2024届辽宁省沈阳市东北育才学校高三数学考前最后一模试卷

高三年级数学科试卷 第 1 页 共 5 页 东北育才学校科学高中 2024 届高考适应性测试 数学学科试卷 命题人，校对人：高三数学组 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合� = {�|�2 − 4 ≤ 0}，� = {�|2� + � ≤ 0}，且� ∩ � = {�| − 2 ≤ � ≤ 1}，则� =( ) A. −4 B. −2 C. 2 D. 4 2.已知� > 0，� > 0，且 2� + � = 1，则� 2+� �� 的最小值为( ) A. 4 B. 4 2 C. 4 2 + 1 D. 2 2 + 1 3.将 5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少 1名，则不同的分配方法 数是( ) A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 4.已知等比数列{��}的各项都为正数，且当� ≥ 2时有��−1��+1 = �2�，则数列{����}的前 20项和为( ) A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 5.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各 项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今 世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年 �������提出铅酸电池的容量�、放电时间�和放电电流�之间关系的经验公式：� = ���， 其中�为与蓄电池结构有关的常数(称为�������常数)，在电池容量不变的条件下，当放 电电流为 15 �时，放电时间为 30 ℎ；当放电电流为 50 �时，放电时间为 7.5 ℎ，则该蓄 电池的�������常数�约为(参考数据：lg 2 ≈ 0.301，lg 3 ≈ 0.477)( ) A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 高三年级数学科试卷 第 2 页 共 5 页 6.已知�，� ∈ (0, �2 )，2(sin� + sin 2�) = sin2�tan�，则 tan(2� + � + � 6 ) =( ) A. − 3 B. − 33 C. 3 3 D. 3 7.已知函数�(�)的定义域为�，且满足�(�) + �(3 − �) = 4，�(�)的导函数为�(�)，函数 � = �(� − 1)的图象关于点(2,1)中心对称，则�( 32 ) + �(2024) =( ) A. 3 B. −3 C. 1 D. −1 8.函数�(�) = ��� + (� − 1)� − ln�(� ∈ �) .若对任意� > 0，都有�(�) ≥ 0，则实数� 的取值范围为 ( ) A. [ 1� , + ∞) B. [ 2 � , + ∞) C. [ � 2 , + ∞) D. [�, + ∞) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知�为虚数单位，下列说法正确的是 ( ) A. 若复数� = 1+�1−�，则� 30 =− 1 B. 若|�1| > |�2|，则�12 > �22 C. 若�2 ≠ 0，则 �1 �2 = �1�2 D. 复数�在复平面内对应的点为�，若|� + �| + |� − �| = 2，则点�的轨迹是一个椭圆 10.在△ ���中，角�，�，�所对的边依次为�，�，�，已知 sin�: sin�: sin� = 2: 3: 4，则 下列结论中正确的是 ( ) A. (� + �): (� + �): (� + �) = 5: 6: 7 B. △ ���为钝角三角形 C. 若△ ���的外接圆半径是�，内切圆半径为�，则 5� = 16� D. 若� + � + � = 18，则△ ���的面积是 6 15 高三年级数学科试卷 第 3 页 共 5 页 11.点�在抛物线�2 = 4�上，�为其焦点，�是圆�: (� − 3)2 + �2 = 1上一点，�(3,2)，则 下列说法正确的是( ) A. |��|的最小值为 2 2 B. △ ���周长的最小值为 4 + 2 2 C. 过�作圆�的切线，切点分别为�，�，则当四边形����的面积最小时，�的横坐标是 1 D. 当∠���最大时，直线��的方程为� + � − 5 = 0 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知二项式  5 nx x 的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等， n  13. 函数 2)()( axxxf  的极小值点为 2，则实数 a的值为 14. 设 BA, 是半径为 3的球体 O表面上两定点，且  60AOB ，球体O表面上动点 P 满足 PBPA 2 ，则点 P的轨迹长度为 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，直线 PD垂直于梯形 ABCD所在的平面， 90ADC BAD   ，F 为线段 PA 的中点， 12, 1 2 PD AB AD CD    ，四边形 PDCE为矩形. (1)求证： AC  平面DEF； (2)求直线 AE与平面 BCP所成角的正弦值： 高三年级数学科试卷 第 4 页 共 5 页 16．“刷脸支付”给生活带来了便捷，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧．某 调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分 在 40 100～ 分之间），并从参与者中随机抽取 200人．根据调查结果绘制出频率分布直方 图如下： (1) 据此估计这 200人满意度的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； (2) 某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案． 方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动．从装有8 个形状、大小完全相同的小球 (其中红球3个，黑球5个 )的抽奖盒中，一次性摸出3个球， 若摸到3个红球，返消费金额的 20%；若摸到 2个红球，返消费金额的10%，除此之外 不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金 活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有 1 6 的概率享受8折优惠，有 1 3 的概率享 受9折优惠，有 12 的概率享受95折优惠． 现小张在该超市购买了总价为1000元的商品． ① 求小张选择方案一付款时实际付款额 X 的分布列与数学期望； ② 试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精 确到 0.1） 高三年级数学科试卷 第 5 页 共 5 页 17．已知曲线   lnf x m x  在 1x  处的切线方程为  y h x ，且 2 1 0f e       ． （1）求  h x 的解析式； （2）求函数    x h x g x e  的极值； （3）若 0x  时，不等式  2 0xe ax h x   恒成立，求实数 a的取值范围． 18．椭圆 E的焦点为  11,0 和  11,0 ，短轴长为 2． (1) 求椭圆 E的标准方程； (2) 设椭圆上、下顶点分别为 1 2P P、 ，过点 0, 2 1Q      的直线 1l 与椭圆 E交于 A B、 两点（不 与 1 2P P、 两点重合）． ① 求证： 1AP与 2BP 的交点的纵坐标为定值； ② 已知直线 2 : 2 6 0l x y   ，求直线 1 1 2AP BP l、 、 围成的三角形面积最小值． 19．设数列 na 的前 n项和为 nS ，已知  1 *12 2 1nn nS a n   N ，且 2 5a  ． (1) 证明： 1 2 n n a     为等比数列，并求数列 na 的通项公式； (2) 设  3log 2nn nb a  ，若对于任意的 *nN ，不等式    1 2 6 0nn nb n a     恒成 立，求实数的取值范围； (3) 函数    f x x ，其中 x 表示不超过 x的最大整数，如  2.3 2 ， 1.9 2   ，设 2 4 n n n ac        ，数列 nc 的前n项和为 nT ，求 2024T 除以 16的余数． 东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试数学学科试卷答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.10 13. 2 14. 15．【详解】（1）设，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点， 又为中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的正方向分别为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为：， 且，令，解得：； 设直线与平面所成角为，所以. 则直线与平面所成角的正弦值为. 16. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 17. 解：（1），∴， ，，，， 切线方程为,即,∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 18． （1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以． 因为，可知，则， 所以椭圆E的标准方程为， （2）因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交， 可设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则， 由根与系数的关系可得：， 因为，，可得直线，直线， 所以 ． 即，解得， 所以直线，的交点P在直线上． （3）设直线与直线，的交点分别为，， 则由（1）可知：直线，直线． 联立方程， 解得，， 因为， 又因为点到直线的距离， 可得，只需求的最小值． 由弦长公式可得 ． 令，则． 可得 ， 当且仅当，即时等号成立． 即的最小值为，可得面积的最小值为． 故直线，，围成的三角形面积的最小值为. 19．（1）当时，，又，所以， 当时，①， 故②， 式子①-②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故， （2）由（1）知，，故， 对于任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以， 综上，的取值范围是； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试数学学科试卷答案 2. 3. 4 6 7 8 9 10. 11. 12.10 13.2 14. 12W13 13 15.【详解】(1)设CP∩DE=G,连接FG, 因为四边形PDCE为矩形，所以G为PC中点， 又F为PA中点，则AC∥FG, 又FGC平面DEF,AC丈平面DEF, 所以AC∥平面DEF, (2)以D为坐标原点，DA,DC,DP的正方向分别为x,y,z轴， 可建立如图所示空何直角坐标系， 则A1,0,0)B,1,0)C(0,2,0P,0.5)E6.2,正 .BC=(11,0),C乎=0，-2,5). AE=(-1,2,2) 设平面BCP的法向量为：万=(x,y,z). BC.n=-x+y=0 且 万=-2y+5=0'令y=,解得：x=z=5=1): 设直线AE与平面BCP所成角为0，所以sin0= 14EL_3万 AE-元14 则直线AE与平面BCP所成角的正弦值为7 14 16.【详解】(1)由直方图可知，满意度的平均数为： (0.01×45+0.02×55+0.025×65+0.025×75+0.015×85+0.005×95)×10=68. (2)①摸到3个红球，返消费金额的20%，实际付款为1000(1-20%)=800： 摸到2个红球，返消费金额的10%，实际付款为1000(1-10%)=900， 所以X的可能取值为800,900,1000， 第1页共6页 因为PX=80)=CS=PK=900上cS-15 C56 C56 所以P(X=1000)=1- 1155 56567 X的分布列为： X 800 900 1000 1 15 P 56 56 7 所以E(x)-0×名+90x若100x39696(元). 5 56 ②若选择方案二，记实际付款金额为Y,依题意，Y的可能取值为800,900,950， 因为PV=80-2PV=0)-号P0=950-号 所以，Y的分布列为： 800 900 950 6 3 所以.E)）=80x行+00×写+950x*9083(元) 因为E(X)>E(Y),所以选择方案二付款更划算， 17.解：))m+2m-2=0,m=2, f(x)=2+lnx,0=2+mx=2,f(x)=,f0=1, 切线方程为y-2=1(x-1),即y=x+1,∴.h(x)=x+1. （2)由1)知g)=生，函数定义域为， 所以g)-三， 故当x∈(0，+o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(-o,0)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以函数g(x)在x=0处取得极大值，极大值为g(0)=1,无极小值. (3)令1(x)=e-ar2-x-1, t(x)=e-2ar-1,x20,e-120, 第2页共6项 1.当a≤0时，t(x)≥0，所以(x)在[0，+o）上单调递增，所以t(x)≥1(0)=0，即a≤0符合题意： 2.当a>0时，设u(x)=1'(x),u'(x)=e-2a, ①当0<a5分2a1,(上0，所以在✉上单调造. t(x)≥1'(0)=0，所以1(x)在[0，+o)上单调递增，所以(x)≥1(0)=0， 所以0<aS兮符台题意： ②当a>号时，u(x)=e-2a=0,x=ln2a>0,所以f(x)在(n2a,+o）上递增， 在(0，n2a)上递减，t(0)=0,所以当x∈(0，ln2a),f(x)<0, 所以t(x)在[0，ln2a)上单调递减，1(0)=0，所以x∈(0，ln2a),t(x)<0,舍去. 综上：a2 18.(1)根据题意，蒙日圆的半径为√3，所以a2+b=13. 因为P=2,可知b=1,则a=25, 所以椭圆E的标准方程为 +y2=1, 12 (2)因为直线4过点0,2 可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交， 可设直线y=红+宁4小.B. y=kx+2 联立方程 消去y可得12k2+)x2+12kx-9=0, 2*2=1 则△=144k2+3612k2+1)>0, 9 由根与系数的关系可得：x+x= 12k 12k2+7’453= 12k2+1 因为P(0,),B0,-).可得直线R:y=x+1,直线BB:y= x-1, 第3页共6页 yl 所以- 2 +) y+1+1 x(y+) (+ 3 +2 c+2 9k112k）1 3k =12+1212k2+12 。122+1+21 9k 3 9k 3 12k2+1+2 3 12k2+125 即11 +13,解得y=2, 所以直线AP,BP的交点P在直线y=2上， (3)设直线，与直线AR,BP的交点分别为C(x乃)，D(x44), 则由(1)可知：直线：y=x+1,直线B即：y=x+1. y=x+1=x1 联立 方程 X2 y= 2+3 y=- 2*3 4x2 解得5(2+x-,。(2k+) 12k 366N16k+1 因为k-x=+-462k+2+112+1 又因为点R到直线4的距离d.D+2x1-d_45 5 可得Sc0d-25o只需求c0的最小值， 线长会4-写小a 25 =25× x-x2 (2k+1)xx-(2k+1)x+x)+1 35小16k2+ 23k+1 令3张+1=1，则k=」 3 23+12 25 √5126W5 2X55 第4页共6页 当且仅当治甲k=启时等号度立 16 即CD的最小值为65，可得△PCD面积的最小值为 5 5 故直线机，B肌，围成的三角形面积的最小值为2 19.(1)当n=1时，2S=4-2+1,又a2=5,所以a=S=1, 当n22时，2S,=a1-2+1(neN)①， 故2Sn1=a.-2"+1②， 式子①-②得，2an=an1-an-21+2”，即an1=30n+2”, 又a2=3a+2,故当n∈N时，al=3an+2", 因为侵+为首项为号子公比为的等比数列， 故号+1得得故a=- (2)由(1)知，an=3”-2”,故b。=log(an+2")=n, 对于任意的neN,不等式n(1+n)-2:3”-6<0恒成立， 即九>广+m-6恒成立， 3 设D=n-6,于是D-D.=a+1旷ta+1-6+n-62m+14。 3 3 3” 3 当n23时，Dn1-Dn<0,即D>D>…>D.>…, 当n≤2时，D-D.>0,即D3>D2>D, 数D≤D弓，所以号 91 综上，入的取值范围是 (3)由(1)知， ] 因为3”=(4-1)”=C4”+C4"(←1片+C4×（1)+C”1) 第5页共6页 =4×C4-+C4-2(-1)+…+C(-1)+C(-1, 当n为奇数时， 当n为偶数时， 所以Ta4=C+C+…+C2+C3+C4+…+C3m4 -3+3+…+3 332+34+…+3202 --1012×二+ 4 4 4 -1012×1 4 09o层}-6o加 =4×1-3 8 3-l.9el8+lm1-C8m+Cne8o+4C88+G0 8 8 8 考虑当k≥2时，8能被16整除，另外C1198=506×1011×8也能被16整除， 故T0除以16的余数为3C:-1012除以16的余数， 3C182-1012=3×1012-1012=2024=16×126+8, 故T4除以16的余数为8. 第6页共6页去在量二下o (户遍考号 东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试 数学学科试卷答题卡 。 考场/座位号。 姓名: 班梁: n n) 1 三三 1] : 1 1 [1 高 1: 阳口5 。 777三E 三三 , 口{ & 1 ) 高 。 。 14 , , 正结■ 考记 口 , , ,r 7 , :] 11 。 客题0-8为法题:0-11为多选题 1知D} *pC1n} 1trrIci n]( 1i认]ei] 1f aA11eB1 4p]c1D] s】(Bc] n] [nn) 11A]n]0D mA[nc0] 填空题 好草题 □□■ □□■ 。 □■□ □■□