2024年北京市中考 二模数学汇编：第28题-新定义

2024年北京中考初三二模 数学汇编：新定义 1、（2024北京北师大实验中学初三二模数学试题）如图，直线y=x+与x轴，轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与轴的交点为C，D,其中点C的坐标为（2,0）．直线BC与直线PD相交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点O． ①求该抛物线的函数表达式； ②求的值. （2）连接PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由． 2、（2024北京一零一中学初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义:线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M',N'分别是M，N的对应点）.若MN与M'N'均与图形（包括内部和边界）有公共点，则称线段MN为图形W关于直线l的“对称连接线段”. (1) 如图1，已知圆O的半径是2，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数，在线 段B1C1，B2C2，B3C3中，是⊙O关于直线y=x-1的“对称连接线段”的是 （2）如图2，已知点P（0,1），以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP是正方形ABCD关于直线y=kx+2的“对称连接线段”，求k的取值范围. （3）已知⊙O的半径为r，点M（1,0），线段MN的长度为1. 若对于任意过点Q（0,2）的直线l，都存在线段MN是⊙O关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围 . 3、（2024北京海淀区初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”． （1）若点A（0,-1），C（1,0），四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标； （2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长； （3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围． 4、（2024北京燕山初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1） 如图，点A（－1，0），B1（，），B2（－，－）． ① 在点C1（－1，1），C2（－1，），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 ； ② 若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长． （2） 已知直线y= -x+2与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长． 5、（2024北京朝阳区初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC是直角三角形，称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，已知点A（-1，0），B（0，-1），在点O（0，0），C1（1，1），C2（1，2）中，是弦AB的“关联点”的是______； （2）已知⊙O的弦A1B1的“关联点”C在y轴上，△A1B1C有一边与⊙O相切，设点 A1（x1，y1），当≤x1≤时，直接写出点C的纵坐标的取值范围； （3）若点E，F在⊙O上，EF⊥y轴，EF= t，已知点M（1，0），N（0，2），若线段MN上存在一点P是⊙O的弦EF的“关联点”，且∠EPF=90°，直接写出t的取值范围． 6、（2024北京门头沟区初三二模数学试题）对于关于x的一次函数y=kx+b（k0），我们称函数y{n}= 为一次函数y=kx+b（k0）的n级衍生函数（其中n为常数）． 例如y= -4x+1的3级衍生函数为：当x<3时，y{3}= -4x+1；当x≥3时，y{3}= -4x-1． （1）如果y=x+1的4级衍生函数为y{4}， ①当x = 3时，y{4}= ；②当y{4}= - 时，x= ． （2）如果y=2x+1的-2级衍生函数为y{-2}，求双曲线y= - 与y{-2}的图象的交点坐标； （3）如果以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y= -x+2的-1级衍生函数y{-1}的图象有交点，直接写出t的取值范围． 7、（2024北京房山区初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，对于两点M，N和直线l，过点M作直线l的垂线，垂足为点P，若点N关于点P的对称点为点H，则称点H为点M关于直线l和点N的“垂足对称关联点”． 已知点A（4，0），B（0，2）. （1）①点（1，3）关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为 ； ②点A为点A关于直线l和点（6，-2）的“垂足对称关联点”，则点到直线l的 距离为 ； （2）如图，点C在线段AB上，点D在x轴下方，且满足OD=1，若直线y=x+b上 存在点C关于x轴和点D的“垂足对称关联点”，求b的取值范围. 8、（2024北京西城区初三二模数学试题）如图1，对于⊙O外的线段PQ（线段PQ上的各点均在⊙O外）和直线PQ上的点R，给出如下定义：若线段PQ绕点R旋转某一角度得到的线段P′Q′恰好是⊙O的弦，则称点R为线段PQ关于⊙O的“割圆点”. 图1 图2 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1. （1）如图2，已知点S（1，4），T（1，2），U（1，2），W（0，3）. 在线段ST，TU，UW中，存在关于⊙O的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线 y x b经过点W（0, 3），与x轴的交点为点V. 点P，点Q都在线段VW上，且PQ.若线段PQ关于⊙O 的“割圆点”为点R，写出点R的横坐标xR的取值范围； （3）直线l经过点H（1, ），不重合的四个点A，B，C，D 都在直线l上，且点H既是线段AB关于⊙O的“割圆点”，又是线段CD关于⊙O的“割圆点”.线段AB，CD的中点分别为点M，N，记线段MN的长为d，写出d的取值范围. 9、（2024北京石景山区初三二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P为 ⊙O 外一点.给出如下定义: 以线段OP为对角线作矩形OMPN，若点M在⊙O内或⊙O上，点N在⊙O外，则称矩形OMPN是点P的“圆伴矩形”. 例如，图1中的矩形OMPN是点P的一个“圆伴矩形”. (1) 已知矩形OMAN是点A的“圆伴矩形”且点N在⊙O外， ①若点A的坐标为( 2 ，1 ) 且点M在⊙O上，则矩形OMAN的面积是 ②若点A的坐标为( 2，0)，则点N的横坐标t的取值范围是 （2）已知OB 2，直线y x b（b 0）与x轴，y轴分别交于点C，D.若线段CD上存在点N，使得矩形OMBN是点B的“圆伴矩形”(点N在⊙O外)，直接写出b的取值范围. 10、(2024北京丰台区初三二模数学试题)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义：若∠BAC=90°，则称弦BC是点A的“关联往”. (1)如图1，已知点A(1，0)，点B1(2,0)，C1（1，），B2（-2，0），C2（1，-3) B3（0，2)，C3(-1，-)，在弦BC，B2C2，B3C3中，点A的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点B(-，-1)，C(，-1)在⊙O上，弦BC是点A的“关联弦”，直接写出OA长度的最大值； (3)如图3，已知点M(0,-2)，N(2，0)，对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦 BC，使得弦BC是点S的“关联弦”，若对于每一个点S，将其对应的“关联弦”BC长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围， 11、(2024北京东城区初三二模数学试题) 在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线，称线段PQ的中点到直线的距离为线段PQ关于直线的平均距离，记为t. 已知点A（3,0），B（0,3） （1）线段AB关于x轴的平均距离t为________； （2）若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN=2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为； （3）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围. 12、（2024北京顺义区初三二模数学试卷）在平面直角坐标系xOy中,对于点P 和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合,使点P关于直线OQ的对称点P′在图形M上，则称P为图形M的关联点 （1）如图，点A (-2,2)，B (2,2).在点C1(1,0)，C2(2,-2)，C3(-2,0)中，线段AB 的关联点是 ； (2)已知点D(-1,0)，⊙D的半径为2，点P在直线y=x上，若P为⊙D的关联点求点P的横坐标xp的取值范围； (3) ⊙T的圆心为(0,t)，半径为3，x轴上存在⊙T的关联点，直接写出t的取值范围. 13、（2024北京昌平区初三二模数学试题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义: 将图形M绕P顺时针旋转90°得到图形N，当图形 M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”. 已知A(0，2)，B(3，1). (1)如图1，点P是线段AB的“关联点”，在点P1(1,0)，P2(0,1)，P3(2,3)中则满足条件的点是 ； (2)若直线y= -x +b上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以(t,0)为圆心，1为半径的⊙T，若线段AB上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围. 参考答案 1、【答案】（1）①y=-x2+3x；② （2）能， 或 或 - 或 -． 【解析】 （1）解：①∵OC=2， ∴顶点P的横坐标为1． ∴当时，y= x+= ， ∴点P的坐标是． 设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+，把（0，0）代入， 得0=a+， 解得a=—． ∴该抛物线的函数表达式为y=—(x-1)2+， 即y=—x2+3x． ②如图1，过点E作EH⊥OC于点H． 设直线BC为y=kx+，把C（2，0）代入，得0=2k+， 解得k=—， ∴直线BC为y=—x+． 同理，直线OP为y = x． 由 解得 ∴． ∴OH=，HC= 2- = ． ∵EH//BO， ∴==． （2）设点的坐标为，则点的坐标为（2t-2，0）． ①如图2-1，当t＞2时，存在∠CPE=∠BAO． 记∠CPE=∠BAO=α，∠APC=β则∠APD=α+β． ∵∠PCD为△PAC的外角， ∴∠PCD=α+β． ∵PC=PD． ∴∠PDC=∠PCD=α+β. ∴∠APD=∠ADP． ∴AP=AD=2t． 过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2． 在Rt△APF中，cos∠BAO==， ∴=，解得t=6． ∴点P的横坐标为6． ②如图2-2，当0＜t≤2时，存在∠CPE=∠BAO． 记∠CPE=∠BAD=α，∠APD=β. ∵∠PDC为△PAD的外角， ∴∠PDC=α+β. ∴∠PCD=∠PDC=α+β ∴∠APC=∠ACP． ∴AP=AC=4． 过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2． 在Rt△APF中，COS∠BAO==， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ③如图2-3，当-2＜t≤0时，存在∠CPE=∠BAO．记∠BAO=α． ∵PC=PD， ∴． ∴． ∴∠APD=∠PDA． ∴AD=AP= —2t． 过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2． 在Rt△APF中，=COS∠BAO= ∴，解得t=-． ∴点P的横坐标为-． ④如图2-4，当t≤ -2时，存在∠CPE=∠BAO．记∠BAO=α． ∵PC=PD， ∴． ∴． ∴PA=CA=4． 过点P作PF⊥x轴于点，则AF=—t—2． 在Rt△APF中，， ∴=，解得t=—． ∴点P的横坐标为—． 综上，点P的横坐标为6，，-，-. 2、【答案】（1）B1C1，B3C3; （2）k≥1或k≤-1 （3）r≥+1 【解析】（1）解：如图 1: 因为C1关于y=x-1的对称点是（0,-2）在⊙O上，所以B1C1是⊙O关于直线y=x-1的“对称连接线段”因为B2和C2关于y=x-1的对称点是（2,-1）和（1,3）在⊙O外，所以B2C2，不是⊙O关于直线y=x-1的“对称连接线段”，因为B3关于y=x-1的对称点是（1,1）在⊙O内，所以B3C3，是⊙O关于直线y=x-1的“对称连接线段” 故答案为：B1C1，B3C3 (2) 解：如图2： 设直线y=kx+2交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等， 所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动，当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，过点P的对称点是（—1，2）和（1，2）时是临界，此时k的值分别是1和—1. ∴k≥1或k≤-1. (3) 解：如图3： 连接MQ，则MQ=， ∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是+1和-1的圆上运动，设半径是的圆交轴于点W， ∴r≥+1. 3、【答案】（1）如图，四边形ABCD即为所求. 点D的坐标为D(1，-2). （2）如图，弦AB的弦切四边形为正方形ABCD，设正方形ABCD的边长为，CD与 ⊙O的切点为E，连接EO并延长交AB于点F. ∵CD与⊙O的切点为E，EF经过圆心O， ∴EF⊥CD. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB // CD，AB=BC=a. ∴EF⊥AB. ∴，EF=BC=a. ∵OE=1， ∴OF=a-1. 在Rt△OAF中，由勾股定理得，OA2=OF2+AF2. ∴. 解得 a=. ∴AB的长为. （3）或t=2. 4、【答案】（1）①C2； ② AC＝ OC＝； （2） S的最小值为，PQ＝； S的最大值为，PQ＝． 5、解：【答案】（1）O，C2 （2）— ≤ yc＜-1或1＜yc≤ （3）≤t≤2 6、【答案】解：（1）①4； ② - （2）（1，－3）、 (-，2) （2）或. 7、【答案】（1）①； ②； （2）解：∵点D在x轴下方，且满足OD=1， ∴点D的轨迹是以O为圆心，为半径在轴下方的半圆 （不包含与轴的交点）. ∵点C在线段AB上， ∴过C点向轴作垂线，垂足在轴上，垂足的横坐标的取值范围是：. ∴点C关于轴和点D的垂足对称关联点的轨迹如图所示. ∵直线y=x+b上存在点C关于轴和点D的垂足对称关联点， ∴①当直线与⊙相切时，半径r=1,则直线y= x+b与y轴交于（0，），可得：b=. ②当直线y=x+b过（9,0）时，可得：b=-9 ∴-9＜b≤. 8、【答案】解：（1）UW，（2,1）； （2）xR ≤2或xR ≥1； （3）0d 2或2d≤4. 9、【答案】解：（1）①2; ②≤t≤2； （2）-＜b≤-或≤b＜ 10、【答案】解：(1)B1C1，B2C2； (2)1+； (3)2≤d≤4. 11、【答案】解：(1). (2) -1 (3)≤t≤ 12、【答案】(1)C2，C3 (2)∵D (-1，0)，⊙D的半径为2，P为⊙D的关联点 ∴OE=3，OF=1， 点P在直线y =x上，当OP=OE=3时， ∴点P1的横坐标是 −，P4的横坐标是，点P在直线y =x上，当OP= OF=1时， ∴点P2的横坐标是−，P3的横坐标是， ∴点P的横坐标的取值范围是−≤xp≤− 或 ≤xp≤ (3)-6≤t≤6 13、【答案】（1）P1，P3； （2）1≤b≤5； （3）6-2≤t≤4. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$