精品解析：湖北省荆州中学2024届高三下学期第三次适应性考试数学试题

荆州中学2021级高三下学期第三次适应性考试 数学试题 命题人： 审题人： 一、单项选择题（本题共8道小题，每题四个选项中有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由可得或，则， 又，故. 故选：B. 2. 已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆与直线相切的性质可得圆与直线相切时的的值，借助椭圆定义可得当方程表示的曲线为椭圆时的的取值范围，结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若圆与直线相切，则有，即，解得或， 若方程表示的曲线为椭圆，则，即且， 故“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 3. 同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 96 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】先将除A，B，C三人的其余三人排序，再安排D，最后将B，C插入剩余三个空位即可. 【详解】分三步：先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法故共有种方法. 故选：D 【点睛】本题考查采用“插空法”，“捆绑法”排序，考查学生分析问题和解决问题的能力. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 5. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解. 【详解】如图所示，作于点， 则，即， ， 则， 由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角， 设其为，则，即. 故答案为：. 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7. 上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求得学生得分在的概率，再根据二项分布方差的计算方法求解即可. 【详解】由正态分布知，学生得分在的概率为， 抽取个学生得分在的人数服从二项分布， . 故选：. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法代入计算得，然后结合，可得，设直线的倾斜角为，则可得，从而得，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】设的中点为，设，则，得，则，设直线的倾斜角为，又，所以，可得，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为， 故选： 【点睛】一般在圆锥曲线中涉及中点弦的问题通常采用点差法计算，根据中点的坐标代入计算得与的关系. 二、多项选择题（本题共3道小题，每题四个选项中至少有两个正确答案，每小题6分，共18分） 9. 已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ） A. a0的值为2 B. a5的值为16 C. a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D. a1＋a3＋a5的值为120 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法，令即可求解； 对于B，利用二项式展开式的通项进行求解； 对于C，利用赋值法，令得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再减去即可； 对于D，利用赋值法，分别令与，得到两个式子联立即可求解. 【详解】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确； 对于B，(1－2x)5的展开式的通项为，所以，故B正确； 对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确； 对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确. 故选：ABC 10. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，恒成立条件，. 附加条件①的面积取到最大值；附加条件②.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若恒成立条件和附加条件①成立，则 D. 若恒成立条件和附加条件②成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得，利用正弦定理将边化角，即可判断A；由诱导公式及两角和的正弦公式判断B；求出，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系判断C；由正弦定理可得，将两边平方，再结合，即可求出，从而判断D. 【详解】对于A、B：因为，，所以，由正弦定理得， 又，所以，则，故A正确； 又，所以， 所以，显然，，所以，故B正确； 对于C：若的面积取到最大值， 即， 所以当时，取得最大值，此时， 由B可知， 所以，故C正确； 对于D：若，由正弦定理得， 所以， 由B知，即，所以，， 所以，即，所以， 所以，故D错误． 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线仅有1条 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据已知求得曲线的方程，求得曲线的离心率，其渐近线与圆的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可. 【详解】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确； 又离心率，故B不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为， 又圆的半径为1，故C正确； 直线与曲线的方程联立整理得， 设， ，且， 有，所以， 要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确， 故选：AC. 【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题. 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则____，的实部为____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】化解复数，由棣莫弗定理可得， ，根据复数模及共轭复数定义即可求解. 【详解】因为复数， 所以由棣莫弗定理可得， ， 所以. 所以， 所以的实部为. 故答案为：①985；②. 13. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，令，代入，可得，再根据由抛物线的光学性质可知，反射光线经过，从而有，最后利用两点坐标求斜率即可得出结果. 【详解】解：由可得，，所以焦点， 已知一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射， 则令，代入，得，可得， 由于光线经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出， 由抛物线的光学性质可知，反射光线经过焦点， 即直线经过，所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 14. 天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为________（结果用既约分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率的公式可求答案. 【详解】记事件“抽取学生是勤生”， 事件“抽取学生是懒生”， 事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”， 则依题意有，， ; 同理，， 故, . 故答案为： 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. “数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. （1）若数列的前项和为求证：数列是“数列”； （2）已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； （3）若数列满足：求数列的前项和. 【答案】（1） 证明：当时，； 当时，， 所以，即. 所以数列是“数列”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求出，再利用题中“数列”的定义进行证明. （2）数列即是“数列”，又是等差数列，表示出通项公式和前项和，利用“数列”的定义求出公差，进而求出通项公式. （3）由（1），（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设数列的公差为d,. 对，使； 取时，得，解得， ，又， 故，是小于2正整数. 此时对于任意的正整数，总存在正整数使，故. 【小问3详解】 ， 当时，， ， ， . 当时，，满足上式. 综上，. 16. （2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面AEC⊥平面AFC； （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 【答案】（1）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF， 在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=. 在Rt△FDG中，可得FG=. 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC， ∴平面AFC⊥平面AEC. （2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）略 （Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向， 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz， 由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0）， ∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 17. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)． 【答案】（1） （2）ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P 均值为，方差为．【解析】 【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可； （2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可． 【小问1详解】 两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝． 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为P3＝×＝， 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝． 【小问2详解】 ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160， 则P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝． 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80， D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝． 18. 已知，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）结合两圆内切的性质与椭圆定义作出相应辅助线计算即可得； （2）①设出交点坐标，借助韦达定理与弦长公式计算即可得；②表示出斜率后，用两交点纵坐标表示出的值，结合韦达定理中，，得到，代入计算即可得. 【小问1详解】 设的中点为，切点为，连接，，取关于轴的对称点， 连接，则， 故， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 其中，，则，则曲线C的方程为； 【小问2详解】 设 依题意，直线的斜率必定存在，设， ，可得，恒成立， 则有，， ①若，则有， 解得，故其斜率为； ②易得，， ，同理可得， 则，而， 由，，则，则， 故，即定值为. 【点睛】关键点点睛：最后一问中得到后不能直接代入韦达定理求解，关键在于借助，，得到，从而可代入中，求得其定值. 19. 已知函数，其中是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程； （2）当时，求出函数的所有零点； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）有唯一零点； （3）证明如下： 不等式 ， 令函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，则，即， 因此，， 令，求导得，函数在上递增， ，因此，又， 从而， 所以原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，利用导数探讨单调性，求出函数最小值即得. （3）对所证不等式作等价变形得，再构造函数依次证明即得. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则，又， 因此曲线在点处的切线方程为， 所以切线的斜截式方程为. 【小问2详解】 当时，，求导得， 令，，则， 则在单调递增，而，当时，，即， 当时，，，函数在上递减，在上递增，又， 所以当时，有唯一零点. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2021级高三下学期第三次适应性考试 数学试题 命题人： 审题人： 一、单项选择题（本题共8道小题，每题四个选项中有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 96 D. 72 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3道小题，每题四个选项中至少有两个正确答案，每小题6分，共18分） 9. 已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ） A. a0的值为2 B. a5的值为16 C. a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D. a1＋a3＋a5的值为120 10. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，恒成立条件，. 附加条件①的面积取到最大值；附加条件②.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若恒成立条件和附加条件①成立，则 D. 若恒成立条件和附加条件②成立，则 11. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线仅有1条 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则____，的实部为____． 13. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为___________． 14. 天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为________（结果用既约分数表示） 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. “数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. （1）若数列的前项和为求证：数列是“数列”； （2）已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； （3）若数列满足：求数列的前项和. 16. （2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面AEC⊥平面AFC； （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 17. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)． 18. 已知，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 19. 已知函数，其中是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程； （2）当时，求出函数的所有零点； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $