广东省湛江市岭南师范附属中学2022-2023学年上学期九年级期末考试数学试卷

岭师附中2022-2023学年第一学期初中部期末考试 九年级 数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝2 2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线y＝﹣3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣3（x+2）2+1 C．y＝﹣3（x+2）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1 4．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 5．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BF的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 6．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D在边AB上，且AD＝5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 8．用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（　　） A．2πcm B．3πcm C．4πcm D．5πcm 9．若反比例函数y＝的图象在一、三象限，正比例函数y＝（2k﹣9）x在二、四象限，则k的整数值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45°，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37°．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度i＝1：3的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园AB高度为4.5米，则旗杆EF的高度约为（　　）（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 二、填空题（每空4分，共28分） 11．点M（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　 　． 12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点为A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是 　 　． 13．若x1、x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x2（1+x1）+x1的值为　 　． 14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 　 　；它的侧面积是 　 　cm2． 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA＝　 　． 16．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝　 　． 17．如图，设点P在函数的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　 　． 三、解答题（一）（每小题6分，共18分） 18．计算：（）﹣1+cos45°﹣（π﹣2022）0． 19．合肥市今年1月份新房销售量约为6000套，3月份销售量约为5400套． （1）如果2、3两个月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？（参考数据：≈0.95） （2）如果销售继续回落，按此下降百分率，你预测5月份是否会跌破4500套？请说明理由． 20．如图，在⊙O中，OA是半径，OA＝4． （1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC与OA相交于点D，BC与⊙O相交于点B，C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段BC的长度． 四、解答题（二）（每小题8分，共24分） 21．农村学生营养午餐改善计划实施以来，学生的身体素质得到提高．某学校为学生提供的营养午餐包括A、B、C、D四种套餐．为了解全校1200名学生对这四种套餐的喜好情况，老师随机抽取240名学生进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图（不完整），部分信息如下： （1）抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 　 　，扇形统计图中“C”对应扇形圆心角大小为 　 　； （2）依据本次调查的结果，估计全体1200名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中任选两人担任“节约粮食监督员”，请用列表或树状图的方法求甲被选到的概率． 22．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，求CE：CF的值． 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（n，6），直线AB与x轴、y轴分别交于D、C两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 五、解答题（三）（每小题10分，共20分） 24．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝，AD＝3，求直径AB的长． 25．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． （1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； （2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第7页/（共26页） 第8页/（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 岭师附中2022-2023学年第一学期初中部期末考试 九年级 数学试卷（参考答案） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝2 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 【解答】解：A、它不是方程，故本选项不符合题意． B、当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意． D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．将抛物线y＝﹣3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣3（x+2）2+1 C．y＝﹣3（x+2）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1 【答案】A 【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得对应点的坐标为（2，﹣1），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝﹣3（x﹣2）2﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论． 【解答】解：∵d＝3＜半径＝4， ∴直线与圆相交， 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BF的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数代入计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC＝6，CE＝3，DF＝2， ∴， 解得：BD＝4， ∴BF＝BD+DF＝4+2＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例． 6．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 【答案】B 【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2＝6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分， ①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线， ②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选：B． 【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D在边AB上，且AD＝5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据三角形中位线的性质得出OP＝AD，进而利用点与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：连接OP，∵以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P， ∴OP是△CAD的中位线， ∴OP＝AD＝2.5， ∵AO＝CO＝AC＝2， ∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外． 故选：C． 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 8．用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（　　） A．2πcm B．3πcm C．4πcm D．5πcm 【答案】C 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式计算即可． 【解答】解：这个纸帽的底面周长＝＝4π（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9．若反比例函数y＝的图象在一、三象限，正比例函数y＝（2k﹣9）x在二、四象限，则k的整数值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质得k﹣3＞0，解得k＞3，根据正比例函数的性质得2k﹣9＜0，解得k＜4.5，所以3＜k＜4.5，然后找出此范围内的整数即可． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限， ∴k﹣3＞0， ∴k＞3， ∵正比例函数y＝（2k﹣9）x的图象经过第二、四象限 ∴2k﹣9＜0，解得k＜4.5， ∴3＜k＜4.5， ∴整数k为4． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质：比例函数y＝（k≠0），当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数的性质． 10．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45°，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37°．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度i＝1：3的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园AB高度为4.5米，则旗杆EF的高度约为（　　）（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 【答案】B 【分析】延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，则△AFG是等腰直角三角形，得FG＝AG＝BM，由CD的坡度得CH＝3DH，设EG＝DH＝x，则CH＝3x，BM＝FG＝AG＝9+3x，FM＝4.5+3x，在Rt△BFM中，由三角函数定义得出＝，解得x＝3，进而得出答案． 【解答】解：延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，如图所示： 则BM＝AG，GM＝AB＝4.5，GH＝DE＝5，EG＝DH，∠MBF＝37°，∠GAF＝45°， ∴△AFG是等腰直角三角形， ∴FG＝AG＝BM， ∵CD的坡度i＝1：3， ∴＝1：3， ∴CH＝3DH， 设EG＝DH＝x，则CH＝3x， ∴BM＝FG＝AG＝GH+CH+AC＝5+3x+4＝9+3x， ∴FM＝FG﹣GM＝9+3x﹣4.5＝4.5+3x， 在Rt△BFM中，tan∠MBF＝＝tan37°＝0.75， ∴＝， 解得：x＝3， ∴FG＝18，EG＝3， ∴EF＝FG﹣EG＝18﹣3＝15（米）； 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角与俯角问题以及坡度问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每空4分，共28分） 11．点M（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，3）　． 【答案】（﹣2，3）． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：M（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点为A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是 　﹣3＜x＜7　． 【答案】﹣3＜x＜7． 【分析】由对称轴时直线x＝2得：b＝﹣4a，与x轴右交点为（5，0），代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， 则b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax+c， ∵与x轴右交点为（5，0）， ∴25a﹣20a+c＝0， ∴c＝﹣5a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣5a， ∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a， ∴ax2﹣4ax﹣21a＞0， ∵a＜0， ∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变）， ∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上， 当x2﹣4x﹣21＝0时， （x﹣7）（x+3）＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7）， ∴x1＝7，x2＝﹣3， ∴﹣3＜x＜7， 故答案为：﹣3＜x＜7． 【点评】本题考查抛物线和x轴的交点，涉及到二次函数的性质和不等式的性质，解本题的关键掌握二次函数的性质和不等式性质的基本知识点． 13．若x1、x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x2（1+x1）+x1的值为　﹣3　． 【答案】﹣3． 【分析】利用根与系数的格线求解即可． 【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， ∴x2（1+x1）+x1＝x1+x2+x1x2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． 14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 　圆锥　；它的侧面积是 　27π　cm2． 【答案】圆锥，27π． 【分析】由已知中的三视图，可分析出该几何体是圆锥，底面圆的直径为6cm，母线长为9cm，代入圆锥侧面积公式，可得答案． 【解答】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥， 底面圆的直径为6cm，母线长为9cm， ∴它的侧面积是π×3×9＝27πcm2， 故答案为：圆锥，27π． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求侧面积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及底面直径，母线长等几何量是解答的关键． 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA＝　　． 【答案】． 【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出sinA的值即可． 【解答】解：AB＝＝＝5， sinA＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提，求出斜边是关键． 16．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝　70°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据旋转的性质可得AC＝CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD＝45°，由∠BAD＝∠BAC+∠CAD可得答案． 【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， 则∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝25°+45°＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 17．如图，设点P在函数的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形PCOD的面积，△OBD和△OAC的面积，然后求解即可． 【解答】解：根据题意，S矩形PCOD＝PC•PD＝5， S△OBD＝S△OAC＝×2＝1， 所以，四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝5﹣1﹣1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 三、解答题（一）（每小题6分，共18分） 18．计算：（）﹣1+cos45°﹣（π﹣2022）0． 【答案】3． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝3+×﹣1 ＝3+1﹣1 ＝3． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．合肥市今年1月份新房销售量约为6000套，3月份销售量约为5400套． （1）如果2、3两个月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？（参考数据：≈0.95） （2）如果销售继续回落，按此下降百分率，你预测5月份是否会跌破4500套？请说明理由． 【答案】（1）5%；（2）5月份该市的商品房成交均价不会跌破4500元/m2． 【分析】（1）根据今年1月份及3月份的住房销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； 【解答】解：（1）设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为x， 依题意，得：6000（1﹣x）2＝5400， 解得：x1＝0.05＝5%，x2＝﹣1.05（不合题意，舍去）． 答：每月平均下降的百分率是5%； （2）如果按此降低的百分率继续回落，估计5月份的商品房成交均价为： 5400（1﹣x）2＝5400×0.952＝4873.5＞4500 由此可知5月份该市的商品房成交均价不会跌破4500元/m2． 【点评】本题考查了列方程解决实际问题中的平均降低率问题，以及一元二方程解法，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 20．如图，在⊙O中，OA是半径，OA＝4． （1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC与OA相交于点D，BC与⊙O相交于点B，C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段BC的长度． 【答案】（1）见解答； （2）4． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出符合题意的图形； （2）直接利用勾股定理得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：直线BC即为所求； （2）∵BC垂直平分OA，且OA＝4， ∴OD＝2， ∵OB＝4，则BD＝＝＝2， ∵OA⊥BC， ∴BC＝2BD＝4． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 四、解答题（二）（每小题8分，共24分） 21．农村学生营养午餐改善计划实施以来，学生的身体素质得到提高．某学校为学生提供的营养午餐包括A、B、C、D四种套餐．为了解全校1200名学生对这四种套餐的喜好情况，老师随机抽取240名学生进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图（不完整），部分信息如下： （1）抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 　60人　，扇形统计图中“C”对应扇形圆心角大小为 　108°　； （2）依据本次调查的结果，估计全体1200名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中任选两人担任“节约粮食监督员”，请用列表或树状图的方法求甲被选到的概率． 【答案】（1）60人，108°； （2）420名； （3）． 【分析】（1）用最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数，先求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以样本中最喜欢D套餐的人数所占比例即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人）， 则C套餐人数为240﹣（60+84+24）＝72（人）， ∴扇形统计图中“C”对应扇形圆心角大小为360°×＝108°， 故答案为：60人，108°； （2）1200×＝420（名）， 答：估计全体1200名职工中最喜欢B套餐的有420人； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6， ∴甲被选到的概率为＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，求CE：CF的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】求出△AED∽△BDF，由折叠得出CE＝DE，CF＝DF，求出△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，得出△AED与△BDF的相似比即可． 【解答】解：设AD＝k，则DB＝2k， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA+∠FDB＝120°， 又∵∠EDA+∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF， 由折叠，得 CE＝DE，CF＝DF ∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k， ∴△AED与△BDF的相似比为4：5 ∴CE：CF＝DE：DF＝4：5． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是求出相似三角形． 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（n，6），直线AB与x轴、y轴分别交于D、C两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）y＝2x+4，； （2）﹣3＜x＜0或x＞1． 【分析】（1）把点A代入，求出m的值，进而求出n的值，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据图象找到直线在双曲线上方时x的取值范围即可得解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（n，6）， ∴m＝﹣3×（﹣2）＝6n， ∴m＝6，n＝1， ∴，B（1，6）， ∴， 解得：， ∴y＝2x+4； （2）由图可知：的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 五、解答题（三）（每小题10分，共20分） 24．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝，AD＝3，求直径AB的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D＝90°，继而可得∠ABD+∠A＝90°，又由∠DBC＝∠A，即可得∠DBC+∠ABD＝90°，则可证得BC是⊙O的切线； （2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A＝∠BOC，再由（1）∠D＝∠OBC＝90°，故∠C＝∠ABD，由tanC＝可知tan∠ABD＝＝，由此可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∴∠ABD+∠A＝90°， ∵∠DBC＝∠A， ∴∠DBC+∠ABD＝90°，即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD∥OE， ∴∠A＝∠BOC．、 ∵由（1）∠D＝∠OBC＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∵tanC＝， ∴tan∠ABD＝＝＝，解得BD＝6， ∴AB＝＝＝3． 【点评】本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键． 25．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． （1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； （2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）； （2）b的值是2或3； （3）点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）． 【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式； （2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论； （3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，2）， 当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， 设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，2）代入得：﹣2a＝2， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2， ∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）； （2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2； ②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1， ﹣x+b＝﹣x2+x+2， x2﹣2x+b﹣2＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0， ∴b＝3， 综上，b的值是2或3； （3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， 如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC， ∵PN∥y轴， ∴P（1，0）； 如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2， x2﹣x﹣4＝0， ∴x1＝，x2＝， ∴P（，0）； 如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN， ∴CN的解析式为：y＝x+2， ∴x+2＝x2﹣x﹣2， ∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍）， ∴P（1+，0）， 综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）． $$