精品解析：北京市和平街第一中学2023-2024学年高二上学期期中调研数学试卷

和平街一中2022—2023学年度第一学期高二年级 数学期中调研试卷 一、单项选择题（本题共10道小题，每小题4分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 4. 已知点，为坐标原点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） A. 24 B. 0 C. 20 D. 7. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 8. 在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方体中， 为中点，为线段上的动点（不与重合），以下四个命题： （）平面． （）平面； （）的面积与的面积相等； （）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为． A. B. C. D. 二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分） 11. 椭圆的焦点的坐标为_____，若为椭圆上任意一点，则_________. 12. 过椭圆（）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若,则椭圆的离心率为________ 13. 能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值为______. 14. 已知圆C过点A（，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为___________ 15. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 三、解答题（本题共6道小题，共85分. 要求有演算或推理步骤） 16. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 17. 如图.在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值． 18. 求满足下列条件的曲线方程： （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 19. 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 20. 已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的离心率； （2）求的面积. 21. 已知椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆相切，切点为，且l与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和平街一中2022—2023学年度第一学期高二年级 数学期中调研试卷 一、单项选择题（本题共10道小题，每小题4分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线可化为：. 斜率为-1，所以倾斜角为. 故选:D. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：D. 3. 已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 4. 已知点，为坐标原点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 6. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） A. 24 B. 0 C. 20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 7. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】由该方程表示椭圆，可得且，焦点在轴上可得，计算即可得. 【详解】由题意得，解得或，即. 故选：C. 8. 在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用等体积法求解. 【详解】设点到平面的距离为h， 因为， 即， 所以， 故选：B 9. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可． 【详解】椭圆的焦点为：， 由与方程可知 直线与直线的交点为，且两条直线经过定点， 它们的交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交 当与重合时，取最小值为： 当与短轴端点重合时，取最大值为： 的取值范围是： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置． 10. 如图，正方体中， 为中点，为线段上的动点（不与重合），以下四个命题： （）平面． （）平面； （）的面积与的面积相等； （）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断4个命题得答案． 【详解】（1）CD1与BM不垂直，所以CD1⊥平面BMN，不正确； （2）平面BMN∥平面AB1D1，所以MN∥平面AB1D1，正确； （3）两个三角形等底等高，△D1MN的面积与△CMN的面积相等，正确； （4）M与B重合，三棱锥D﹣MNC的体积最大，不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的线线关系和线面关系，以及锥体的体积等于底面积乘以高再乘以三分之一，是由底面积和高共同决定的，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分） 11. 椭圆的焦点的坐标为_____，若为椭圆上任意一点，则_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点，再利用椭圆定义即可得到. 【详解】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为. 根据椭圆的定义，有. 故答案为：，. 12. 过椭圆（）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若,则椭圆的离心率为________ 【答案】 【解析】 【详解】分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而根据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小. 详解：由题意知点P的坐标为或，因为，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得P点的坐标，根据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可注意其取值范围，做相应的取舍. 13. 能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 若直线与圆有两个不同的交点， 则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即，解得， 所以命题为真命题的一个的值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14. 已知圆C过点A（，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，原点到线段的垂直平分线的距离即为所求最小值． 【详解】由题意圆心在线段的垂直平分线上， ，线段的垂直平分线的斜率为1， 的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 原点到这条直线的距离为， 所以圆心C到原点距离的最小值为． 故答案为：． 15. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①② 【解析】 【分析】 将代入也成立得①正确；利用不等式可得，故②正确；联立得四个交点，满足条件的最小正方形是以为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将代入得成立，故曲线关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以，所以， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确； 对于③，联立得，从而可得四个交点，，，， 依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题. 三、解答题（本题共6道小题，共85分. 要求有演算或推理步骤） 16. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【小问1详解】 由于，，故，而，故的方程是，即. 【小问2详解】 由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 17. 如图.在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图所示： ， 连接BD与AC交于点O， 因为O，E为中点， 所以,又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得. （2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系 令，所以 设平面的一个法向量为 所以，令 所以， 所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值 18. 求满足下列条件的曲线方程： （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解； （2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解. 【小问1详解】 据点可设直线方程为. 圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为， 从而. 所以， 得. 这就说明或，所以所求直线的方程为或. 【小问2详解】 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为， 所以该圆的方程是，即. 而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为. 所以，解得. 故所求的圆的方程为或. 19. 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 若为中点，连接、，又M为AB的中点. ∴，由，则， 又△为等腰直角三角形，，易知：， 由，则面， ∵面， ∴. （2） （3） 若存在N使得平面平面，且，， 由（2）知：，，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，可得. ∴存在N使得平面平面，此时. 【解析】 【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角公式即可得解. （3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得面，， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，， 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， ∴，则，，， 若为面的一个法向量，则，令，即， 若为面的一个法向量，则，令，即， ∴， 由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的离心率； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用离心率的定义求解； （2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解. 【小问1详解】 由已知有，，故，所以离心率. 【小问2详解】 如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而，故. 所以，从而在直线上. 由知，故，结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 21. 已知椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆相切，切点为，且l与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率，列方程组求出的值，即可求出椭圆方程； （2）将直线l方程代入椭圆方程，由相切，利用韦达定理及中点坐标公式，求得T点坐标，直线l与直线联立，求得S点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，由向量数量积的坐标运算，即可求得定点坐标. 【小问1详解】 椭圆经过点，其离心率， 则有，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由，消去y，整理得， 因为动直线l与椭圆E相切，即它们有且只有一个公共点T，可设， ，，∴，∴， 此时，，，则， 由，得． 假设在轴上存在一定点A，使得以为直径的圆恒过该定点， 设，则有，即对满足的恒成立． ， 由得：， 整理得， 由算式对满足的恒成立，则，解得． 故平面内存在定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $