精品解析：山东省德州市临邑县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

2023—42024学年第二学期八年级期中检测 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息： ①学校离小明家1000米； ②小明用了20分钟到家； ③小明前10 分钟走了路程的一半； ④小明后10分钟比前10 分钟走得快．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 6. 已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若，化简（ ） A. B. C. D. 8. 若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 4 D. 或4 9. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ 　 ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标是　　 A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 14. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 15. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 16. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 17. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，则______． 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，，，求证：． 21. 甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离（千米）与（时间）之间的函数关系图象． （1）求甲从B地返回A地的过程中，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，且∠1=∠2， （1）求证：四边形ABCD是矩形 （2）若∠AOB=60°，AB=8，求BC的长. 23. 2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻天宫空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“天宫空间站”两款模型．已知每个“天宫”模型的成本比“火箭”模型多10元，花费150元购进火箭模型的数量与花费250元购进天宫模型的数量一样多． （1）每个“火箭”模型和“天宫”模型的成本价各是多少元？ （2）航模店计划购买两种模型共200个，其中“天宫”模型售价为40元，“火箭”模型的售价为20元．设购买“天宫”模型m个，销售批模型的利润为元． ①求与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的，则购进“天宫”模型多少个时，售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且 （1）求证：； （2）如图2，连接，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接，． ①求证：； ②求的度数． 25. 如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点． （1）求直线和直线对应的函数解析式； （2）直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； （3）y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—42024学年第二学期八年级期中检测 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0和分式有意义的条件：分母≠0即可得出结论． 【详解】解：由题意可得 解得： 故选B． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 2. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据勾股定理可以求出BC的长度． 【详解】解：由勾股定理可得： ，故A正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的意义是解题关键． 3. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可． 【详解】解：A选项：不是同类二次根式无法合并，故错误； B选项：，故错误； C选项：，故错误； D选项：，正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键． 5. 如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息： ①学校离小明家1000米； ②小明用了20分钟到家； ③小明前10 分钟走了路程的一半； ④小明后10分钟比前10 分钟走得快．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，理解函数图象上各点横纵坐标表示的实际意义是解题关键，由图象可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，则点表示小明用时20分钟走了1000米，结合图象的实际意义依次分析各条信息即可． 【详解】解：①由图象的纵坐标可以看出学样离小明家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出小明用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵横坐标可以看出，小明前10分钟走的路程比一半少，故③错误； ④由图象的纵横坐标可以看出，小明后10分钟比前10分钟走得快，故④正确； 故选：B． 6. 已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大小关系即可. 【详解】将点D代入中，得2k+4=-1， ∴， ∴， ∵<0， ∴y随x的增大而减小， ∵点，，，且， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的增减性，能正确根据k判断增减性是解题的关键. 7. 若，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式可知： 由于，所以，再去绝对值，化简. 【详解】∵ 原式 故选：B 【点睛】本题考查了公式，解题的关键在于根据题目信息确定被开方数的符号. 8. 若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 4 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式和绝对值的非负性求出a、b的值，再利用勾股定理进行求值即可． 【详解】∵， ∴，即，， ∴，， ∴直角三角形的第三条边长为：，或， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键． 9. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先把点代入，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 由两函数的图象可知， 当时，，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，利用两函数图象的交点，求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案． 【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称， ∴AP＝CP， 即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小， 所以此时△PAE周长的值最小， ∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1， ∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3， 由勾股定理得：CE＝5， ∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，， ，为自然数． ， 点的坐标为，即 故选A． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ∵， ∴，四边形是矩形， ，， ， 故①正确， ，， ， 又是的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故②正确， ∵， ， 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵，， 为等腰直角三角形， ， ，， 过点作于点，如图所示： 设，则，，，，， 则，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 14. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 15. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线求出P点坐标，不等式的解即为直线OP在直线PQ下方时，对应的x的范围 【详解】 ∵点在上 ∴ 即 故 ∵ 即直线OP在直线PQ下方 由图知，此时 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去看 16. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 17. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得：， 从作法可知：是的垂直平分线， 根据性质得出， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解题的关键能灵活运用勾股定理． 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的混合运算法则计算即可． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，再算乘乘法，最后算减法． （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用完全平方公式去括号，先乘除后加减计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的先进行括号内的分式加法，再进行分式除法运算，最后把x的值代入计算即可； 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的除法运算，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键． 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由勾股定理得到，据此证明，得到，即可证明． 【详解】略 21. 甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离（千米）与（时间）之间的函数关系图象． （1）求甲从B地返回A地的过程中，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间． 【答案】（1）； （2）3小时 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解； （2）将代入（1）的函数解析式，求出乙行驶的路程，求出速度即可得到行驶的时间． 【小问1详解】 解：设，根据题意得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴骑摩托车的速度为（千米/时）， ∴乙从A地到B地用时为（小时）． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象得到相关的信息是解题的关键． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，且∠1=∠2， （1）求证：四边形ABCD是矩形 （2）若∠AOB=60°，AB=8，求BC的长. 【答案】（1）见试题解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出OC=AC，OB=BD．∠1=∠2，再根据等角对等边得出OB=OC，∴BD=AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论．（2）利用矩形的性质推知∠1=∠2=30°，通过直角△ABC来求BC的长度. 【详解】试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=AC，OB=BD． 又∵∠1=∠2，∴OB=OC， ∴BD=AC， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）∵由（1）知，四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵∠AOB=∠1+∠2=60°， 又∵∠1=∠2， ∴∠2=30° 在R t△ABC中，AB =8，∠2=30° ∴AC=2AB=16 ∴ 考点：矩形的判定；平行四边形的性质 23. 2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻天宫空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“天宫空间站”两款模型．已知每个“天宫”模型的成本比“火箭”模型多10元，花费150元购进火箭模型的数量与花费250元购进天宫模型的数量一样多． （1）每个“火箭”模型和“天宫”模型的成本价各是多少元？ （2）航模店计划购买两种模型共200个，其中“天宫”模型售价为40元，“火箭”模型的售价为20元．设购买“天宫”模型m个，销售批模型的利润为元． ①求与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的，则购进“天宫”模型多少个时，售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个“火箭”模型成本价15元，每个“天宫”模型的成本价25元 （2）①；②购买“天宫”模型50个，购买“火箭”模型150个，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1500元 【解析】 【分析】（1）设“天宫”模型成本为每个x元，则“火箭”模型成本为每个元，根据花费150元购进火箭模型的数量与花费250元购进天宫模型的数量一样多列出方程，解方程即可； （2）①设购买“天宫”模型m个，则购买“火箭”模型个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；②根据购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的，求出m的取值范围，由函数的性质求最大值． 【小问1详解】 设“天宫”模型成本为每个x元，则“火箭模型成本为每个元， 据题意得： 解得 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：每个“火箭”模型成本价15元，每个“天宫模型的成本价25元． 【小问2详解】 ①设购买“天宫”模型m个，则购买“火箭”模型个， 则， ∴w与m的函数关系式为； ②∵购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的， ∴， 解得：， ∵，，m是正整数， ∴当时，w最大，最大值为1500， 答：购买“天宫”模型50个，购买“火箭”模型150个，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 24. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且 （1）求证：； （2）如图2，连接，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接，． ①求证：； ②求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°， ∵CE＝AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2） ①证明：∵△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴△DFE为等腰直角三角形， ∵DH⊥EF， ∴点H是EF的中点， ∴DHEF， 同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HBEF， ∴HD＝HB； ②∠DCH＝45° 【解析】 【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE＝AF，即可求解； （2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点H是EF的中点，故DHEF，进而求解； ②通过证明△DCH≌△BCH，即可得到∠DCH＝∠BCH＝45°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵四边形ABCD为正方形， 故CD＝CB， ∵HD＝HB，CH＝CH， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DCH＝∠BCH＝45°． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中． 25. 如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点． （1）求直线和直线对应的函数解析式； （2）直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； （3）y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 【答案】（1）直线的函数解析式为，直线对应的函数解析式为 （2）P的坐标为或 （3）M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先将、代入求出直线的函数解析式，求出a的值，再求出直线l2的函数解析式即可； （2）根据点P的位置可以分为两种情况：当P在直线左侧和右侧时，利用面积求出坐标即可； （3）设，根据平行四边形的性质，可以分为以下三种情况：若为对角线，则的中点重合，若为对角线，则的中点重合，若对角线，则的中点重合，分别求解即可. 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得： ， ∴， 设直线对应的函数解析式为，把，代入得： ， ∴直线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当P在直线左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 当P在直线右侧时，如图： 同理可得， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 综上所述，P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 又、， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； ②若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得， ∴； ③若对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、平行四边形的性质等，认真读题，多情况讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $