浙江省东阳市外国语学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

东阳市外国语学校高二数学5月月考试卷 一、单选题 1. 若全集U=R, A={x|x<2}, B={y|y=eˣ,x∈R},则下列关系正确的是( ) A. A⊆B B. B⊆A C. B⊆C,A D. A⊆B 2.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且 现有一组测量数据为(31,22.4), 则该数据的残差为 ( ) 色差x 22 24 26 28 色度y 16 19 20 21 A. 1.4 B. 1.2 C. -1.2 D. -1.4 3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,P:bcosB=ccosC,q: |+|=||,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件 4. 若p:k=1, q:函数 为奇函数,则P是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知 则a,b,c的大小关系为( ) A. c<a<b B. c<b<a C. a<c<b D. a<b<c 6. 已知α, β均为锐角, sinα=2sinβcos(α+β), 则tanα取得最大值时, tan(α+β)的值为 ( ) A. B. C. 2 D. 1 7. 已知函数 若关于x的方程f(x)=m有4个不同的实根x₁、x₂、 x₃、x₄,且. 则 A. (16,32-8 )B. (16,32) D. (32,48) 8.若存在直线与曲线 都相切，则a的范围为 A. [-1,+∞) 二、多选题 9.下列命题正确的是( ) A. 数据4, 5, 6, 7, 8, 8的第50百分位数为6 B. 已知随机变量 若D(2X+1)=5, 则n=5 C. 对于随机事件A, B, 若P(A|B)=P(A), P(A)>0, P(B)>0, 则A与B相互独立 D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各 100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 10. 已知函数 下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的最小正周期为 B. 点 为f(x)图象的一个对称中心 C. 若f(x)=a(a∈R)在 上有两个实数根，则 D. 若f(x)的导函数为f'(x), 则函数y=f(x)+f'(x)的最大值为 11. 以下说法正确的是 ( ) A.把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 的二项展开式中系数最大的项为240x² D.已知f(x)是定义在R上函数,f'(x)是f(x)的导数,当x>0时,若xf'(x)-f(x)<0,则ef(ln2)>ln2f(e) 三、填空题 12. 若3sin(π-α)+4cosα=0, 则sin2α= . 13.某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加A，B，C，D这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加A项目，则不同的报名方法种数有 . 14. 已知 若实数m，n满足 则 的最小值为 四、解答题 15. 如图, 在三棱锥A-BCD中, 平面ABD⊥平面BCD,AB=AD=3,BC=CD=4. (1)证明: AC⊥BD. (2)若 E为CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值. 16.PM2.5是指环境空气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重.城市中的PM2.5 成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源.某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x(单位：辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y (单位： μg/m³).检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表(部分数据缺失)： 燃油车日流量x<1500 燃油车日流量x≥1500 合计 PM2.5的平均浓度y<100 16 24 PM2.5 的平均浓度y≥100 20 合计 22 (1)完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为PM2.5 的平均浓度小于100μg/m³与燃油车日流量小于1500辆有关联? (2)经计算得y与x之间的回归直线方程为ρ=0.12x-73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差 PM2.5的平均浓度y的标准差 若相关系数r满足 |r|≥0.75, 则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值. ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这 50天的燃油车的日流量x满足 试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数y (利用四舍五入法精确到0.1). 参考公式： 其中n=a+b+c+d. α 0.01 0.005 0.001 xα 6.636 7.879 10.828 回归方程 其中 相关系数 参考数据： 17. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c, 且 (1)求角B; (2)若a+c=2, 求边AC上的角平分线BD长; (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 18. 已知函数. (1)当a=2时,试求函数图象在点(1,f(1))处的切线方程: (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若函数f(x)有两个极值点 且不等式 恒成立，其中m∈Z，试求整数m的取值范围. 19.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=2b,点D在边BC上,AD是 的角平分线, 设AD=kAC (其中k为正实数). (1)求实数k的取值范围；(2)设函数 ①当 时，求函数f(x)的极小值； ②设x₀是f(x)的最大零点，试比较x₀与1的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$高二月考数学答案 15.【详解】(1)取BD的中点0，连接A0,C0, 因为AB=AD=3,BC=CD=4,所以AO⊥BD,CO⊥BD, 又A0∩C0=0,A0,C0c面AOC, 所以BD⊥平面AOC, 因为ACC平面AOC,所以AC L BD: (2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AO⊥BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD,又CO⊥OD, 所以以O为坐标原点，OC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为B0=3BD=25,所以40=V32-22=1,C0=V42-(22=25, 则A(0,0,1),C(22,0,0,V22,0,(022,g, 则丽=(0，-22，-)，C=(22,0,-,A正=√22，-1 设平面ABC的法向量为苏=(xy,z), 则n店=nAC=0,即 -22y-z0.令x=1得元=-122) 2W2x-z=01 所以正=专· 22=2 所以直线AB与平面ABC所成角的正弦值为 16.【详解】(1)2×2列联表如下： 燃油车日流量x<1500 燃油车日流量x≥1500 合计 PM2.5的平均浓度y<100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 答案第1页，共8页 合计 22 28 50 零假设H。：PM2.5的平均浓度小于100ug/m与燃油车日流避小于1500辆无关联. 根据列联表中的数据，计算得 2 50×(16×20-6×8)2 24×26×22×28 ≈9.624>7.879=.0as3 所以根据小概率值x=0.005的独立性检验，推断H。不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓 度小于100μg/m3与燃油车日流量小于1500辆有关联. 2》0由题意，得6空6-0-列 =0.12, 26-可 得2-列6-列0126-。 由%圆2x]-29,号%6 得r= 26-x列 0.123x-对 2-野2-②网孕 2可 =0.12× 30 0.12 249=0.83>0.75, -列 36 所以该回归直线方程有价值。 ②因为3，= 圆26-可-，甲{-0-20， 所以-份2-21545， 又=0.12x-73.86≈012×1548.55-73.86=111.966≈112.0. 故可推算出这50天PM2.5平均浓度y的平均数约为112.0. 17.【详解】(1)因为smC+V5cosC=a,根据正弦定理inC+5cosC.si血4 sinB' 即sin BsinC+√3 sinBcosC=bsinA=√3sirB+q, 答案第2页，共8页 即sin BsinC=√3 cos BsinC,又sinC≠0， 所以如B=5,因为B(0,),所以B= (2)由8=号及余弦定理得3=c2+a2-2acos号，即3=d+r-ac=(a+c-3c, 又因为a+c=2,所以ac= 3,所以 又.c=So+San= 2t2 BDsin91。 2c,8Ds血2+12 "2=2acsin B, 所以BD-(a+e小sin名=acsm子，即BD- 6 25 2*2 6 (3)因为E是4C的中点，所以酝=（⑧+BC), 则配-+2mc+c-e+r+ae)=3+ 4 由正弦定理得， ac= 6 sin B sinA.b 即ae=2V5s如4cos4+2sir4Bsn2A-cos241=2s42A君)+ 因为4e@,c-号-4e0小，所以4号，所以24-（名名， 所以24-引(]，所以e=224-引1@，所以E-3居， 即边AC上的中线BE的取值范围为 18.【详解】(1)当a=2时，f()=2-2x+2x,故f()=2x-2+2 故了0=2-2+号=2，又0=-2=-1， 故函数图象在点（山，f()处的切线方程为y-(-1)=2(x-1),即2x-y-3=0 (2)f(y)=-2x+a血x的定义域为(0，+∞)，所以∫()=2x-2+-2-2x+a x 令因=0，得2-2+a-0,①当△=48a50,即a2号时，f20在(0+网)上恒 成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增： (i)当△=4-8a>0,即a<2时，由2-2x+a=0, 1士V1-2a 得x2= 答案第3页，共8页 ①若0<a<分，由f>0,得0<x<-2西碳x>1+-2延 2. “倒的单调递增区间是0，上=2马)，+-2延，网： 2 2 由f)<0,得上-2a<x<1+-2@ 2 2 倒的单调递减区间是上-2,1+-2马， 2 2 ②若a=0,则f(x)=x2-2x,爵数f()在(0,1)上递减，在(1，t)上递增： ③若a<0,由f)<0,得0<x<1+-2a,则函数闭在0,1+1-2马上递减 2 由/>0，得x>1+1=2a,则函数网在+2 2 ,+网)上递增。 综上，当a≥号时，f因的单调递增区间是(0，+∞)： 当0<a<时，的单调递增区间是01-)一2马)，+=2西网，单调遍减区间是 2 2 1=2a,1+1-2g: 2 2 当a≤0时，的单调递增区间是(+一2运网：单调递减区间是01+2马】 2 2 3)由2)可知，函数因有两个极值点，：测0<a<宁 由了国=0，得2x-2x+a=0,则*6=1,12，为1+2 2 2 由0<a<克，可得0<气 11 2'2<1, --2x+am--2x+25-24)h.-2x+2x-2x)mx 1-为 2%血污， 名+1 令倒=1-x++2xnr0<xc引则国=i- c-P+2血x, -<-1, 又2hx<0,所以<0，即0<x<号时，h)单调递减， 又=-号-h2,所以4e(经-h2.0, 不等式(m2-)x>mf(),meZ恒成立， 答案第4页，共8页 若m>0且m6Z,则=m->,即m-之0， m x2 设(m)=m-】，(m在(0，+o)上单调递增， 且k0=0,所以由m-上≥0可得，m≥1且meZ, 若m<0且meZ,则m二1=m-上<），即m-15--h2, m m x2 2 设（〕-m,(侧在(-心0）上单调道增， 西0=0.-2列=-2+分，3-3+音-h2, 33 2 所以m≤-3且mez,若m=0,则不等式(m2-1)为>m(x),m∈Z不成立， 综上：m≤-3或m≥1，且m∈Z. 19.【详解】(1)方法一：设∠BAC=2a, 因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=a,因为SAn+SAAm=SAABC 所以2b+)ADsin血a=2bc血2a, 代入c=2b,AD=kMC,化简得：k= -cosa 因为a(} 所以实数：的取值范国Q引。 方法二：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD, S -c·AD,sin∠BAD S.ACD b·AD,sin∠CAD 又铝又=26， b 2 所以B0D=20D,故BD=号DC-号，在△MBD和△DC中由余装定理得 AB2=BD2+AD2-2BD×AD cos∠ADB,AC2=CD2+AD2-2CD×AD cos.∠ADC 所以 号+-2 D8,-眉 c2= 3 +(}2-2 xx kbx cos∠ADC 又∠ADB+∠ADC=π，则coS∠ADB+cos∠ADC=0 所以2+2出-2号+30他，又c-26,所以(6-3g 3 答案第5页，共8页 在△ABC中有 公所以1<g3,所16， 得0<<有所以实数的取值范国(0到 2）0法，当=25时，由D知ca=5,则a=爱此时∠B4c=号 2 由余弦定理有：。=+c2-2ccos雪及c=2b得a=V6, 法=：(6-36-号当=2时有 3 故=2-2+2x 所以f'(x=6(3x2-5x+2=b(3x-2x-), 令f闭=0，可得x=号或x1, 当x<号时，了闭>0，函数网单调运增， 当号<x<1时，了化<0，函数单谓端减。 当x>1时，f(x)>0，函数f)单调递增， 故当x=1时，函数f取极小值，极小值为f)=0. ②(1)当k25时，由0知a,又c=26, 3 故国-6e-+2-引-✉-0 知的零点为吃 故fx)的最大零点=1； （i)当25<k<时，由(1)知c0sa> 3 2 则eBc-2ra-1小克 由余弦定理有cos∠BAC= 代入e- 2bc 解得a<√5b,由a+b>c知a>c-b=b,故a∈（亿，V5b), =含42r-=gr-5+2 设t=5eeW5,3) 答案第6页，共8页 令f)=0解得：5=-25-恶，55h25-8,且5<6， 2t 当x<x时，()>0，函数f()单调递增， 当，<x<x时，f'(x)<0,函数f()单调递减， 当x>为时，f"(x)>0,函数f(x)单调递增， 因为f"()=b(-3)<0,故x<1<名， 且f0=6作-水0，x→w时，>0， 故f)在（么，+）上有唯一零点，此时x>1成立 (甜)k<25时，由(1)知0<80sa<5 3 则cos∠B4c=2os2a-le（》 由余弦定理有cO8∠BAC= b2+c2-a -,及c=2b, 2be 解得36<a<3动， 由a+b>c知a>c-b=b,故V3b<a<3b, 所以1∈6,35) 当爱）时，◆r因-0解：4=-2区与4区，且， 2t ,2= 2t 当x<时，f(x)>0,函数f()单调递增， 当<x<名时，(x)<0,函数f()单调递减， 当x>x时，"(x)>0,函数f()单调递增， 因为f"四=b(-3)>0,且f'(x)=b(x2-5x+2)的图象的对称轴x= 5 所以0<%<%1，又因为四=传-小0， 故在m)上无零点，且/0=-<0， 故∈(0，)，为<1成立： 当：c,3)时，)20恒成立，则fe在R上单调递增， 故函数f(x)至多有一个零点， 由0-8作-小0，f0=含0奥x<1欣这 答案第7页，共8页 综上，当0<k<25时1<1 3 当k25时，气 3 当29<时1. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合 思想的应用： 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）信问题处理。 答案第8页，共8页