精品解析： 2024年山东省临沂市兰山区中考二模数学试题

2024年初中学生学业水平模拟考试试题 数 学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 计算：（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. 今年“五一”假期，临沂所辖京沪、日兰、长深、青兰、岚菏、滨台6条高速公路总车流量达251.77万车次，高速公路区域车流量再创历史新高．其中数据251.77万用科学记数法．表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美，极富变化.下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．某个部件“卯”的实物图如图所示，它的俯视图是（ ） A B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，一个三角尺的直角顶点在直线b上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在体育中考模拟测试中，九年级某班7名女生仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：52，54，55，46，52，53，52．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 52，54 B. 53，54 C. 52，52 D. 52，56 8. 不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 39 9. 如图，点P是⊙O外任意一点，连接，分别以点O，P为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点C．以点C为圆心，以为半径作圆，交于点A，B，作直径，连接，．当，时，点O到弦的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，下列结论：①当时，的面积为4；②当与时，的面积相等；③当时，P，B，Q三点无法构成三角形；④正方形的边长是4．其中说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： ______． 12. 分式方程的解为______． 13. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转得扇形，点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在上时旋转停止，则阴影部分的面积为______． 14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形和都是正方形．如果，那么与的面积比为______． 15. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为______元． 16. 如图，将边长为1的等边以B为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第一次变换；再将以为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为88万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 19. 某中学为落实“双减”，丰富学生的文体生活，特开设了A声乐、B足球、C书法、D舞蹈等四项选修课程，学校要求每名学生必须选修且只能选修一项课程．为保证课程的有效实施，学校随机对部分学生选择课程情况进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校这次调查共抽取______人，______，补全条形统计图； （2）该校有2000名学生，请你估计选择“A”课程的学生有多少名； （3）在选修课程中表现优异的小颖和小慧两位同学被选中与其他学生一起参加展示表演，展示表演分为3个小组，求小颖和小慧两人恰好分在不同组的概率． 20. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， （1）按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； （2）按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 21. 【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 22. 如图，是直径，弦于点E，过点D作交的延长线于点H，点F是延长线上一点，． （1）求证：是切线； （2）若，，求半径的长． 23. “口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． （1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以O为原点，为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； （2）在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽CB为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时的值为，请你求h的取值范围． 24. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学生学业水平模拟考试试题 数 学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 计算：（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键． 根据减去一个数，等于加上这个数的相反数把减法变加法，然后根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 今年“五一”假期，临沂所辖京沪、日兰、长深、青兰、岚菏、滨台6条高速公路总车流量达251.77万车次，高速公路区域车流量再创历史新高．其中数据251.77万用科学记数法．表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：251.77万， 故选：A． 3. 中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美，极富变化.下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 4. 榫卯是中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．某个部件“卯”的实物图如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即 故选：A． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式除以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，，一个三角尺的直角顶点在直线b上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，邻补角；由直角三角形的性质可求得的度数，由三角形外角的性质可求得的度数，由邻补角即可求得的大小． 【详解】解：如图，由于三角尺是直角三角形，且， 则， ， ； ， ； 故选：A． 7. 在体育中考模拟测试中，九年级某班的7名女生仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：52，54，55，46，52，53，52．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 52，54 B. 53，54 C. 52，52 D. 52，56 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数值叫做众数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 根据众数和中位数定义进行解答． 【详解】解：∵52出现的次数最多， ∴众数是52， 将这组数据从小到大顺序排列为，46，52，52，52，53，54，55， 最中间的数是52， ∴中位数是52． 故选：C． 8. 不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握用频率估计出事件的概率是解题关键． 先根据频率估计出“摸到红球”的概率，再根据部分的具体数目总体数目相应概率计算即可． 【详解】解：∵随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35， ∴盒子中约有红球（个）， 故选：B． 9. 如图，点P是⊙O外任意一点，连接，分别以点O，P为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点C．以点C为圆心，以为半径作圆，交于点A，B，作直径，连接，．当，时，点O到弦的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，也考查了等边三角形的性质及判定，圆周角定理、切线的判定与性质、切线长定理，解直角三角形． 先由几何语言判定是线段的垂直平分线，从而得到，再由圆周角定理可得，由此可证直线，为的切线，再解直角三角形即可得结论． 【详解】解：设与相交于点Q， 连接, 由作法可知，是线段的垂直平分线， ， 为的直径，A，B在上， ， 半径，半径， 直线，为的切线， ，， ， 是等边三角形， ， ，，， ，， ， 故答案为：． 10. 如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，下列结论：①当时，的面积为4；②当与时，的面积相等；③当时，P，B，Q三点无法构成三角形；④正方形的边长是4．其中说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2当时，P运动到中点，Q运动到C点，根据三角形的面积求出正方形的边长．再解答问题即可 【详解】解：设点P运动的速度为m，则点Q的速度为， 由图2可知，当时，的面积为4，则： ∴， ∴当时， ∵点Q的速度是点P速度的2倍， ∴， ∴当时，点Q运动至C点， ∴正方形边长为4，故①④正确， 当时，点P运动到B点，P，B，Q三点无法构成三角形；故③正确， 当时， ∴； 当时，如图， ∴ ∴当与时，的面积不相等，故②错误， 所以，正确的结论是①③④， 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式3，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 分式方程的解为______． 【答案】##-9 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再检验即可得到方程的解． 【详解】解：， 去分母得， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 13. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转得扇形，点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在上时旋转停止，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，先判定为等边三角形，根据求解即可 【详解】解：如图，连接，作于点E， 由题意：， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形和都是正方形．如果，那么与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正切函数，相似三角形的判定与性质；利用互余关系可得，再由平行关系可得，则；设，则得；易得，则由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：四边形和都是正方形， ， ， ； 四边形是正方形， ， ， ， ； 设，则， ； ， ， ， 故答案为：． 15. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为______元． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价． 【详解】解：设降价x元，利润为W， 由题意得：， 整理得：， ∴当时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：（元）， 故答案为：75． 16. 如图，将边长为1的等边以B为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第一次变换；再将以为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，根据等边三角形的性质和旋转的性质可得第6次变换后O点的对应点为，在x轴上，到原点的距离为，故可得答案 【详解】解：根据题意得，第一次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为： 第二次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为： 第三次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为： 第四次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为： 第五次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为： 而第六次旋转以点为旋转中心， 所以，第6次变换后O点的对应点是， 故第6次变换后O点的对应点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的化简求值： （1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可； （2）原式先将括号内的通分计算后，再将除法转换为乘法后约分化简得最简结果，再代入x的值进行计算即可 【详解】解： ． （2） ． 当时，原式． 18. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为88万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】（1）每辆A型车售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元． （2）B型车至少销售8辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为88万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元． 根据题意，得：，解得： 答：每辆A型车的售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元． 【小问2详解】 解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆． 根据题意得：．解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为8． 答：B型车至少销售8辆． 19. 某中学为落实“双减”，丰富学生的文体生活，特开设了A声乐、B足球、C书法、D舞蹈等四项选修课程，学校要求每名学生必须选修且只能选修一项课程．为保证课程的有效实施，学校随机对部分学生选择课程情况进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校这次调查共抽取______人，______，补全条形统计图； （2）该校有2000名学生，请你估计选择“A”课程的学生有多少名； （3）在选修课程中表现优异的小颖和小慧两位同学被选中与其他学生一起参加展示表演，展示表演分为3个小组，求小颖和小慧两人恰好分在不同组的概率． 【答案】（1）200；16；图见解析 （2）选择“A”课程的学生大约有640名； （3） 【解析】 【分析】（1）由选择的学生人数除以百分比得出学校这次调查共抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由该校学生总人数乘以选择“”课程的学生人数所占的比即可； （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和小慧两人恰好分在不同组的结果有6种，由概率公式求解即可 【小问1详解】 解：学校这次调查抽取的总人数为：（人， 则， ∴ 选择的学生人数为：（人， 故答案为：200；18； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：(人)， 选择“A”课程的学生有640名 【小问3详解】 解：3个小组记为，，， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小颖和小慧两人恰好分在不同组的结果有6种， 小颖和小慧两人恰好分在不同组的概率为． 【点睛】此题考查的是条形统计图，扇形统计图，样本容量，用样本估计总体，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， （1）按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； （2）按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 【答案】（1）18 （2）旗杆的高约为18米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化成数学问题是解决问题的关键． （1）过A作于E，得到，解直角三角形即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，设米，得到，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）过A作于E， 则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴， 设米， 根据题意得，四边形为矩形， ∴， 则， 在中，，， ∴， 解得：， ∵平行线间的距离处处相等， ∴米， ∴（米）， 答：旗杆的高约为18米． 21. 【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 【答案】（1），；（2），图见解析，或；（3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为，然后作答即可； （2）由，可得，则不等式需要借助函数和函数的图象来求解，作函数图象，然后结合图象求不等式的解集即可； （3）结合图象求，的解集，然后求不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴需要借助函数和函数的图象来求解， 作函数的图象，如图2， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：∵， ∴， 如图3，作函数的图象， 由图象可知，的解集为或， ∵， ∴， 由图象可知，的解集为， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数形结合求不等式（组）的解集，反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象等知识．数形结合是解题的关键． 22. 如图，是的直径，弦于点E，过点D作交的延长线于点H，点F是延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）详见解析 （2）半径的长为5 【解析】 【分析】（1）连接，则，由于点E，得，由，，得，则，即可证明是的切线； （2）由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是5． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵于点E， ∴， ∵交的延长线于点H，点F是延长线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴半径的长是5． 【点睛】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 23. “口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． （1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以O为原点，为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； （2）在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽CB为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时的值为，请你求h的取值范围． 【答案】（1）①；②喷灌器底端到点的距离为 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意并求出函数解析式是解题的关键． （1）①由题意得抛物线的顶点坐标为，故设抛物线解析式为，将点A的坐标代入解析式中，可求得a的值，即可求得抛物线解析式； ②令，求得x的值，即可得点B的坐标，喷灌器底端到点的距离； （2）由题意可求得D、E的坐标，求出抛物线向上平移恰好经过点E时的抛物线解析式，则可求得最大的值，进而求得此时向上平移的最大h值；由题意可得喷出的水柱恰好经过点D时最小的h值，从而可得h的取值范围． 【小问1详解】 解：①由题意知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入得：，解得：． 抛物线的解析式为． ②令，得． 解得：． ． ． 喷灌器底端到点的距离为． 【小问2详解】 解：， ． ． 设平移后抛物线解析式为， 把代入得，． 解得：． ； 当时，． 的最大值为． ． 又的最小值为， ． 使水柱落在花坛的上方边上．的取值范围为． 24. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）详见解析（2）（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点C，点E，点B，点F在为直径的圆上， ∴点，点E，点B，点F四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当E在线段上时，由（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当或时，点M不存在，所以， ∴， 当E在延长线上时，设，则 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（不合题意，舍去），， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$