2024届广东省广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）数学试题

2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中常数项是（ ） A. 15 B. 160 C. D. 2. 已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. 2 D. 4 3. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则下面结论错误的是（ ） A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 10. 已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（ ） A. 的周长为 B. C. 的斜率为 D. 椭圆的离心率为 11. 已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是关于的实系数方程的一个根，则______. 13. 已知中，点在边上，，，，则的面积为______；若，则______. 14. 如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过位置的条件下，共经过两次1位置的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. （1）求证：平面平面； （2）当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 16. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. （1）如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ （2）已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： （3）假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 17. 已知函数（）. （1）求在区间上的最大值与最小值； （2）当时，求证：. 18. 已知抛物线：，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点. （1）若直线过的焦点. (i)当的面积最小时，求直线的方程； (ii)当，记的外接圆与的另一个交点为，求； （2）设圆（，）与交于四点，，，，记弦，的中点分别为，，求证：线段被定点平分，并求定点坐标. 19. 若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”. （1）设，，若首项为1的数列为“数列”，求； （2）若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和； （3）设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值. 2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：过作交弧上一点，连结，如图所示： 则为弧的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以. 由题意可知，，为等腰直角三角形，则； 因为为弧的中点，所以, 则为等腰直角三角形，则， 所以，则, 因为，则，又， 又因为、面， 所以平面，因为面， 所以平面平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） 总样本的均值为. 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. （2） （i）证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ∵， 同理. 因此， . （ii）96，18 （3）定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【17题答案】 【答案】（1） 当时，，； 当时，所以，. （2） 方法一：隐零点法 因为，，所以，欲证，只需证明， 设，（），， 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即，因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以 所以，因此. 方法二：（同构） 因为，，所以，欲证，只需证明， 只需证明， 因此构造函数（）， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增： 所以，所以， 所以， 因此. 【18题答案】 【答案】（1）(i)；(ii). （2） 证明：如图所示，设，，，所以，， 中点为，类比第二问解法二，可知， . 由第二问解法二可知，所以： ，所以， ， 所以，即线段被定点平分. 故定点坐标为. 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①当，，是大于1的任意正整数，则，； ②当，，，则，. （3）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $