专题03 不等关系与基本不等式（逻辑训练）-2025届高三数学一轮复习

专题03 不等关系与基本不等式（逻辑训练）（学生版） 新高考模式 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A．|a|＜|b| B． C． D．lna＞lnb 2.下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4.三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 5.若a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 6.已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 7.非零实数a，b，c满足，，成等差数列，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 8.设x∇y＝x+y+|x﹣y|，xΔy＝x+y﹣|x﹣y|，若正实数a，b，c，d满足：则下列选项一定正确的是（　　） A．d＞b B．b＞c C．bΔc＞a D．d∇c＞a 2、 选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10.下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 11.由知实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C． D．当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c的最小值是______ 13. 已知，且，则的最小值是 ____ 14. 已知正三棱锥满足，则该三棱锥侧面积的最大值为 ． 3、 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知m+2n＝2，且m＞﹣1，n＞0． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制． (1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值． 17. 设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有． 18.已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等关系与基本不等式（逻辑训练）（解析版） 新高考模式 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A．|a|＜|b| B． C． D．lna＞lnb 【分析】根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出结论． 【解析】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb， 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，比较基础． 2.下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误； B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误； C：恒成立，故C正确； D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误； 故选：C 3.已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【解析】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4.三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与进行比较，把c同log31进行比较，得到三个数字的大小关系． 【解析】解：∵＞30＝1 ＝1 ＝0 ∴a＞b＞c 故选：D． 5.若a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2， 则＝＝（）（a+b）＝（2+）（2+2）＝2， 当且仅当且a+b＝2，即a＝b＝1时取等号． 故选：D． 6.已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【解析】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 7.非零实数a，b，c满足，，成等差数列，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】由已知可得b2＝，代入，变形后利用基本不等式求最值． 【解析】解：因为，，成等差数列，所以＝+＝， 所以b2＝， 则＝＝＝＝++≥+2＝+， 当且仅当＝，即a2＝c2时，取等号， 所以的最小值为+． 故选：B． 8.设x∇y＝x+y+|x﹣y|，xΔy＝x+y﹣|x﹣y|，若正实数a，b，c，d满足：则下列选项一定正确的是（　　） A．d＞b B．b＞c C．bΔc＞a D．d∇c＞a 【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简aΔb＜cΔd，结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项． 【解析】解：因为，， 又 所以， （1）若a≥b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|， 可化为2b＜2d，则b＜d，所以c≥d＞b， ①若a≥c≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾， ②若c＞a≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾， ③若c≥d＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾， （2）若a≥b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|， 可化为b＜c，所以d＞c＞b， ①若a≥d＞c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾， ②若d＞a≥c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足， ③若d＞c＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足， （3）若a＜b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|， 可化为a＜c，所以d＞c＞a， ①若b≥d＞c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，满足， ②若d＞b≥c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，满足， ③若d＞c＞b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足， （4）若a＜b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|， 可化为a＜d，所以c≥d＞a， ①若b≥c≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，矛盾， ②若c≥b≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，矛盾， ③若c≥d≥b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾， 综上，b≥d＞c＞a或d＞b≥c＞a或d＞c＞b＞a或d＞a≥c＞b或d＞c＞a≥b， 由b≥d＞c＞a知，故A错误； 由d＞c＞b＞a知，故B错误； 当d＞a≥c＞b时，bΔc＝b+c﹣|b﹣c|＝b+c﹣c+b＝2b， 取d＝7，a＝6，c＝2，b＝1可得，满足条件但bΔc＝2＜a，故C错误； 当b≥d＞c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a， 当d＞b≥c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a 当d＞c＞b＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a， 当d＞a≥c＞b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a， 当d＞c＞a≥b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，故D正确． 故选：D． 2、 选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可. 【解析】选项A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C：因为,,，故C错误； 选项D：因为,,,故D错误． 故选:AB． 10.下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 【答案】BD 【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案. 【解析】对于A，当时，，A不正确； 对于B，，令，则， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，B正确； 对于C，令，由得，， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，C不正确； 对于D，由可得，， 当且仅当，即时，取到等号，D正确. 故选：BD. 11.由知实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C． D．当时，的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A中，由不等式，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B中，设，联立方程组，整理得， 由，解得，可得， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C中，设，联立方程组，整理得， 由，解得，可得， 所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，由，即， 设，则， 设，可得，可得， 因为，可得，即， 不妨设，可得 则， 所以 又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c的最小值是______ 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可． 【解析】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18⇒a（a+3b）+3c（a+3b）＝18⇒（a+3b）（a+3c）＝18， 因为a，b，c均为正数， 所以， 当且仅当a+3b＝a+3c时取等号，即时取等号， 13. 已知，且，则的最小值是 ____ 【解析】由可得， 由对称性可设，则条件即即， 从而， 根据柯西不等式 ， 等号当时取得．因此所求最小值为． 14.已知正三棱锥满足，则该三棱锥侧面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，设为的外心，为的中点，连接，设，． 因几何体为正三棱锥，则平面，O为重心，则． 注意到，，则，所以， 所以．又中，有，所以． 记三棱锥的侧面积为，在中，， 又， ，则. 故， 而， 当且仅当，即时取等号，所以该三棱锥侧面积的最大值为． 故答案为：. 3、 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知m+2n＝2，且m＞﹣1，n＞0． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值． 【解析】解：（1）因为m+1+2n＝3，， 所以＝， 当且仅当，且m+2n＝2，即m＝0，n＝1时等号成立， 则的最小值为3． （2）＝＝＝＝， 因为m+1+2n+2＝5，所以， 所以原式＝＝＝， 当且仅当，且m+2n＝2，即，时等号成立， 则的最小值为． 16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制． (1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值． 【答案】(1)， (2)当时，S最小，最小值为118000元 【分析】（1）先设，又，建立等式找出得关系计算即可； （2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件. 【解析】（1）设，又，， 则，∴， ∴ （2）由（1）得， 利用均值不等式得， 当时，即时等号成立， 所以当时，S最小，最小值为118000元. 17.设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有． 【答案】证明见解析 【分析】本不等式是对称不等式，显然当时取等号．从不等式局部入手，当 时，，用 元均值不等式即可求解． 【解析】因为， 所以 . 同理可得 . 三式相加可得： 18.已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【解析】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 19.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万 【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案； （2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案. 【详解】（1）当，时， ； 当，时， ； 综上所述： （2）当，时，，则当时，的最大值为650； 当，时， （当且仅当，即时等号成立）； ∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万. 学科网（北京）股份有限公司 $$