°, 则 ∠BAC的度数是( ) A.20° B.18° C.15° D.12° ( 图3 )7.若关于x 的一元二次方程(k-1)x²+2x-2=0 有两个不相等的实数根，则k 的 取值范围是( ) A.且k≠1 C. 且k≠1 8.图4所示的2张图片形状大小完全相同，把2张图片全部从中间剪断，再把4张形状大小相同的 小图片混合在一起，如图5所示.从4张图片中随机摸取1张，不放回，接着再随机摸取1张， ( B. ) ( 图7 ) ( D. )则这2张小图片恰好合成1张完整图片的概率是( ) 图4 ( C. )A B. 9.如图6,抛物线y=x²+bx+c 与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C, 且∠OBC=45°,则下列各式成立的是( ) A.b-c-1=0 B.b+c-1=0 C.b-c+1=0 D.b+c+1=0 10.如图7,在△ABC中，∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm. 点P,Q 图6 同时从点A出发，点P 以4cm/s的速度沿AC 向点C 运动，点Q 以5cm/s的速度沿AB 向点B 运动，当其中一个点到 达终点时，另一个点也随之停止运动.作口APDQ, 设运动时间为ts,□APDQ 与△ABC 重合 部分的面积为Scm², 则下列图象中能大致反映S 与t 的函数关系的是( ) ( C. ) 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.已知x+y-3=0, 则2° ·2*的值是 12.若关于x,y 的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=24 的解，则 k 的值 为 13.某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，来提高学生的安全意识.演讲者的最 终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%,40%,20%的比例折算。 已知李明同学的三项原始得分分别是90分、95分、90分，那么李明同学最终的比赛成绩为 分， 14.如图8所示的扇形OAB中，∠AOB=120°, 过 点O 作 OC⊥OB,OC 交AB于点P, 若 OP=2, 则扇形CPB 的面积为 图8 图9 15.如图9,在矩形ABCD中 ，AD=8, 连 接BD,BD=10, 点 E 是 AB 上 一 点， BE=2AE, 点 M 是 AD 上一动点，连接 EM, 以 EM 为斜边向下作等腰直角三角形 EMP, 连接 DP, 当 DP 的值最 小时，AM的长为 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. (8分) (1)计算： |-3|-4sin45°+√8+(√3-2). (2)化简： (a+2b)(a-2b)+(a-2b)². 17 .(8分)为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺 水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机抽取的20名学生的成绩(单位：分): 87,99,86,89,91,91,95,96,87,97, 91,97,96,86,96,89,100,91,99,97. 整理数据： 成绩/分 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生/人 2 2 2 4 1 3 3 2 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 93 a b 解决问题： (1)a= ,b=_ (2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，“优秀”等级所占的百分率为 (3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数. 18.(8分)如图10,在□ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点 E. (1)利用尺规作图，过点A 作BE 的垂线，分别交BE,BC 于点F,G. (要求：尺规作图并保留作图 痕迹，不写作法，标明字母) 图10 (2)试猜想线段 AE 与BG 的数量关系，并加以证明. 19.(10分)如图11,已知一次函数Y₁=kx+b 的图象与反比例函数 且A,B 两点的坐标分别是 A(-1,-2) 和，B(2,m), 连接OA,OB. (1)求一次函数X-x+b与反比例函数的函数表达式. 分别交于点A和点B, 图11 (2)求△AOB的面积， 20.(10分)图12 ①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部须在摄像头视角范围内才能被识 别),其示意图如图12②所示，摄像头A 的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm, 识别的最远水平距离OB=150cm. ① ② ③ 图12 (1)身高为208cm 的小杜，头部高度为26cm, 他站在离摄像头水平距离130cm 的点C 处，请问 小杜至少需要下蹲多少厘米才能被识别. (2)身高为120cm 的小若，头部高度为15cm, 踮起脚尖可以增高3cm, 但仍无法被识别，社区 及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图12③),此时小若能被识别吗?请计算说明. (精确到0.1cm.参考数据： sin15°≈0.26,cos15⁰ ≈0.97,tan15⁰ ≈0.27,sin20°≈0.34, cos20⁰ ≈0.94,tan20⁰ ≈0.36) 21.(10分)某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，每件的售价不低于进货价，经过市 场调查，每月的销售量y (件)与每件的售价x (元)之间满足如图13所示的函数关系. (1)求每月的销售量y (件)与每件的售价x (元)之间的函数关系式.(不必写出自变量的取值范 ( 围 ) )每月销量y/件 图13 (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%.设这种防护品每月的总利润为 w (元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少? 22.(10分)在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点A 处的足球对着球门踢出，图14中的抛物 线是足球的高度y(m) 与球和点O 的水平距离x(m) 的函数y=a(x-h)²+k 的部分图象 (不考虑空气的阻力),当足球运行到最高点D 时，球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点 012m 的点C 处，球距地面的高度为5m, 即 CD=5m, 对方球门与点O 的水平距离为20m. ( 1 ) 当OA=2m 时， ①求y 与 x 的关系式； ②当球的高度为3.2 m时，求足球与对方球门的水平距离. 图14 (2)防守队员丙站在距点O 正前方10m 的点B 处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直 接射进对方球门.已知丙的身高为1.76m, 即 BG=1.76m, 球门的高度为2.44m, 即 EF= 2.44m, 直接写出a 的取值范围. 23. (11分)综合与实践. ① ② ③ 图15 【问题发现】 (1)如图15①,在正方形ABCD 中 ，E 为对角线AC 上的动点，过点B 作 BE 的垂线，过点C 作 AC的垂线，两条垂线交于点F, 连接EF, 求证：BE=BF . 【类比探究】 (2)如图15②,在矩形ABCD 中 ，E 为对角线AC 上的动点，过点B 作BE 的垂线，过点C 作AC 的垂线，两条垂线交于点F, 且∠ACB=60°, 连接EF, 求 的值. 【拓展延伸】 (3)如图15③,在(2)的条件下，将E 改为直线AC 上的动点，其余条件不变，取线段EF 的中 点M, 连接BM,CM. 若AB=2√3, 则当△CBM是直角三角形时，请直接写出CF 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C D C A B D B 1. 【答案】D 解：2024的相反数是-2024. 故选 D. 2. 【答案】B 解：由题意知，该几何体的主视图为 故选 B. 3. 【答案】B 解：0.000000005=5×10°. 故选 B. 4. 【答案】C 解：∵AB//OF, ∴∠1+∠OFB=180°, ∵∠1=155°, ∴∠ OFB=25°, ∵∠POE=∠2=30°, ∴∠3=∠POF+∠OFB=30⁰+25⁰=55°. 故选 C. 5.【答案】D 6.【答案】C 解：∵∠ACB=60°, ∴∠AOB=2∠ACB=120°, ∵∠AOB=4∠BOC, ∴∠BOC=30°, 故选 C. 。 · : 7.【答案】A 解：∵关于x 的一元二次方程(k-I)x²+2x-2=0 有两个不相等的实数根， 解得： 且k≠1, ∴k 的取值范围是且k≠1. 故选 A. 8.【答案】B 解：4张形状相同的小图片分别用A、a、B、b 表示，其中A 和 a 合成1张完整图片，B和b 合成1 张完整图片， 共有12种等可能的结果，其中2张小图片恰好 合成1张完整图片的结果数量为4,所以2张小图片 恰好合成1张完整图片的概： 故 选 B. 9.解：∵∠OBC=45°, ∴OB=OC, ∴点 C,B 的坐标为(0,c),(c,0); 把点B(c,0) 代入二次函数y=x²+bx+c, 得 c²+bc+c=0, 即 c(c+b+1)=0₁ ∵c≠0, ∴b+c+1=0. 故选 D. 10. 解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°,BC= 6cm,AC=8cm. ∴AC=√AC²+BC²=√B²+6²=10(cm), 如图，连接 PQ₁ 由 题 意 可 得 ，AQ=5t cm,AP=4t cm, 且 0≤t≤2₁ 则BQ=(10-5l)cm,CP=(8-4l)cm, , ∠A=∠A, ∴PQ //BC, ∴∠APQ=90°. 当点D 在线段 BC上时，如图， ∵四边形 APDQ为平行四边形， ∴AP=DQ=4t cm,AP I DO. ∵PQ//BC, 且∠C=90°, ∵四边形 CDQP 为矩形， ∴CP=DQ=(8-4I)cm, ∴41=8-4t, 解得1=1: ∴当O≤t≤1 时，□APDQ 在△ABC 的内部， 此时S=S₂p=AP·PQ=41·31 =12P(cm²). 当 1<t≤2 时，如图， PD 交BC 于点H,DQ 交 BC 于点G, ∵四边形APDQ为平行四边形， ∴DP=AQ=5tcm,AP=DQ=4tcm,DPNAQ, ACIIDQ₁ ∴∠C=∠HGD=90°. ∵PQ /I BH, ·四边PHBQ 为平行四边形， ∴PH=BQ=(10-5t)cm, ∴DH=DP-BH=5t-(10-51)=(10t-10)cm. ∵HG /PQ, ( ∴ ),即 ∴HG=(6t-6)cm,DG=(8t-8)cm, =24(²-2t+1)cm², ∴S=SAPng-S△noo=12²-24(F-2t+1) =-12+48t-24(cm²). 综上， 故选B. 二 、填空题 11.812.213.9214.3π-2 √3 15.6 三、解答题 16.(1)解：1 =3-2 √2+2 √2+1 =4. (2)解：原式=a²-4b²+a²-4ab+4b² =2a²-4ab =2a(a-2b). 17.解：(1)∵91分的人数最多， ∴众数为91,即a=91, (2)成绩达到95分及以上有10人， 则“优秀”等级所占的百分率为： (3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以 上的学生人数为： 1500×50%=750(人) . 18.解：(1)如图，FG 为所作. (2)AE=BG, 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD //BC, ∴∠CBE=∠AEB. ∵BE 平分∠ABC交 AD于点 E. ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. ∵AF ⊥BE, ∴∠AFB=∠GFB=90°, ∵在△ABF 与△GBF 中： ∴△ABF=△GBF(ASA): ∴AB=BG, ∴AE =BG. 19.解：(1)∵点A(-1,-2)在反比例函数图象上， ∴k=2, 反比例函数的解析式为： ∵B(2,m) 在反比例函数图象上， ∴m=1, 即 B 的坐标为(2,1); ∵点A,B 在一次函数)₁=kx+b 的图象上， 解得 · 一次函数解析式为：y=x-1. (2)设直线AB交x 轴于点M, 当y=0,x=1 时， M(1,0),OM=1. 20.解：(1)过点C 作 OB 的垂线分别交仰角、 府角线于点 E,D, 交水平线于点F, 在Rt△ABF中， ? ∴EF=AF·tan15°≈130×0.27 =35.1(cm). ∵AF=AF,∠EAF=∠DAF,∠AFE=∠AFD =90°, ∴△ADF≌△AEF(ASA), ∴EF=DF=35.1 cm, ∴CE=160+35.1 =195.1(cm), ∴小杜最少需要下蹲208-195.1 =12.9厘米才能 被识别， (2)如图，过B 作 OB 的垂线分别交仰角、俯角 线于 M,N, 交水平线于P, 在Rt△APM中， , ∴MP=AP·tan20°≈150×0.36=54.0(cm). ( APN )∵AP=AP,∠MAP=∠NAP,∠APM=∠ =90°, ∴△AMP≌△ANP(ASA), ∴PN=MP=54.0 cm, ∴BN=160-54.0 =106.0(cm), ∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3 =123 (cm), ∴小若头顶超出点N 的高度为：123-106.0 = 17.0(cm)>15cm, ∴踮起脚尖小若能被识别. 21.解：(1)由图象可知每月的销售量y (件)与 售价x (元)之间为一次函数关系，设其函数关系式 为y=k+b(k≠0,x≥50), 将(60,600),(80,400)代入， 得. 解得 · :每月的销售量y (件)与售价x (元)的函数关 系式为y=-10x+1200. (2)由题意得， w=(-10x+1200)(x-50) =-10x²+1700x-60000 =-10(x-85)²+12250. -10<0, ∴当x≤85 时，w 随x 的增大而增大， ∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%, ∴x≤50×(1+30%), 即x≤65, ∴当x=65 时，w 取得最大值为： -10×(65- 85)²+12250 =8250. ∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是 8250元. 22.解：(1)①根据题意设抛物线的解析式为y= a(x-12)²+5, ∵OA=2m, ∴A(2,0), ∴100a+5 =0, 解得 ∴y 与x 的关系式为： ②当y=3.2 时， 解得x₁=18,x₂=6; ∴20-18 =2(m),20-6=14(m), 答：足球与对方球门的水平距离为2m 或14m. (2)根据题意知，OB=10,BG=1.76,OE= 20,EF =2.44; 当x=10 时 ，a(x-12)²+5=a(10-12)²+5> 1.76, 解得a>-0.81, 当x=20 时，a(x-12)²+5=a(20-12)²+5< 2.44, 解得a<-0.04, ∴a 的取值范围为-0.81<a<-0.04. 23.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,AB =BC. ∵BE⊥BF,CF⊥AC, ∴∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC, ∴∠ABE=∠CBF,∠BCF=45⁰=∠BAC, ∴△ABE≌△CBF(ASA), ∴BE =BF. (2)解：∵BE⊥BF,CF⊥AC, ∴∠EBF=∠ECF=90°, ∴点C 、点E 、点 B、点F 四点共圆， ∴∠ACB=∠EFB=60°, ∴∠BAE=∠BEF=30°, ∴AB=√3 BC,BE=√3 BF, ∵∠EBF=∠ ABC, ∴∠ABE=∠CBF₁ ∴△ABE∽△CBF₁ (3)解：由(2)知 ∵AB=2√3 ∴CB =2. ∵△ABE∽△CBF, ∴∠ABE =∠ CBF, ∴∠EBF=∠ EBC+∠CBF =∠ EBC+∠ ABE =∠ABC=90°. ∵M 为EF 的中点， 由(2)知∠ACF=90°, ∴BM =CM. 又∵△CBM 是直角三角形， ∴EF=2CM=2√2 设CF=x, 则 AE=√3x, ∵∠CAB=30°,BC=2, ∴AC=2BC=4, ∴CE=AC-AE=4-√3x, ∵∠ECF=90°, ∴CE²+CF²=EF² ∴x+(4-√3x)²=8, ∴x=√3-1 或x=√3+1 (不合题意，舍去). 当∠MBC=90° 或∠MCB=90° 时，点M 不存在， 当E在AC延长线上时，设CF=x, 则AE= √3x, ∵∠CAB=30°,BC=2, ∴AC=2BC=4, ∴CE=AE-AC=√3x-4. ∵∠ECF =90°; ∴CE²+CF²=EF², ∴x²+(√3x-4)²=8, ∴x=√3-1 (不合题意，舍去)或x= √3+1. 综上所述， CF 的长为 √ 3-1或 √ 3+1. 学科网（北京）股份有限公司 $$