热点解三角形专题讲义-浙江省2023-2024学年高一下学期数学期末复习

高一下期期末热点解三角形专题 热点解读 解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。主要考查正余弦定理的运用，其中组合图形中线段、角、面积以及周长问题是高考高频考点，考纲对解三角形的要求如下：（1）掌握正弦定理和余弦定理，会根据已知条件求三角形的边、角、面积；（2）能综合运用三角知识解决实际问题.（3）解决最值取值范围问题常用①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 知识导图 解题妙计 1、海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式： 2、在△ABC中，有射影定理，， 3、角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2）（3） （4） 4、张角定理 5、倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, （1）如果，则有:， （2）如果，则有:， （3）如果，则有: 6、三角恒等式 在中， ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； 模拟预测 一、单选题 1、（22-23高一下·浙江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 2、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3、（22-23高一下·浙江杭州·期末）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线，测得、的度数分别为、，以及、两点间的距离，则塔高（    ） A． B． C． D． 4、（22-23高一下·浙江金华·期末）已知的内角的对边分别是，面积满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知在中，，点满足，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 6、（22-23高一下·浙江台州·期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则此三角形有2解 D．若，则为等腰三角形 8、（22-23高一下·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则 B．在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件 C．三个不全相等的实数，，依次成等差数列，则，，可能成等差数列 D．的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则的面积为 9、（22-23高一下·浙江金华·期末）在中，角的对边分别是，且满足，则（    ） A． B．若，则的周长的最大值为 C．若为的中点，且，则的面积的最大值为 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 10、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则边上的中线长 B．若，则 C．若，则面积的最大值为2 D．若，则面积的最大值为 11、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的面积，则该三角形为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 三、填空题 12、（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高 米． 13、（22-23高一下·浙江衢州·期末）若点为边长为的正内的一个动点且，则的最小值为 . 14、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 . 15、（22-23高一下·浙江台州·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 . 四、解答题 16、（22-23高一下·浙江·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)若，，，求△ACD的面积； (2)若，，求的最大值． 17、（22-23高一下·浙江丽水·期末）在中，三个内角所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)当取最大值时，求的周长． 18．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度. 19、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 20、（22-23高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，. (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 21、（22-23高一下·浙江衢州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 22、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. 23、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，其面积为，满足. (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值. 24、（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 25、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . (1)求角C； (2)若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期期末热点解三角形专题 热点解读 解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。主要考查正余弦定理的运用，其中组合图形中线段、角、面积以及周长问题是高考高频考点，考纲对解三角形的要求如下：（1）掌握正弦定理和余弦定理，会根据已知条件求三角形的边、角、面积；（2）能综合运用三角知识解决实际问题.（3）解决最值取值范围问题常用①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 知识导图 解题妙计 1、海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式： 2、在△ABC中，有射影定理，， 3、角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2）（3） （4） 4、张角定理 5、倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, （1）如果，则有:， （2）如果，则有:， （3）如果，则有: 6、三角恒等式 在中， ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； 模拟预测 一、单选题 1、（22-23高一下·浙江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】已知，结合余弦定理得出， 又，所以. 已知，结合正弦定理得，则. 所以，故. 故选：A. 2、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】 根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解. 【详解】如下图所示，取的中点， 显然，， 同理，， 因为，所以， 即，所以， 因为是的中点，所以, 所以，所以一定是直角三角形. 故选：A 3、（22-23高一下·浙江杭州·期末）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线，测得、的度数分别为、，以及、两点间的距离，则塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求得，进而可得出，即为所求. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，即，得， 由题意可知，，所以，. 故选：A. 4、（22-23高一下·浙江金华·期末）已知的内角的对边分别是，面积满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理化简条件即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 故选：D. 5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知在中，，点满足，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据，易得，再两边平方结合基本不等式得到，然后利用三角形的面积公式求解. 【详解】解：设，如图所示： 因为在中，，点满足，且， 所以， 则， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 6、（22-23高一下·浙江台州·期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以该三角形面积S的最大值为. 故选：B 二、多选题 7、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则此三角形有2解 D．若，则为等腰三角形 【答案】BC 【分析】运用余弦定理可判断A项，运用大边对大角及正弦定理可判断B项，作图可判断C项，解三角函数方程可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立； 对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确； 对于C项，如图所示， 因为， 所以此三角形有2解，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以或，即：或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立. 故选：BC. 8、（22-23高一下·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则 B．在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件 C．三个不全相等的实数，，依次成等差数列，则，，可能成等差数列 D．的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据余弦和角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数周期公式求解；对于B，根据条件直接判断；对于C，根据等差数列的性质列式，引出矛盾从而判断；对于D，先还原图形，再直接求面积. 【详解】对于A， ，， 则的最小正周期，则，故A正确； 对于B，在中，根据“大角对大边，大边对大角”可知，“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C，，，依次成等差数列，则，如果，，成等差数列，则，代入得，平方得，则， 所以，与题意矛盾，故C错误； 对于D，过点作交轴于点， 因为的斜二测直观图是边长为2的正三角形， 所以的高， 所以， 所以原图中，， 所以的面积为.故D正确. 故选：ABD 9、（22-23高一下·浙江金华·期末）在中，角的对边分别是，且满足，则（    ） A． B．若，则的周长的最大值为 C．若为的中点，且，则的面积的最大值为 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【分析】A.利用正弦定理求解判断；B.利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，再利用时间恒等变换和三角函数的性质求解判断；C. 由为的中点，得到，再结合基本不等式，利用三角形的面积公式求解判断；D.由三角形面积公式得到，再利用基本不等式求解判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 则，因为，所以，故A正确； 若，则的外接圆半径为：， ， ， ，，周长的最大值为9，故B错误； 因为为的中点，且，所以 ， 则，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故C正确； 由题意得：，即，即 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ACD 10、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则边上的中线长 B．若，则 C．若，则面积的最大值为2 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律即可得到边角关系，可判断A、B，利用同角三角函数基本关系及余弦定理，结合基本不等式求解面积最值判断C，利用余弦定理及面积公式建立面积函数，利用二次函数求解最值判断D. 【详解】对于选项A，设为中点，则，， 所以，解得，正确； 对于选项B，因为，所以，所以，即，正确； 对于选项C，由于，所以， 由余弦定理可知，故，当且仅当时，等号成立， 所以，此时面积的最大值为3，所以错误； 对于选项，设，则，由余弦定理， 则， 故， 当且仅当即时，等号成立，正确. 故选：ABD 11、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的面积，则该三角形为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BD 【分析】根据正弦定理求解角判断A；根据余弦定理求解边长判断B；根据面积公式及余弦定理求出边长，即可判断三角形形状，即可判断C；根据正弦定理表示边长，结合角的范围，利用正弦函数求解范围，即可判断D. 【详解】A选项，在中，由正弦定理得，所以，所以或， 因为，所以，即或符合题意，错误； B选项，由余弦定理得， 所以，正确； C选项，因为，所以， 所以，所以， 则，所以， 所以该三角形为钝角三角形，错误； D选项，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形， 所以，所以， 因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，正确. 故选：BD 三、填空题 12、（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高 米． 【答案】 【分析】设米，进而可得BC， BD，然后利用余弦定理求解. 【详解】设米， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 所以， 解得（米）. 故答案为：28. 13、（22-23高一下·浙江衢州·期末）若点为边长为的正内的一个动点且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用旋转法绕点旋转成，过点作，则，即可得出答案. 【详解】由题知，绕点旋转成， 使得与重合，如图所示， 则是等边三角形， ，， 过点作， 因为为边长为的正内的一个动点， 所以， 所以. 故答案为： 14、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】由及可求出的面积，结合即可求出. 【详解】 ，且，， ， 故答案为： 15、（22-23高一下·浙江台州·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦定理结合大边对大角即可. 【详解】由正弦定理得：，即， ， 若有两解，则， 且，即， 所以， 故答案为： 四、解答题 16、（22-23高一下·浙江·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)若，，，求△ACD的面积； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解； （2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）在中，， 因为，所以， 所以的面积； （2）设， ，则，． 在中，，则， 在 中，，则， 所以， 当时，取得最大值； 综上，的面积为 ，的最大值. 17、（22-23高一下·浙江丽水·期末）在中，三个内角所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)当取最大值时，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合余弦定理可求. （2）利用向量的线性运算可得，平方后结合基本不等式可求何时取最大值，据此可求对应的三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得，整理得到：， 所以，而，故. （2）因为，故， 故，所以， 故， 整理得到， 故，当且仅当时等号成立. 故此时，对应的的周长为. 18．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答. （2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答. 【详解】（1）依题意， ， 当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2， 当时，单调递减，函数值从减小到， 方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图， 观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点， 所以实数m的取值范围是或. （2）由（1）知，，即， 在中，，即，则，解得，    在中，，，由正弦定理得， 则，显然，有， 于是，即有，则，是等腰三角形， 所以. 19、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据正弦定理可得，然后可得，然后结合的范围求出的范围可得答案； （2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 20、（22-23高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，. (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)若，则四边形的面积， 若，则四边形的面积. 【分析】（1）由条件结合正弦定理证明，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求，由余弦定理求，结合三角形面积公式求结论. 【详解】（1）在中， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以. 又， 所以， 所以. （2）在中，由正弦定理得， 所以， 所以或， ①当时，则， 在中，由余弦定理得，，又， 解得， 此时四边形的面积， ②当时，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 此时四边形的面积. 21、（22-23高一下·浙江衢州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将条件化简，再利用正弦定理和三角恒等变换求出，根据三角形内角的取值范围即可求解； （2）法1：利用正弦定理将边化为角，然后利用三角形内角和定理、三角恒等变换和余弦函数的图像即可求解；由（1）先利用余弦定理得到，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，化简可得， 由正弦定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即，因为，则， ∴，则. （2）法1：由正弦定理可得 ， 因为，所以，则， 所以，故， 所以的取值范围为. 法2：由（1）可知，在中，由余弦定理可得， 则， ，，所以，则， 所以的取值范围为. 22、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解即可；若选②，利用正弦定理化边为角，再利用三角形性质和两角和正弦公式化简得，从而求解即可； （2）利用余弦定理直接计算即可. 【详解】（1）若选①，由， 可得，由正弦定理可得：， 又由余弦定理可得：，又，故； 若选②，，即， 由正弦定理可得：， 可得，即， 又，所以，又，故； （2）由（1）知及，，所以为正三角形， 由，所以， 由余弦定理得， 所以. 23、（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，其面积为，满足. (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）根据数量积的定义及面积公式化简已知得，求出角C，然后利用数量积的运算律把所求式子化为二次函数，利用二次函数求解最值； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式即可求出；方法二：由余弦定理得，两边常数代换，转化方程有解问题，利用判别式法求解. 【详解】（1）由， 故，化简得：，所以或（舍去）， 解得，设的中点为，令，由于， 故的外接圆半径， 当为正三角形（在处）时，，故， 由于，， 所以 ， 所以的最大值为3； （2）方法一：由，可得， 又，当且仅当时，等号成立， 故由余弦定理可得， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 方法二：由，由余弦定理可得，又， 所以， 故，即， 则，整理得，解得， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 24、（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理进行角化边，运算求解即可； （2）根据锐角三角形结合对勾函数可得，再利用余弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为 由余弦定理得 ， 整理得，即. 所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，且，不妨设，即，可知， 且是锐角三角形，则，得，即， 则，解得，所以， 由对勾函数可知在上单调递增，且， 则，所以， 且，则， 所以的取值范围为. 25、（22-23高一下·浙江宁波·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . (1)求角C； (2)若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C； （2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值. 【详解】（1）若选①：由正弦定理得， 在中，，所以， 即， 所以，又，有， 所以，由，得. 若选②：由正弦定理得， 在中，， 所以 即， 所以，又，有， 所以，由，得. （2）方法一：由，可得， 两边平方可得， 即， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以，所以. 方法二：由角C余弦定理可得③， 由结合余弦定理可得 ，整理得④， 由③可得，当且仅当时取“＝”， 所以，所以即 学科网（北京）股份有限公司 $$