2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷（五）

长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（五） 数 学 温馨提示： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．在实数，，1，中，最小的数是（   ） A． B． C．1 D． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表： 平均数 中位数 众数 方差 9.3 9.2 9.2 0.2 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在的延长线上，，，，，则的大小为（    ） A．30° B．18° C．15° D．10° 6．已知点，均在直线的图象上，则，的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 9．如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ） A．6 B． C．9 D．12 10．甲、乙、丙3个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理，化学中的一个专业，且满足：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理．则（    ） A．甲在C校学习，丙在B校学习 B．甲在B校学习，丙在C校学习 C．甲在B校学习，丙在A校学习 D．甲在C校学习，丙在A校学习 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 12．若，，则 ． 13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为，则布袋中黑球的个数为 ． 14．如图，菱形的对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）    15．如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 16．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，,两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以,,为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有 个． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17．计算： 18．先化简，再求值：，其中， 19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高． 20．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，） b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，； c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表： 年级统计量 平均数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中的值为 ； (2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由； (3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数． 21．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 22．为打造“绿色城市”降低空气中的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． (1)求平均每年投资增长的百分率； (2)若增长率不变，请你计算一下2020年投资多少万元？ 23．如图，在正方形中，、两点分别在边和上，于点，交于点． (1)求证：； (2)如图，过作的垂线分别交、于、两点，求证：； (3)如图，若、和三点分别为、和的中点，，求的值． 24．我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数与函数互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则 ； ； ． (2)对于任意非零实数r、s，点与点 始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“共赢”函数． ①求函数y2的图像的对称轴； ②函数y2的图像与直线交于A、B两点，且AB长为，求的函数表达式； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数的图像顶点分别为点A、点B．若函数，的图像交于不同两点C，D，且四边形为菱形，，请求出该菱形面积的取值范围． 25．如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，． (1)求证：． (2)当时，记，记． ①当时，求t的值； ②求t的最大值． (3)当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B A B D C C B C C C 二、填空题 11． 12．5 13．16 14． 15．或或（任选一个即可）． 16．4 三、解答题 17．【详解】解： 18．【详解】解： ， 当，时，原式． 19．【详解】（1）解： ， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． （2）解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 20．【详解】（1）解：依题意，第和个数分别为为， ∴ （2）解：小佳是七年级的学生， 理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为， ∴小佳是七年级的学生； （3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为（人） 21．【详解】（1）∵ ∴ 即 又∵， ∴           （2）∵ ∴ ∴． 22．【详解】（1）解：设平均每年投资增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每年投资增长率为； （2）万元， 答：2020年投资1331万元． 23．【详解】（1）证明：过点E作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：过点F作于点N，如图所示： ， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得：四边形为矩形， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴． （3）解：连接并延长交于点K，连接，过点E作于点I，如图所示： 设正方形边长为，则，， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M、N分别为、的中点， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：∵与互为“共赢”函数， ∴，，， 故答案为：，，， （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴ ∴，∴对称轴为， ②联立，得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：，解得：， 分别代入， ∴或 （3）解：∵， ∴，， ， 同理， ， 联立，，得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：轴， 设，∵， ∴， ∴， 将，代入，得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴，即：， ∴，，， ∵， ∴， ∴，∴， 25．【详解】（1），， ， ， ， ； （2）①， ， ， ， ∴， ∵和的底边分别为，，高相等， ， ， ， 代入得：， 整理得：， 当，， 解得或（舍去）， ． ②，， ， ，即， 设，则，函数图像如图， 由图像可知，当时，t可以取得最大值，令，解得， 的最大值为； （3）， ， ∵为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵m，n均为正整数， ， ，解得， ∴ ， ∵， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 设，在中，， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$