2025届高三数学一轮复习对点练79：成对数据的统计分析

2025届高三数学一轮复习对点练79　成对数据的统计分析 【基础巩固】 1.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　　) A.均值 B.方差 C.独立性检验 D.回归分析 2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性？(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.根据如表样本数据： x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 －0.5 －2 －3 得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　) A.＞0，＞0 B.＞0，＜0 C.＜0，＞0 D.＜0，＜0 4.某公司在2019～2023年的收入与支出情况如下表所示： 收入x(亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 根据表中数据可得经验回归方程为＝0.8x＋，依此估计该公司收入为8亿元时的支出为(　　) A.4.2亿元 B.4.4亿元 C.5.2亿元 D.5.4亿元 5.(2024·河北“五个一”联盟联考)某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的5人中，通话时间(单位：秒)如表所示： 序号x 1 2 3 4 5 时间y 37 65 21 m 32 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程＝x＋40.9.据此求出(5，32)残差为－7.4，则m＝(　　) (残差＝实际值－观测值) A.45 B.25 C.37 D.7 6.(多选)(2024·南京调研)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系，某研究部门得到下表的样本数据： x 140 150 170 180 195 y 23 24 26 28 28 若y与x线性相关，且经验回归方程为＝0.1x＋，则下列说法正确的是(　　) A.＝9.1 B.当x增加1个单位时，y增加约0.1个单位 C.y与x正相关 D.若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.1 7.(多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 幸福感强 幸福感弱 合计 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得：χ2≈12.981，参照下表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 对于下面的选项，正确的是(　　) A.根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关” B.m＝54 C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” D.n＝52 8.某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元/件)和销售量y(件)的数据如下表所示： 售价x 9 9.5 m 10.5 11 销售量y 11 n 8 6 5 由表中数据可知，销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________. 9.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用＝c1ec2x拟合时的决定系数为R，用＝x＋拟合时的决定系数为R，则R，R中较大的是________. 10.一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示： 性别 注意力 稳定 不稳定 男 29 7 女 33 5 则χ2＝________(精确到小数点后三位)，依据概率值α＝0.05的独立性检验，该实验______该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异(填拒绝或支持). 11.(2024·济南调研)某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响.已知批次甲的三道工序次品率分别为，，. (1)求批次甲芯片的次品率； (2)该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手机上使用.现对使用这款手机的100名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，安装批次甲的有40名，其中对开机速度满意的有30名；安装批次乙的有60名，其中对开机速度满意的有55名.试整理出2×2列联表(单位：名)，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关. 批次 是否满意 合计 满意 不满意 甲 乙 合计 附：χ2＝. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 【能力提升】 13.(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示. X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 20－a 20 X2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a，15－a均为大于5的整数，若依据α＝0.05的独立性检验可以认为X与Y有关，则a的可能取值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 14.(多选)(2024·长沙适应性考试)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为2＝132.9e－0.163x，决定系数为R＝0.99，则下列说法正确的是(　　) A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B.由方程1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0 kPa C.由方程1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程2＝132.9e－0.163x的预报效果更好 15.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝2e2x＋1的图象附近，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程为z＝mx＋n，则mn＝________. 16.(2024·厦门质检)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2023年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.如图是2019～2023年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2019～2023对应的t分别为1～5. (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度； (2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型(随机误差ei＝yi－bxi).请推导：当随机误差平方和Q＝e取得最小值时，参数b的最小二乘估计； ②令变量x＝t－，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年移动物联网连接数. 附：样本相关系数r＝， (wi－)2＝76.9， (ti－)(wi－)＝27.2，wi＝60.8，≈27.7. 参考答案 1.C　[由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.] 2.D　[r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强.] 3.B　[由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则＜0， ＝＝4，＝＝0.2， 又经验回归方程＝x＋经过样本点中心(4，0.2)，可得＞0.] 4.C　[根据题表中的数据，由题意得 ＝×(2.2＋2.6＋4.0＋5.3＋5.9)＝4， ＝×(0.2＋1.5＋2.0＋2.5＋3.8)＝2， ∴＝2－0.8×4＝－1.2， ∴经验回归方程为＝0.8x－1.2， 当x＝8时，＝0.8×8－1.2＝5.2(亿元)， 即预测该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.] 5.A　[由题知，当x＝5时， ＝5＋40.9＝32＋7.4＝39.4，解得＝－0.3， 所以y关于x的回归方程为＝－0.3x＋40.9. 当x＝＝3时，＝＝－0.3×3＋40.9＝40， 所以×(37＋65＋21＋m＋32)＝40， 解得m＝45，故选A.] 6.ABC　[由题意可得 ＝＝167， ＝＝25.8， 所以25.8＝0.1×167＋，解得＝9.1， 所以经验回归方程为＝0.1x＋9.1，A正确； 对于B，由＝0.1x＋9.1，可知当x增加一个单位时，y增加约0.1个单位，B正确； 对于C，因为0.1>0， 所以y与x正相关，C正确； 对于D，当x＝220时，＝0.1×220＋9.1＝31.1，抗震强度约为31.1，D错误.] 7.BC　[∵χ2≈12.981＞7.879＞6.635， ∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”， 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”， ∴A错，C正确， ∵m＋36＝90，18＋n＝60， ∴m＝54，n＝42，∴B正确，D错.] 8.10　[＝＝8＋， ＝＝6＋， 回归直线一定经过样本点中心(，)， 即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42. 又m＋n＝20，所以m＝10，n＝10.] 9.R　[由散点图知，用＝c1ec2x拟合的效果比 ＝x＋拟合的效果要好， 所以R>R，故较大者为R.] 10.0.538　支持　[由表中数据可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74， 根据χ2＝，计算可知 χ2＝≈0.538<3.841＝x0.05， 所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关， 即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.] 11.解　(1)批次甲芯片的次品率为 1－＝1－××＝. (2)零假设为H0：芯片批次与用户对开机速度满意无关，得2×2列联表如下： 批次 是否满意 合计 满意 不满意 甲 30 10 40 乙 55 5 60 合计 85 15 100 所以χ2＝ ＝≈5.229>3.841， 所以依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 所以认为芯片批次与用户对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 12.解　(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39(m3)， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)r＝ ＝ ＝ ＝≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得＝，解得Y＝1 209. 则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3. 13.CD　[根据a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6，7，8，9. 由表中数据及题意，得 χ2＝ ＝≥3.841＝x0.05， 结合选项，知a的可能取值为8，9.] 14.ACD　[对于A，由题图知，海拔高度越高，大气压强越小，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于C，当x＝11时，1＝－4.0×11＋68.5＝24.5， 又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确； 对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，故D正确.] 15.2ln 2＋2　[由z＝ln y，则ln y＝ln 2e2x＋1， 即z＝ln 2＋ln e2x＋1＝ln 2＋2x＋1， 则z＝2x＋ln 2＋1， 故m＝2，n＝ln 2＋1，所以mn＝2ln 2＋2.] 16.解　(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关. 因为＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， 所以 (ti－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10， 所以r＝ ＝＝≈≈0.98. 所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强. (2)①Q＝e＝ (yi－bxi)2 ＝ (y－2bxiyi＋b2x) ＝b2x－2bxiyi＋y， 要使Q取得最小值，当且仅当＝. ②由①知＝＝＝＝2.72， 所以y关于x的经验回归方程为＝2.72x， 又＝＝＝12.16， 所以当t＝7时，x＝7－3＝4， w＝＋＝2.72×4＋12.16＝23.04， 所以预测2025年移动物联网连接数为23.04亿户. 学科网（北京）股份有限公司 $$