精品解析：福建省福州市台江区福州华伦中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期梦之队单元检索（相似） 一、选择题（每小题4分，共10小题） 1. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解． 【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意 B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意； C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意； D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键． 2. 如图，，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴相似三角形的对应边比为， 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4. 幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似，逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∴，故A错误， ，故B正确， ，故C，D不一定成立， 故选B； 【点睛】本题考查投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似． 5. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为， ∴则点的坐标为：； 不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为， ∴则点的坐标为：， 故选：B． 【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 6. 如图，已知，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：， ， ，解得：， 故选：B． 7. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处（），那么小玻璃管口径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易证，根据相似比即可得出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴那么小玻璃管口径的长为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小玻璃管口径，体现了方程的思想． 8. 如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则 A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可． 【详解】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点， ∴四边形ABEF是正方形， ∵AB=2， 设AD=x，则FD=x-2，FE=2， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴， ， 解得x1=1+，x2=1-（负值舍去）， 经检验x1=1+是原方程的解． 故选B． 【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论． 【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上 ，点A在线段BD的垂直平分线上 AP为线段BD的垂直平分线 点E在AP上，BE=DE，故A正确； ，， 且 为等边三角形且 ， 平分 ， ， 垂直平分，故B正确； ，， ， ， ，故C错误； ， ， ，故D正确 故选C． 【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键． 10. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE△BDF, △GDF△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=DF,AE=4DF.所以AE:EC=. 【详解】解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F， 则△BCE△BDF, △GDF△GAE. ∴=,, ∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3, ∴EC=DF,AE=4DF. ∴AE:EC=4DF:DF=4：=. 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共6小题） 11. 两地的实际距离是，在绘制的地图上量得这两地的距离是，那么这幅地图的比例尺为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可． 【详解】解：， ， ∴这幅地图的比例尺为， 故答案为：． 12. 如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 14. 如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点D离墙的距离．若，则梯子的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据两组对角相等证明，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意知， ， 又， ， ， 即， 解得， 故答案为：3． 15. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且， 点的坐标为，即， 故答案为：． 16. 如图，在中，点是边上一点，，，，且，过边上一点作，若，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，进而可得，根据等腰三角形的性质求得，根据勾股定理得到，由，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，过点作于点， ，， ∴， ， ， 解得或（舍去） ， ， ， ，， ， 解得或者（舍去）， ， ,， ， 在中， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 17. 如图，与中，，；证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据，得出，进而可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出； （2）以点O为位似中心，在网格范围内画出与相似比为2的． 【答案】（1）如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求．     【解析】 【分析】（1）先根据点坐标平移的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据位似图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了画位似图形，画平移图形，正确找到对应点的位置是解题的关键． 19. 如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？ 【答案】的值是或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若. （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质求得，即可证明； （2）利用相似三角形的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． 21. 如图，已知矩形，点E为BC边上一点． （1）尺规作图：在CD边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求CF的长． 【答案】（1） 解：过点E作，交于F，点F就是所求作的点． （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作，交于F即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了作图−相似变换，矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出点F． 22. 如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）8.6m 【解析】 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明； （2）还需要测出的长，令，证明，得即 ，从而即可得解； （3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：还需要测出的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． （1）如图①，连接与，交于点． ①求证：； ②求证：； （2）如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 【答案】（1） 证明：①四边形为矩形，， ， ，，， ， ∴， ； ②四边形为矩形，， ， ， 由①得， ， 又， ， ， ∴ 又， ， ， ， ∴， ； （2） 证明：如图②，过点作，交延长线于点，连接，， 则， 四边形为矩形，，， ，，， ∴， 则， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴； ， ， ， ，，三点在同一条直线上． 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． （1）①根据，，可证明结论； ②根据①中相似得，则，，得，从而证明结论； （2）过点作，交延长线于点，连接，，由形相似知，得，得，，证明，得，从而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）如图1，连接，点E在直线上方的抛物线上，连接，当面积最大时，求点E坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）E的坐标为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式．再将其变为顶点式即得出顶点坐标； （2）由抛物线解析式可求，即．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设．过点E作轴于点H，交于点F，则，即得出，，从而得出．再根据三角形面积公式可得出，结合二次函数的性质即可求出点E的坐标； （3）设．分类讨论：①当在右侧时，设交x轴于G和②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P．分别根据相似三角形的判定和性质求出点G和点N的坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，最后两个直线解析式分别与二次函数解析式联立，再求解即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：. ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 对于，令，则， 解得：． ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点E在直线上方的抛物线上， ∴设． 如图，过点E作轴于点H，交于点F， ∴， ∴，， ∴． ∴ ． ∵，， ∴当时，面积最大，此时， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 在抛物线上存在点M，使， 理由：设， 分类讨论：①如图，当在右侧时，设交x轴于G， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， 解得：， ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，， ∴； ②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． 联立，解得：，， ∴． 综上所述，存在点M，其坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的最值问题，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直线与抛物线的交点问题等知识，为中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期梦之队单元检索（相似） 一、选择题（每小题4分，共10小题） 1. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形 2. 如图，，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 4. 幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，已知，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处（），那么小玻璃管口径的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则 A. B. C. 4 D. 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 10. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共6小题） 11. 两地的实际距离是，在绘制的地图上量得这两地的距离是，那么这幅地图的比例尺为______． 12. 如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是___________． 14. 如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点D离墙的距离．若，则梯子的长为_______． 15. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 16. 如图，在中，点是边上一点，，，，且，过边上一点作，若，则的长度为__________． 三、解答题（共9小题） 17. 如图，与中，，；证明：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出； （2）以点O为位似中心，在网格范围内画出与相似比为2的． 19. 如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？ 20. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若. （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 如图，已知矩形，点E为BC边上一点． （1）尺规作图：在CD边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求CF的长． 22. 如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 23. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 24. 在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． （1）如图①，连接与，交于点． ①求证：； ②求证：； （2）如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 25. 如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）如图1，连接，点E在直线上方的抛物线上，连接，当面积最大时，求点E坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $