2025届高三数学一轮复习对点练70：抛物线

2025届高三数学一轮复习对点练70　抛物线 【基础巩固】 1.抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A.y＝－ B.x＝－ C.y＝ D.x＝ 2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 3.(2024·合肥质检)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为(　　) A.4 B.3 C.8 D.3 4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则·的取值范围是(　　) A.(1，2] B.(1，2) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.p＝4 B.抛物线方程为y2＝16x C.直线l的方程为y＝2x－4 D.|AB|＝10 7.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A.p＝2 B.|MN|＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 8.(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为____________. 9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________. 10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________. 11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP. 【能力提升】 13.(2024·长沙调研)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点(2，0)的直线交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为(　　) A. B. C. D.1 14.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A.p＝4 B.＝ C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4 15.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________. 16.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点. (1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值； (2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程. 参考答案 1.A　[由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.] 2.B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 3.A　[抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2. 设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离， 所以|MF|＝x0＋2＝8， 所以x0＝6. 因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上， 所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4， 所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4.] 4.D　[过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N， 则△PAE∽△PBN，得＝. 由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|， 则＝＝＝＝＝3，解得p＝4.] 5.D　[由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，则A(m，0)， 由得y2－4ty－4m＝0， 由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2， ∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t). 结合F(1，0)，得＝(t2－1，2t)，＝(－1，t)， ∴·＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.] 6.ACD　[由焦点F到准线的距离为4， 根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确； 则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误； 则y＝8x1，y＝8x2， 若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4， ∴y－y＝8x1－8x2，即＝＝＝2， ∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.] 7.AC　[对于A，因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1，0)， 所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)， 所以＝1，即p＝2，所以A正确； 对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2， 联立方程得 消去y并整理得3x2－10x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝3. 由抛物线的定义得， |MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B错误； 对于C，法一　由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，半径r＝|MN|＝＝＋1， 所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确； 法二　由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确； 对于D，由B知M，N(3，－2)， 所以由两点间距离公式可得 |OM|＝，|ON|＝， 又|MN|＝，故D错误.] 8.　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p， 于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－， 所以A到准线的距离为1－(－)＝.] 9.6　[由题意得直线OP的斜率存在. 设直线OP的方程为y＝kx， 因为该直线与圆C相切， 所以＝，解得k2＝3. 将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0， 因为k2＝3， 所以3x2－2px＝0，解得x＝0或， 设P(x1，y1)，则x1＝，又O(0，0)， 所以|OP|＝|x1－0|＝2×＝8， 解得p＝6.] 10.3　[易得F(1，0)，设P(－1，t)， 则kPF＝＝－，所以kPA＝， 直线PA的方程为y－t＝(x＋1)， 即y＝x＋＋t， 易得A，B，A，B，F共线， 所以＝，得t2＝2， 所以|AF|＝＝＝3.] 11.解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2， 故抛物线焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p>0). 又＝2，∴2p＝8， 故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中， 得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 12.(1)解　抛物线C的焦点为F，准线方程为y＝－，所以焦点F到其准线的距离为＝1， 因为m>0，所以m＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝2y. (2)证明　由题意，直线AB的斜率一定存在， 设直线AB的方程为y＝kx＋， 代入抛物线方程x2＝2y， 整理得x2－2kx－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1. 函数y＝x2的导函数为y′＝x， 故抛物线在点A处的切线方程为 y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－， 同理，抛物线在点B处的切线方程为y＝x2x－， 联立上述两切线方程， 解得x0＝＝k，y0＝＝－. 因为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，＝， 所以·＝(x2－x1)＝(x2－x1)＝0， 所以AB⊥FP. 13.A　[设抛物线C：y2＝2px，p>0. 显然直线PQ的斜率不为0， 设直线PQ的方程为x＝ty＋2， P(xP，yP)，Q(xQ，yQ). 将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得y2－2pty－4p＝0， ∴Δ＝4p2t2＋16p>0，yP＋yQ＝2pt，yPyQ＝－4p， ∴xPxQ＝＝4. ∵OP⊥OQ，∴xPxQ＋yPyQ＝4－4p＝0， ∴p＝1，此时yP＋yQ＝2t，xP＋xQ＝2t2＋4， ∴M(t2＋2，t)， 又F，∴直线MF的斜率 kMF＝＝， 当t＝0时，kMF＝0， 当t≠0时，kMF＝＝≤， 当且仅当t2＝时取等号. ∴直线MF的斜率的最大值为.] 14.ABC　[如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF. 设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p. 因为直线l的斜率为， 所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴， 所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知， |AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8， 得p＝4，故A正确. 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE， 所以F为AD的中点，则＝，故B正确. 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°， 所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确. 因为|BD|＝2|BF|， 所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误.] 15.13　[由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)， 抛物线的准线方程为x＝－2， △PAF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|， |AF|＝＝5. 如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D， 由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|， ∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小， 则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值， 即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8， ∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.] 16.解　由已知可得F(0，1)， 设A，B， 由得x2－4kx－8＝0， 所以x1＋x2＝4k，① x1x2＝－8.② (1)|FA|＋|FB|＝＋1＋＋1＝＋2. 当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10. (2)由题意可知＝，＝，＝(－3，－3). 由∠CFA＝∠CFB， 得cos〈，〉＝cos〈，〉， 即＝， 又|FA|＝＋1，|FB|＝＋1， 所以＝， 可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0， 即4＋8k＋8＝0.解得k＝－， 所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$