第四章 长方体（二）（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学北师大版

长方体（二） 【教学目标】 通过具体的实践活动，明白体积和容积的实际含义，理解体积和容积的概念。 认识常用的体积单位（立方米、立方分米、立方厘米）和容积单位（升、毫升），并掌握它们之间的进率，会进行体积和容积单位之间的换算。 根据实际情境，探索并掌握长方体和正方体体积的计算方法，能正确计算长方体和正方体的体积，解决一些简单的实际问题。 探索不规则物体体积的测量方法，尝试用多种方法解决实际问题。 【重点】 掌握长方体和正方体的基本特征。 理解长方体和正方体的联系与区别。 掌握长方体和正方体的表面积计算方法。 【难点】 理解长方体和正方体的空间关系 掌握长方体和正方体的棱长总和计算方法。 理解露在外面的面的个数和堆放的正方体的个数的关系。 掌握平面展开图与立体图形的关系。 【趣味导入】 老师今天来学校的时候带了一个橙子和苹果，我想知道它们两个谁比较大，同学们能告诉我哪一个比较大吗？量苹果和橙子的大小实际上是求什么？我们通过一个实验来解决这个问题吧！ 【精讲精练】 考点1 体积与容积的认识 【知识要点】 1、体积的意义：物体所占空间的大小，叫作物体的体积。将物体放入水中，体积越大，水面上升的高度越高；体积越小，水面上升的高度就越低。 2、容积的意义：容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 注意：①从测量方法来说，体积是从物体外部测量的，容积是从物体内部测量的。从大小来说，同一物体，它的体积大于容积，当容器壁很薄的时候，容积近似等于体积。 ②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化） 【例1】我是判断小专家。 1. 冰箱的容积就是冰箱的体积。（ × ） 　　2. 两个体积一样大的盒子,它们的容积一样大。( × ) 3. 物体所占空间的大小叫做这个物体的体积。 （ √ ） 4、选择适当的答案填空。 　 （1）往一个杯子里倒满饮料，（ ② ）的体积就是（ ① ）的容积。 　　 ① 杯子 ② 饮料 　（2）一个长方体的玻璃缸，它的容积（ ③ ）它的体积。 　　 ① 大于 ②等于 ③小于 　（3）油桶的体积是指它（ ② ） ，容积是指它（ ① ）油的体积 。 　 　① 所能容纳 ② 所占空间的大小 【变式训练】 1、我是判断小专家。 1）游泳池注入半池水,水的体积就是游泳池的容积。（ × ） 2）长方体的体积一定比正方体的体积大。 （ × ） 2、选择适当的答案填空。（可重复选，一个括号只有一个答案） 　 　 ① 体积 ② 容积 ③ 表面积 　（1）做一个长方体油桶，需要多少铁皮，是求长方体的（ ③ ）。 　（2）求一个长方体木块占空间的大小，是求长方体的（ ① ）。 　（3）求一个油桶最多能装多少油，是求油桶的（ ② ）。 　（4）运动员领奖台所占空间的大小，就是这个领奖台的（ ① ）。 考点2 体积、容积单位 【知识要点】 1、常用的体积单位：立方米(m3)、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）。例如：一个粉笔盒的体积大约是1dm3。 常用的容积单位：升(L)、毫升（ml）。例如：一小瓶墨水的容积是60毫升(ml)。 棱长为1cm的正方体它的体积是1cm³；棱长为1dm的正方体它的体积是1dm³；棱长为1m的正方体它的体积是1m³. 2、液体的体积单位和容纳液体容器的容积单位：升（L）、毫升（mL）. 1升=1分米³ 1毫升=1厘米³ 3、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义： ①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用厘米3作单位 ②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用分米3作单位 ③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位 ④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用升作单位 ⑤我们饮用的自来水用“米3”作单位。 【例2】在括号里填上适当的单位名称 。 　　 旗杆高15（  米   ）   教室面积80（  平方米   ）  油箱容积16（  升  ）  【变式训练】选择正确的答案写在括号里。 1.一个冰箱的容积是210（  B  ）。  A.平方分米  B.立方分米   C.立方米  2、一块橡皮的体积约是3（ ）。 A.平方分米  B.立方分米   C.立方厘米  3、运货集装箱的体积约是40（   ）。 A.平方米  B.立方分米   C.立方米  考点3 长方体和正方体的体积公式 【知识要点】 1、体积公式：体积=长×宽×高（在已知长、宽、高的时候） V=a·b·h 2、体积公式：体积=底面积×高（在有些题中,可以把横截面的面积看作是底面积，长看作高） V=S·h 3、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a3 4、利用长方体的体积公式，已知三个（两个）量，求未知量。用字母表示如下。 长方体的长=体积÷(宽×高) ，用字母表示为： a=V÷（bh） 长方体的宽=体积÷(长×高) ，用字母表示为： b=V÷（ah） 长方体的高=体积÷(长×宽) ，用字母表示为： h=V÷（ab） 注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小。 【例3】计算下面两个图形的体积。 ( 5米 4米 3米 ) ( 6分米 ) 1、 2、一个长方体的体积是96立方分米，底面积是16平方分米，它的高是（ ）分米。 【变式训练】生活中的数学。 1、加工一个长方体铁皮烟囱，长2.5分米、宽1.6分米、高2米，求烟囱的容积有多大？ 2、一个长方体机油桶，长8分米、宽2分米、高6分米。如果每升机油重72千克，这个油桶可以装机油多少千克？ 3、一个正方体的水箱，棱长4分米，把这样一箱水倒入另一个长0.8米、宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 考点4 体积和容积之间的单位进率换算 ( × 1000 ) ( × 1000 )【知识要点】 ( ÷ 1000 ) ( ÷ 1000 ) 1、 立方米 立方分米 立方厘米（注意立方米和立方厘米之间的换算） ( × 1000 ) ( ÷ 1000 ) 升 毫升 1升=1立方分米 1000毫升=1000立方厘米 2、单位换算：.高级单位化成低级单位，要乘以进率，低级单位化成高级单位要除以进率。 【例6】单位换算 5立方米=( 5000 )立方分米 2.8立方分米=( 2800 )立方厘米 80立方分米=（ 80 ）升 3.8升=（ 3800 ）毫升 100立方厘米=( 100 ) 毫升 【变式训练】单位换算 2.7立方米=( 2700 )升 720立方分米=( 0.72 )立方米 32立方厘米=( 0.032 )立方分米 8000毫升=( 8 )升 考点5 有趣的测量 （1）测量不规则石块的体积 方案一：找一个长方体形状的容器，里面放一定的水，量出长方形容器的底面长、宽和水面的高度，再把石头沉入水中（水面要完全浸没石块），再一次量出水面的高度。这时计算一下水面升高了几厘米，用“长×宽×水面上升的高”计算出升高的体积就是石块的体积。也可以分别计算放入石头前的体积与放入石头之后的总体积之差。 1、不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积 （注意液面是“升高了”还是“升高到”） 方案二：将石头放入盛满水的容器中，并将溢出的水倒入有刻度的量杯中，然后直接读出的水的体积，就是石头的体积。 （2）测量一粒黄豆的体积 可以用测量石块体积的方法测量出100粒黄豆的体积，再除以100，计算出一粒黄豆的体积。 2、补充知识： （1）表面积相等的长方体，体积不一定相等；体积相等的长方体，表面积不一定相等。 （2）表面积相等的正方体，体积一定相等；体积相等的正方体，表面积一定相等。 （3）正方体的棱长扩大n倍，棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍。 （4）底面积和高相等的长方体体积一定相等。 （5）将一个长方体截成两个长方体，这两个长方体与原来一个长方体相比，表面积增大了，而体积不变。 【例5】 1、将一个长方体分割成两个长方体，它的（ ）不变，（ ）要变。 A、表面积、体积 B、体积、表面积 C、棱长总和、体积 2、有一个长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注有水，水深3分米，如果把一块棱长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 【变式训练】 1、一个长方体容器，长20厘米，宽15厘米，高10厘米。容器内装满水后，将一块铁块放入容器中（完全浸没）有部分水溢出，再将铁块取出，这时容器中的水面高度是6厘米，这块铁块的体积有多大？ 2、一个长50厘米，宽40厘米，高40厘米的长方体鱼缸中水深25厘米。放入几条金鱼后，水面上升了3厘米。这几条金鱼的体积和是多少立方厘米？ 【单元测试】 一、填空题  1、在电冰箱、微波炉和文具盒三种物体中，（ 电冰箱 ）占的空间最大，（ 文具盒 ）占的空间最小，（电冰箱 ）的体积最大。  2、棱长1厘米的正方体的体积是（   1立方厘米   ）。  3、棱长2分米的正方体，一个面的面积是( )，表面积是( )，体积是( ) 4、一个长方体长是0.4米、宽0.2米、高0.2米，它的表面积是( )，体积是( )。 5、一个正方体的底面积是2平方厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 6、用棱2厘米的正方体切成棱长1厘米的小正方体，可以切成（ 8  ）块。 7、0.4立方米=（ ）立方分米 1.5平方米=（ ）平方米（ ）平方分米 0.79升=（ ）立方分米=（ ）立方厘米 8、在括号里填上适当的单位名称。绿 色 圃 中 小 学 教 育 网 http://www.Lspjy.com 中学 小明身高约是135（ ） 一杯牛奶的容积约是250（ ） 一个文具盒的体积约是160（ ） 一种冰箱的容积是186（ ） 二、判断题 1、一个棱长6厘米的正方体，它的表面积和体积一样大。（ √ ） 2、一个物体的体积一定比它的容积大。（ × ） 3、正方体的棱长扩大为原来的5倍，它的体积就扩大为原来的125倍。（ √ ） 4、一个厚度为2毫米的铁皮箱的体积和容积完全相等。（ × ） 5、长方体中，底面积越大，体积越大。 （ × ） 三、选择题 1.一支矿泉水的容积是550（  B  ）。  A.升       B.立方分米        C.毫升  2.长方体（不含正方体）的6个面中，最多有（ A  ）个正方形。  A.2            B.4               C.6  3.至少要用（ A ）个同样的正方体才能拼成一个新的正方体。考点：简单的立方体切拼问题  A.8           B.16              C.4  根据题意这个大正方体的棱长至少是2厘米， 体积是：23=8立方厘米， 1立方厘米的正方体个数：8÷1=8（个）； 答：至少要用8个体积是1立方厘米的正方体，才能拼成一个大正方体． 4.把正方体的棱长扩大4倍，它的体积就扩大（ C ）。  A.4倍          B.16倍           C.64倍  5.有一个底面积是4平方米的长方体，它的体积是0.2立方米，高是（  B  ）。  A.0.1米        B.0.05米         C.5米   四、求下面各图形的体积（单位：cm）。  五、解决问题 1、挖一个长方体的沙坑，长4米，宽2米，深0.5米。这个沙坑占地面积是多少平方米？需要多少立方米的沙子才能填满？     2.一个游泳池长60米，宽30米。当平均水深1.5米时，游泳池内的水一共是多少立方米？ 解：60×30×1.5 =1800×1.5 =2700（立方米） 答：游泳池内的水一共是2700立方米。 3、一个正方体的水箱，每边长4分米，把这样一箱水倒入另一只长0.8米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 解：0.8米=80厘米 水的体积=4×4×4=64(立方分米)=64000（立方厘米） 水深：64000÷（80×25）=32（厘米） 答：水深是32厘米。 4、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 解：40×40×40=64000(立方厘米) 64000立方厘米=64立方分米 答：它的体积是64000立方厘米，合64立方分米。 5、一个底面是正方形的长方体，底面周长是24厘米，高是10厘米，求它的体积。   解： 边长=24÷4＝6（厘米） 体积=6×6×10＝360（立方厘米） 答：它的体积是360立方厘米。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$