北京市第一○一中学2024届高三下学期三模数学试题

试卷编号：10461 北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学三模 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，那么（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则a的值为（ ） A． B．2 C． D． 3．下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ） A． B． C． D． 4．若等差数列满足，则其前n项和的最小值为（ ） A．B． C． D． 5．设l是直线，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若为钝角三角形，且，则边c的长度可以为（ ） A．2.5 B．3 C．4 D． 7．已知点N在边长为2的正八边形的边上，点M在边上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交y轴于点B．若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，其中，则“存在，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．平面内相距的两点各放置一个传感器，物体P在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与P的距离，并绘制出“距离-时间”图象，分别如图中曲线所示．已知曲线a经过点，曲线b经过点，且．若P的运动轨迹与线段相交，则P的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为（ ） A． B． C． D． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在的展开式中，的系数为_______． 12．已知角的终边关于原点O对称，则_______． 13．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆相切于点B，则_______． 14．已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组的值为_______，_______． 15．已知函数，其中表示不超过x的最大整数．例如：，．给出以下四个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③存在，对任意的，有； ④对任意都成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 在中，． （1）求证为等腰三角形； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 17．（本小题13分） 如图，在正方体中，分别是棱的中点． （1）求证：四点共面； （2）求与平面所成角的正弦值； 18．（本小题14分） 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作的“基础分”如表1所示． 跳跃动作 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”．把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”．表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”． 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 13.69 5.50 14.02 12.92 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立． （1）从该选手上一赛季所有动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称． 19．（本小题15分） 已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P为椭圆上除外的任意一点，直线交直线于点E，点O为坐标原点过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点M，交直线l于点N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题15分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行． ①求a的值； ②证明：函数在区间内有唯一极值点； （2）当时，证明：对任意． 21．（本小题15分） 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”； ①； ②； ③，且C中的最小元素大于B中的最小元素； ④，必有． （1）若，判断是否是“无和划分”，并说明理由． （2）已知是“无和划分”． ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记．证明：中的所有奇数都属于A． 北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学三模参考答案 1．A 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．． 12．． 13．． 14．（答案不唯一，满足或即可）． 15．①④． 16．（1）在中，， 设，其中． 根据余弦定理， 得． 整理，得， 因为，解得，所以． 所以为等腰三角形． （2）若选择条件②：在中，由，得． 所以． 解得，即． 若选择条件③：在中，由边上的高为3，得． 由，得． 解得． 17．（1）如图，取的中点M，连接， 因为分别是棱的中点， 易得，所以， 所以四点共面， 又， 所以， 则四点共面，而过不共线的的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合， 故四点共面． （2）以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的的边长为a， 则， 则， 设是平面的法向量， 则所以所以 取，则，所以， ， 所以与平面所成角的正弦值为． 18．（1）根据题中数据，该选手上一赛季7个动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为． （2）同（1），从该选手上一赛季所有动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为． X的所有可能取值为． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为： 所以． （3）． 19．（1）由题意，得．又，所以． 又因为，所以． 故椭圆C的方程为． （2）设，则． 所以直线的方程为， 令，得点E的坐标为． 因为直线的斜率为， 所以直线l的方程为， 又因为直线的方程为． 联立直线l和直线的方程，消去y得， 所以， 因为，所以， 所以，解得点N的横坐标． 要使得与的面积相等，应有， 解得， 由可得点P的坐标为． 20．（1）①因为函数， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以切线的斜率为1， 则，即，解得， 检验：当时，，因此切线方程为，符合题意， 故． ②由①可知，，则， 令，则， 当时，，则单调递增，即单调递增， 当时，，则单调递减，即单调递减， 又， 故存在唯一的，使得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 故函数在区间内有唯一极值点． （2）由（1）可知，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，则，且， ①若，即时，则， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 故，符合题意； ②若，即时，， 因为， 故存在，使得， 当时，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 即且，符合题意． 综上所述，当时，对任意． 21．（1）不是． 取，则，说明不是“无和划分”． （2）①假设存在，使得，记m的最小值为，则； 设B中最小的元素为b，则，所以， 所以（否则与矛盾）， （否则与矛盾），所以， 因为，所以不同属于C． 所以这与矛盾． 所以假设不成立． ②因为是“无和划分”，且存在，使得，记i的最小值为，所以； 由①知， 因为，所以，所以， 设B中最小的元素为b，若，则，所以， 所以（否则与矛盾）， 所以（否则与矛盾）， 所以，又因为和不同属于C，所以， 这与矛盾，所以，即． 所以，所以． 所以，所以（否则与矛盾），所以． 若，则与和矛盾，所以，所以， （否则与矛盾）， （否则与矛盾），所以． 以此类推，对于任意奇数，都有． 所以为偶数（否则，，与和矛盾）， 所以均为奇数． 因为，所以（否则与矛盾），所以， 所以，所以（否则与矛盾），所以， 以此类推，对于任意大于，小于或等于n的奇数都属于集合A． 综上所述，中的所有奇数都属于集合A． 学科网（北京）股份有限公司 $$