八年级（下）期末复习检测卷-2023-2024学年八年级数学下册期末复习综合训练（苏科版）
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内容正文：
2023-2024学年八年级（下）期末复习检测卷
【苏科版】
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园，下列生态环保图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点 B，C为y轴上一点，连接，，若的面积为3，则k 的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
3．从北站出发到杭州东站路程约，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用．设普通动车组列车的速度是，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．将铜片放入稀硫酸中，会发生剧烈的化学反应
B．将氧化铜放入氢氧化钠溶液中，溶液由无色变成蓝色
C．将氧化铁放入稀盐酸中，溶液由无色变成红色
D．将10g生石灰放入50自来水中，水温上升
6．设，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点均在反比例函数的图象上，点均在轴的正半轴上，且均为等腰直角三角形，分别为以上等腰直角三角形的底边，则的值为（ ）
A． B． C． D．2024
9．如图，四边形是正方形，和都是直角，且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若最简二次根式与可以合并，则 ．
12．如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，．则的值为 ．
13．方程的解为 ．
14．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：
每次试验粒数
50
1000
3000
4000
6000
10000
发芽频数
47
960
2840
3800
5710
9500
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
15．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按上述规律 .
16．如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：．
18．小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时．
(1)求关于的函数表达式，
(2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围．
19．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
20．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为______名；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
(4)请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值．
，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)连接，，求出的面积．
23．如图，在中，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式
互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
25．课本再现：
（1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为________；
图1
迁移应用：
（2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：；
图2
拓展延伸：
（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．
图3
①线段与的数量关系是________
②连接，点P为内一点，连接．若，则的最小值为________．
1
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2023-2024学年八年级（下）期末复习检测卷
【苏科版】
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园，下列生态环保图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点 B，C为y轴上一点，连接，，若的面积为3，则k 的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答函数问题的关键．如图，连结，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】解：如图，连结．
∵轴，
∴．
∴．
∵，
∴，得．
∵图象位于第二象限，则，
∴．
故答案为：D．
3．从北站出发到杭州东站路程约，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用．设普通动车组列车的速度是，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．根据题意可得等量关系为乘坐高速动车组列车的时间=乘坐普通动车组列车的时间，根据等量关系列式即可判断．
【详解】解：根据题意，得，
即．
故选：D．
4．下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义和形式是解题的关键．
形如的形式，是整式，中含有字母，则是分式，由此即可求解．
【详解】解：，分母中不含字母，不是分式；
，是分式；
，是整式，不是分式；
，是分式；
，是分式；
，是单项式，属于整式，不是分式，是常数；
∴分式共有3个，
故选： B．
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．将铜片放入稀硫酸中，会发生剧烈的化学反应
B．将氧化铜放入氢氧化钠溶液中，溶液由无色变成蓝色
C．将氧化铁放入稀盐酸中，溶液由无色变成红色
D．将10g生石灰放入50自来水中，水温上升
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、将铜片放入稀硫酸中，会发生剧烈的化学反应，是不可能事件，不符合题意；
B、将氧化铜放入氢氧化钠溶液中，溶液由无色变成蓝色，是不可能事件，不符合题意；
C、将氧化铁放入稀盐酸中，溶液由无色变成红色，是不可能事件，不符合题意；
D、将10g生石灰放入50自来水中，水温上升，是必然事件，符合题意；
故选：D．
6．设，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的大小，二次根式的化简，判断的大小，即可解答，熟练进行二次根式的化简是解题的关键．
【详解】解：，
，
，且，为正数，
，
故选：A．
7．实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案，正确化简各式是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得：，，
则原式，
，
，
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点均在反比例函数的图象上，点均在轴的正半轴上，且均为等腰直角三角形，分别为以上等腰直角三角形的底边，则的值为（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】A
【分析】过点分别向x轴作垂线，交x轴于点，构造等腰直角三角形，利用反比例函数建立方程，可求出，…，从而找出规律即可．
【详解】如图，过点分别向x轴作垂线，交x轴于点，
∵点在反比例函数的图象上，且构造成等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
令，则有，
解得（舍去），，
则
同理，
解得，
则，
根据规律可得
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，过点分别向x轴作垂线，构造等腰直角三角形是本题的关键．
9．如图，四边形是正方形，和都是直角，且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明得出，即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
∵和都是直角，
∴，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故选：D．
10．如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解．
【详解】解：设与交于点，过点作于，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了最简分式和同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得，
故答案为：2
12．如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，．则的值为 ．
【答案】4
【分析】根据，可得，再根据反比例函数值的几何意义列出方程求出即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
【详解】解：连接，过点作轴,交于点G，过点B作轴，
，．
，
设点，则，
∵
，
，
解得：．
故答案为：4
13．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：，
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
故答案为：．
14．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：
每次试验粒数
50
1000
3000
4000
6000
10000
发芽频数
47
960
2840
3800
5710
9500
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
【答案】0.95/
【分析】本题主要考查了由频率估计概率，熟练掌握概率和频率的定义是解题关键．计算出每次试验的发芽率即可求解．
【详解】解：由表格中的数据可得，
，，，…，，
由上可得，估计这批青稞发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95．
15．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按上述规律 .
【答案】
【分析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第个等式：，
故答案为：．
16．如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，由“”可证，可得点D在过点F上升且于x轴夹角为45度的直线上移动，则求出BF，再利用三角形BFG是等腰直角三角形求出BG，即的最小值即可．
【详解】取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，
∵，，
∴，，，
又由旋转可知：，
∴，即，
∵ ，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴点D在直线上移动，直线即为过点F上升且于x轴夹角为45度的直线，
∴，
∵，、
∴，
∵，即
∴，
由垂线段最短可知，的最小值即为BG的长度，即，
故答案为：．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式
．
18．小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时．
(1)求关于的函数表达式，
(2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家．
（1）根据行程问题中的数量关系即可求解；
（2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，．
（2）解：由题意得：，
因为，
所以．（其他方法合理亦可）
19．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．
由题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
20．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为______名；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
(4)请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用样本容量计算出体育类的人数，求解可得到结论．
（3）根据圆心角计算即可．
（4）根据学生最喜欢科普类的图书，由此提出建议即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，熟练掌握统计图的意义，准确计算样本容量，圆心角是解题的关键．
【详解】（1）∵(人)，
故答案为：100．
（2）根据题意，得(人)，
补图如下：
．
（3）根据题意，得．
（4）根据学生最喜欢科普类的图书，由此建议学校多购买科普类的图书．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值．
，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)连接，，求出的面积．
【答案】(1)一次函数表达式和反比例函数表达式；
(2)或；
(3)．
【分析】（）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（）根据函数的图象和的坐标即可得出答案；
（）求出一次函数与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，即可求出答案；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）把代入反比例函数得，
∴反比例函数的表达式是，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点和点，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式是；
（2）∵一次函数与反比例函数的图象交于点点和点，
∴当时，的取值范围是或；
（3）如图，设一次函数的图象与轴交于点，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
23．如图，在中，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定等知识，正确掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）直接利用平行四边形的性质得出，，，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质求得，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式
互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
（3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）．
理由如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
25．课本再现：
（1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为________；
图1
迁移应用：
（2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：；
图2
拓展延伸：
（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．
图3
①线段与的数量关系是________
②连接，点P为内一点，连接．若，则的最小值为________．
【答案】（1）90；（2）见解析；（3）①；②
【分析】（1）先证明，可得，从而得到，由此可得答案；
（2）过点F作交延长线于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可证明结论；
（3）①过点F作，与的延长线交于点H，可证得，从而得到，，，进而得到，，继而得到；
②把绕点B逆时针旋转，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作的垂线交的延长线于点H，得为等边三角形，求出,当点四点共线时，的值最小，即的长，可得的最小值为的长，根据勾股定理可求解
【详解】解：（1）∵矩形和矩形是全等矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：90；
（2）如图，过点F作交延长线于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）①过点F作，与的延长线交于点H，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
故答案为：；
②如图，把绕点B逆时针旋转，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作的垂线交的延长线于点H，则，
∴是等边三角形，
∴
∴，
当点四点共线时，的值最小，最小值为线段的长，
∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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