数学试题-【轮轮清·高考模拟卷】2025年湘豫名校高三11月一轮复习诊断考试巩固训练（河南专版）

姓 名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填 写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选 择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Z一√6<x<4},集合A={1,2,3},则CA= A.{1,2,3} B.{-2,-1,0}C.(-3,0) D.{-2,-1} 2.已知=1-i,则= A.1+i B.1-i C.2i D.-2i 3.已知a,b∈R,则“a3>b3”是“ea-b>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)=sinx一2cos(x-牙)的最小正周期是 A日 B.π C.√2π D.2π 5.已知函数f(x)=|lnx|,若0<a<b,且f(a)=f(2b),则ab= A.1 C.e D.e 6.设a为正数，则，十的最小值为 A.1 B.2 C.3 D 数学试题第1页（共6页） 7.已知圆锥的底面半径为1，高为4，则能够被整体放入该圆锥的球的最大半径为 A.17-1 C.1⑤-1 D. 23-1 4 4 4 8.若过点(a,b)可以作曲线y=x3一x的三条切线，则 A.1a+b|>|a3 B.a+b<a3 C.la-b>a3 D.|a-b|<a3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知单位向量e1,e的夹角为，0为△ABC的外心，AC=一e,-eg,BC 2e1一e2,则 A.IAC=BCB.∠ABC- ，C.AC=OB D.AB·BO=-9 10.记T,是各项均为正数的数列{an}的前n项积，已知a1=1,Tm+1=(2am+ 1)Tm,则 A.an=2"-1 B是等比数列 C.T7≤2n2+n-2 D. T1+T+…+ a1 a2 an ≥na 11.设n为正整数，有序数组a=(ao,a1,,an),3=(b0,b1,…,bn),其中a;,b;∈ {0,1,…,n},i=0,1,…,n,且ao,a1,…,am两两互不相等，bo,b1,…,bm也两 两互不相等.若a,3满足{dd=|a;-b;1,i=0,1,…,n}={0,1,…n},则称 α与3是一对完美数组，则下列命题正确的有 A.若n=3,a=(0,1,2,3),3=(3,1,0,2),则a与3是一对完美数组 B.若n=2026,则存在a,3,使得a与B是一对完美数组 C.对给定的n,若a与B是一对完美数组，则∑a,b;为定值 D.对给定的α，若α与B是一对完美数组，则B是唯一的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知eosa-）-言，则sim(2a-) 13.已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：①f(行)-2：@f(2+x)- f2-)=0:③图象关于点4,0)对称.则f(9) 4已知A=3Md=2.C=A+Ad.A,Ad=0,ci-25若a护 mAB+nAD,则m+n的最大值为 数学试题第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在数列(a,}中，a1=2,2nn+1 an+1 an (1)证明：数列{nan}是等比数列； 2州 (2)若6。一(a,十1D汇(1+1a,1十求数列{h.}的前n项和T 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知+c0sA=2. cos C (1)证明：A=C或B=2C; (2)若a=3,c=2,求△ABC的面积. 数学试题第3页（共6页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=2,CD=3, PA=PB=√2，E是棱PD上的点. 1)若PE=2证明：AE∥平面PBC (2)若平面PAB⊥平面ABCD,直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 ,求PE的长 /30 B 数学试题第4页（共6页） 18.(17分) 如图，圆C的半径为3，其中A,B为圆C上的两点. (1)若cos∠CAB=3,则当为为何值时，AC+2A店与kAC-AB垂直？ (2)若G为△ABC的重心，直线L过点G,交边AB于点P,交边AC于点Q,且 市=AA店ad=A心，证明：十为定值： (3)若|AC+tAB1的最小值为1，求|AB的值. G 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 已知函数f(x)=ln' (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤xe-1,求k的取值范围； (3)设s,t为正数，证明：f(st),f(s2十t)至少有一个小于f(√2e). 数学试题第6页（共6页） 2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 ·数学· 叁春含案及解折 湘豫名校联考2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练·数学 一、选择题 7.A【解析】如图，△PAB为圆锥的轴截面，母 1.B【解析】因为U={-2,-1,0,1,2,3},A= 线长为√4+1=√17.设△PAB的内切圆O {1,2,3},所以CA={-2,-1,0}. 的半径为r,D为切点.因为△PDO∽△PCB, 2.B【解析】因为三=1-i,所以之=i(1-i)= 所以 -即=，解得 PO DO 17 1+i,所以之=1-i. 3.C【解析】若a3>b3,则a>b,故e4-6>e°= 7-1,放所求球的半径的最大值为7-」 4 1,充分性成立；若e-b>1=e°，则a一b>0,即 a>b,故a3>b3,必要性成立，所以“a3>b3”是 “e“-6>1”的充要条件. 4.D【解析】因为f(x)=sinx-2cosx ）=-cosx,所以f(x)的最小正周期为2x 5.B【解析】由f(x)=|lnx,且f(a)= f(2b),得|lna=ln2bl.因为0<a<b,所以8.B【解析】设过点(a,b)的直线与曲线y= 0<a<1<2b,所以-lna=ln2b,所以2ab= x3一x切于点(x0,x8-xo),y'=3.x2-1,故切 线方程为y=(3x-1)(x一x)十x8一xo,将 1,即ab=2 点(a,b)代入得2x8-3a.x8+a+b=0.令 6.B【解析】法一：设a3=,则关于4的方 g(x)=2x3-3a.x2十a+b,若过点(a,b)可以 a+11 作曲线y=x3一x的三条切线，则g(x)有三 程a2-ka十3一k=0有解，故△=k2-4(3一 个不同的零点g'(x)=6x(x一a),显然当a= k)≥0，解得k≥2或k≤一6.又a为正数，故k 0时，g'(x)≥0，g(x)单调递增，此时只有一个 也为正数，所以k≥2，当a=1时等号成立，故 零点；当a>0时，g(x)在区间（一∞，0） k的最小值为2. 和(a,十∞)上单调递增，在区间(0，a)上单调 法=：a+3-a+1)-2a+1)+4-（a+ 递减.若g(x)有三个不同的零点，则 a+1 a+1 g(0)>0, 1)+ 即+b>0, 当a<0时，g(x)在 a+1-2≥2√a+1)· 4 a+1 一2=2，当 g(a)<0,la+b<a3; 区间（一∞，a)和(0，+∞）上单调递增，在区 且仅当a+1=即a=1时，等号成立，故 间(a,0)上单调递减若g(x)有三个不同的零点， a2+3 a十1的最小值为2. 则a≥0即+6>a综上，a十b1<a. 即 g(0)<0,{a+b<0. ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 与8是一对完类数组，则营1。，-6，=0十 9.ACD【解析】IAC1=√(-e1-e2) 1十2十·+2026=1013×2027为奇数，而 √e+2e1·e2+e=√3，同理可得|BC| (a,-b,)=2a,-b:=0为偶数，这与 3,故A正确；AC·BC=(-e1-e2)·(2e1- 1=0 i=0 i=0 之a,一b:和2(a,一b,)具有相同的奇偶性 3 e)=-2ei-e·e+ei=-2,所以cos<AC, 10 矛盾，所以若n=2026,则α与3不可能是一 BC)=-名，即∠ACB=不从而在等腹三角 对完美数组，故B错误；对于C,若α与B是一 对完美数组，则公|a,-b,2=公(a =0 形ABC中，∠ABC=否，故B错误：如图，外 2a,b,+b)=02+12+22+…+n2=2a= i=0 心O在△ABC的外部，连接OA,OC,显然四 边形AOBC为菱形，所以AC=O店，故C正确： 3b,故22a,b,=b,2a,b,= 1之b一 1-0 2=0 易得|AB|=3,AB·BO=-BA·BO= 2十十…+n2),所以对鉴 专B所=一号故D正确， 三a6,为定值，故C正确：对于D,不妨设 C a=(0,1,2,3),则由A可知3=(3,1,0,2)满 足α与3是一对完美数组，且当3=(1,3,2， 0)时，也满足α与3是一对完美数组，则3不 是唯一的，故D错误。 三、填空题 7 12. 25 【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a 10.AC【解析】由Tm+1=(2am+1)Tu,得2am十1= 月=o(F-2a）-os2(a-） T即a+1=2a,十1所以a,+1+1=2(a.十1. 2o(a-2）-1=2x8-1- 25 又a1十1=2，所以{am+1}是首项为2，公比 为2的等比数列，所以am十1=2×2-1=2，an= 13. 【解析】由f(2+x)-f(2-x)=0,得 2”一1，故A正确；由上可知Tm+1=(2+1一1)Tn, f(x)的图象关于直线x=2对称.又f(x)的 故票-（一）是}不是等比数列，故 图象关于点(4,0)对称，所以8是f(x)的一 个周期.又在f(2十x)-f(2-x)=0中，令 B错误；由上可知Tn=(2-1)(22-1)·…· x=,得f()-f()=0,所以f() (2"-1)≤22X23X…X2”=27+-1,所以 T≤2，故C正确；当n=2时I+工 f()=2故(9)=f(g+4×8) 1+T1=2<2a2=2×3=6,故D错误. ()2 11.AC【解析】对于A,a0-b|=3,|a1- 14.3【解析】由题意知AB⊥AD,AB=1, b1|=0,a2-b2=2,a3-b3=1,故{d|d= AD=2.因为AC=AB+AD,所以平行四边 a,-b:,i=0,1,2,3}={0,1,2,3},所以a 与3是一对完美数组，故A正确；对于B,若α 形ABCD是矩形，又C币-2，所以点P ·2·姓 名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填 写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选 择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Z一√6<x<4},集合A={1,2,3},则CA= A.{1,2,3} B.{-2,-1,0}C.(-3,0) D.{-2,-1} 2.已知=1-i,则= A.1+i B.1-i C.2i D.-2i 3.已知a,b∈R,则“a3>b3”是“ea-b>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)=sinx一2cos(x-牙)的最小正周期是 A日 B.π C.√2π D.2π 5.已知函数f(x)=|lnx|,若0<a<b,且f(a)=f(2b),则ab= A.1 C.e D.e 6.设a为正数，则，十的最小值为 A.1 B.2 C.3 D 数学试题第1页（共6页） 7.已知圆锥的底面半径为1，高为4，则能够被整体放入该圆锥的球的最大半径为 A.17-1 C.1⑤-1 D. 23-1 4 4 4 8.若过点(a,b)可以作曲线y=x3一x的三条切线，则 A.1a+b|>|a3 B.a+b<a3 C.la-b>a3 D.|a-b|<a3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知单位向量e1,e的夹角为，0为△ABC的外心，AC=一e,-eg,BC 2e1一e2,则 A.IAC=BCB.∠ABC- ，C.AC=OB D.AB·BO=-9 10.记T,是各项均为正数的数列{an}的前n项积，已知a1=1,Tm+1=(2am+ 1)Tm,则 A.an=2"-1 B是等比数列 C.T7≤2n2+n-2 D. T1+T+…+ a1 a2 an ≥na 11.设n为正整数，有序数组a=(ao,a1,,an),3=(b0,b1,…,bn),其中a;,b;∈ {0,1,…,n},i=0,1,…,n,且ao,a1,…,am两两互不相等，bo,b1,…,bm也两 两互不相等.若a,3满足{dd=|a;-b;1,i=0,1,…,n}={0,1,…n},则称 α与3是一对完美数组，则下列命题正确的有 A.若n=3,a=(0,1,2,3),3=(3,1,0,2),则a与3是一对完美数组 B.若n=2026,则存在a,3,使得a与B是一对完美数组 C.对给定的n,若a与B是一对完美数组，则∑a,b;为定值 D.对给定的α，若α与B是一对完美数组，则B是唯一的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知eosa-）-言，则sim(2a-) 13.已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：①f(行)-2：@f(2+x)- f2-)=0:③图象关于点4,0)对称.则f(9) 4已知A=3Md=2.C=A+Ad.A,Ad=0,ci-25若a护 mAB+nAD,则m+n的最大值为 数学试题第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在数列(a,}中，a1=2,2nn+1 an+1 an (1)证明：数列{nan}是等比数列； 2州 (2)若6。一(a,十1D汇(1+1a,1十求数列{h.}的前n项和T 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知+c0sA=2. cos C (1)证明：A=C或B=2C; (2)若a=3,c=2,求△ABC的面积. 数学试题第3页（共6页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=2,CD=3, PA=PB=√2，E是棱PD上的点. 1)若PE=2证明：AE∥平面PBC (2)若平面PAB⊥平面ABCD,直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 ,求PE的长 /30 B 数学试题第4页（共6页） 18.(17分) 如图，圆C的半径为3，其中A,B为圆C上的两点. (1)若cos∠CAB=3,则当为为何值时，AC+2A店与kAC-AB垂直？ (2)若G为△ABC的重心，直线L过点G,交边AB于点P,交边AC于点Q,且 市=AA店ad=A心，证明：十为定值： (3)若|AC+tAB1的最小值为1，求|AB的值. G 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 已知函数f(x)=ln' (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤xe-1,求k的取值范围； (3)设s,t为正数，证明：f(st),f(s2十t)至少有一个小于f(√2e). 数学试题第6页（共6页）2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 ·数学· 叁春含案及解折 湘豫名校联考2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练·数学 一、选择题 7.A【解析】如图，△PAB为圆锥的轴截面，母 1.B【解析】因为U={-2,-1,0,1,2,3},A= 线长为√4+1=√17.设△PAB的内切圆O {1,2,3},所以CA={-2,-1,0}. 的半径为r,D为切点.因为△PDO∽△PCB, 2.B【解析】因为三=1-i,所以之=i(1-i)= 所以 -即=，解得 PO DO 17 1+i,所以之=1-i. 3.C【解析】若a3>b3,则a>b,故e4-6>e°= 7-1,放所求球的半径的最大值为7-」 4 1,充分性成立；若e-b>1=e°，则a一b>0,即 a>b,故a3>b3,必要性成立，所以“a3>b3”是 “e“-6>1”的充要条件. 4.D【解析】因为f(x)=sinx-2cosx ）=-cosx,所以f(x)的最小正周期为2x 5.B【解析】由f(x)=|lnx,且f(a)= f(2b),得|lna=ln2bl.因为0<a<b,所以8.B【解析】设过点(a,b)的直线与曲线y= 0<a<1<2b,所以-lna=ln2b,所以2ab= x3一x切于点(x0,x8-xo),y'=3.x2-1,故切 线方程为y=(3x-1)(x一x)十x8一xo,将 1,即ab=2 点(a,b)代入得2x8-3a.x8+a+b=0.令 6.B【解析】法一：设a3=,则关于4的方 g(x)=2x3-3a.x2十a+b,若过点(a,b)可以 a+11 作曲线y=x3一x的三条切线，则g(x)有三 程a2-ka十3一k=0有解，故△=k2-4(3一 个不同的零点g'(x)=6x(x一a),显然当a= k)≥0，解得k≥2或k≤一6.又a为正数，故k 0时，g'(x)≥0，g(x)单调递增，此时只有一个 也为正数，所以k≥2，当a=1时等号成立，故 零点；当a>0时，g(x)在区间（一∞，0） k的最小值为2. 和(a,十∞)上单调递增，在区间(0，a)上单调 法=：a+3-a+1)-2a+1)+4-（a+ 递减.若g(x)有三个不同的零点，则 a+1 a+1 g(0)>0, 1)+ 即+b>0, 当a<0时，g(x)在 a+1-2≥2√a+1)· 4 a+1 一2=2，当 g(a)<0,la+b<a3; 区间（一∞，a)和(0，+∞）上单调递增，在区 且仅当a+1=即a=1时，等号成立，故 间(a,0)上单调递减若g(x)有三个不同的零点， a2+3 a十1的最小值为2. 则a≥0即+6>a综上，a十b1<a. 即 g(0)<0,{a+b<0. ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 与8是一对完类数组，则营1。，-6，=0十 9.ACD【解析】IAC1=√(-e1-e2) 1十2十·+2026=1013×2027为奇数，而 √e+2e1·e2+e=√3，同理可得|BC| (a,-b,)=2a,-b:=0为偶数，这与 3,故A正确；AC·BC=(-e1-e2)·(2e1- 1=0 i=0 i=0 之a,一b:和2(a,一b,)具有相同的奇偶性 3 e)=-2ei-e·e+ei=-2,所以cos<AC, 10 矛盾，所以若n=2026,则α与3不可能是一 BC)=-名，即∠ACB=不从而在等腹三角 对完美数组，故B错误；对于C,若α与B是一 对完美数组，则公|a,-b,2=公(a =0 形ABC中，∠ABC=否，故B错误：如图，外 2a,b,+b)=02+12+22+…+n2=2a= i=0 心O在△ABC的外部，连接OA,OC,显然四 边形AOBC为菱形，所以AC=O店，故C正确： 3b,故22a,b,=b,2a,b,= 1之b一 1-0 2=0 易得|AB|=3,AB·BO=-BA·BO= 2十十…+n2),所以对鉴 专B所=一号故D正确， 三a6,为定值，故C正确：对于D,不妨设 C a=(0,1,2,3),则由A可知3=(3,1,0,2)满 足α与3是一对完美数组，且当3=(1,3,2， 0)时，也满足α与3是一对完美数组，则3不 是唯一的，故D错误。 三、填空题 7 12. 25 【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a 10.AC【解析】由Tm+1=(2am+1)Tu,得2am十1= 月=o(F-2a）-os2(a-） T即a+1=2a,十1所以a,+1+1=2(a.十1. 2o(a-2）-1=2x8-1- 25 又a1十1=2，所以{am+1}是首项为2，公比 为2的等比数列，所以am十1=2×2-1=2，an= 13. 【解析】由f(2+x)-f(2-x)=0,得 2”一1，故A正确；由上可知Tm+1=(2+1一1)Tn, f(x)的图象关于直线x=2对称.又f(x)的 故票-（一）是}不是等比数列，故 图象关于点(4,0)对称，所以8是f(x)的一 个周期.又在f(2十x)-f(2-x)=0中，令 B错误；由上可知Tn=(2-1)(22-1)·…· x=,得f()-f()=0,所以f() (2"-1)≤22X23X…X2”=27+-1,所以 T≤2，故C正确；当n=2时I+工 f()=2故(9)=f(g+4×8) 1+T1=2<2a2=2×3=6,故D错误. ()2 11.AC【解析】对于A,a0-b|=3,|a1- 14.3【解析】由题意知AB⊥AD,AB=1, b1|=0,a2-b2=2,a3-b3=1,故{d|d= AD=2.因为AC=AB+AD,所以平行四边 a,-b:,i=0,1,2,3}={0,1,2,3},所以a 与3是一对完美数组，故A正确；对于B,若α 形ABCD是矩形，又C币-2，所以点P ·2· 2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 ·数学· 在以C为圆心，2为半径的圆上.以A为坐 16.(1)证明：由已知及正弦定理得snA sin C 标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴， cos A =2, 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0, cos C 0),B(1,0),D(0,2),所以AB=(1,0), sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)= AD=(0,2),C(1,2),故圆C的方程为(x一 2sin Ccos C=sin 2C. (2分) 又A,B,C是△ABC的内角， +g-2=设点P1+2Sos6,2+ sin(A+C)=sin B=sin 2C. (3分) 26 又B,C∈(0，π)， n0）(0∈[0,2x),因为A户=mAi+ 所以B=2C或B+2C=元. (4分) 2 若B+2C=π，则由A十B十C=π，得A=C. m=1+ 5 cos0, (5分) nAD=(m,21),所以 故 2m=2+2 综上，A=C或B=2C (6分) 5 sin 0, (2)解：由题意知a≠c,则A≠C, 5 cos 0415 2W 所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C. m+n=2+ 5 sin 0=2+sin(0+ o)≤3，其中tano=2,当且仅当sin(0+o)= 由正弦定理得inA-a一3 sin C c2' 1时，等号成立. 所以sin3C3 sin C2 (8分) sin 3C sin(2C+C)=sin 2Ccos C+ cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C- 1)sin C, 所以sin3C 3 sin C =4cos2C-1= 四、解答题 所以2cos2C=, (10分) 1收①证期明：因为2”-分 则cosB=cos2C-2osC-1-；-1- 4 所以(n十1)am+1=2nam· (3分) 又a1=2≠0， 所以B=B=-()- 4 所以数列{nam}是以2为首项，2为公比的等 (12分) 比数列. (6分) 故△ABC的面积S△ABC= 1 (2)解：由(1)知nam=2”, 2acsin B-2X 2 所以b.=(a,+1D[(n+1)a++可 3X2X15315 (15分) 4 4 2” 1 1 (2”+1)(2+1+1)2"+121+1' 17Q)证明：如图，在PC上取一点F,使= (10分) 2,连接EF,BF. 1111 所以T.=2+1一4+14十18+1 因为器得 1 111 2”+12a+1+132m+1+1 (13分) 所以EF∥CD,且EF=名cD=2.(2分) 3 ·3· ·数学· 参考答案及解析 又AB∥CD,AB=2, 则sin0=|cos(C定，m)|= c2·m 所以AB∥EF,且AB=EF, CEm 所以四边形ABFE是平行四边形， 6A √30 所以AE∥BF (4分) 3√/6入2-6入+9 15 (13分) 又BFC平面PBC,AE中平面PBC, 可得8入2十2λ-3=0， 所以AE∥平面PBC. (6分) 解得入=2或入= （舍去)， (14分) 所以PE-号PD- 2 故当直线CE与平面PBC所成角的正弦值 为时，PE的长为 (15分) (2)解：取AB的中点O,连接OP.过点O作 18.(1)解：因为AC=BC=3,cos∠CAB= 3 OH∥AD,交CD于点H. 所以由余弦定理得BC2=AC2十AB2一 因为PA=PB,所以OP⊥AB 2 ACXAB Xcos∠CAB, 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平 即AB2-2AB=0,所以AB=2. (2分) 面ABCD=AB,OPC平面PAB, 若AC+2AB与kAC-AB垂直， 所以OP⊥平面ABCD. 则(AC+2AB)·(kAC-AB)=0 又AB∥CD,AB⊥AD, 所以kAC2+(2k-1)AB·AC-2AB2=0, 所以OH⊥AB. (8分) 以O为坐标原点，OB,OH,OP所在直线分 所以9晓十(2-1D×2X3Xg8=0, 别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直 解得大一 (5分) 角坐标系，则B(1,0,0),C(2,2,0),D(-1, 2,0),P(0,0,1). 即当k= 时4C+2店与kA-正垂直 (6分) (2)证明：因为G为△ABC的重心， 所以AG=号×号(A正+AC)=}A正+ 证 又A户=AAB,AQ=μAC, 设P正=入PD(0<入≤1)，则E(-入，2入，1一λ)， 所以BC=(1,2,0),PB=(1,0,-1), 所以aG=号a店+号4ad-4+Ad. CE=(-1-2,2入-2,1-入). (10分) (8分) 因为P,G,Q三点共线， 设平面PBC的法向量为m=(xy,之)， 则m·BC=0, 所以存在实数t,使得PG=tPQ, x+2y=0, 即 所以AG-AP=t(AQ-AP), m·PB=0,x-x=0. 化简得AG=(1-t)A户+tAQ, 令x=2,得y=-1,之=2，则m=(2,一1,2). 所以 1 (12分) 3入T3μ =3,为定值。 设直线CE与平面PBC所成的角为O, (11分) ·4· 2025年11月高三一轮复习诊断考试巩固训练 ·数学· (3)解：设AB=m,AB与AC的夹角为0. 则g'()=1-t)e-lnt 1AB 在△ABC中，cos0= 当0<t<1时，g'(t)>0,g(t)单调递增； IACI 当t>1时，g'(t)<0,g(t)单调递减， 所以AB.AC=|AB11AC1cos0=|AB1· 所以g(t)≤g(1)=1-e. 1AB 当k+l≥1-e,即k≥-e时，f(x)≤x*e2-. AC1· AC 21AB1. (13分) (9分) 综上，k的取值范围是[一e,十∞). (10分) 又AC+tAB=√(AC+tAB)2 (3)证明：由(1)可知，当0<x<e时，f(x)单 =√AC+2tAB·AC+12AB 调递增；当x>e时，f(x)单调递减 （i)当st≥e时，s2+t2≥2st≥2e, =√9+tAB2+t2AB 故f(s2+t2)≤f(2e)<f(W2e),符合题意. =√9+m2t+tm2 (12分) （i)当t<e时，若s2+t2>√2e,则f(s2+ 所以当t=一 时，AC+1A店有最小值 t)<f(√2e),符合题意； 若s2+t2≤√2e,则2st≤s2+t2≤√2e, 所以，9- 4 =1,解得m=4√2， 即us2e 2 (16分) 即AC+tAB取最小值1时，AB1=42. 当0心e时 (17分) 19.(1)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 令9x)=f()-f()=nx 1-In x (2分) x2 x2(2-lnx)(0<x<e), 令f'(x)=0,得x=e. 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 则e(x)=-3-2nx月 当x>e时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 令u(x)=e2-3.x2+2x2lnx(0<x<e), 所以f(.x)的单调递增区间为(0，e),单调递 则u'(x)=4x(lnx一1)<0，u(x)单调递减， 减区间为(e,十o∞) (4分) 所以u(x)>u(e)=0, (2)解：当0<x≤1时，f(x)≤0<xe-1,不 所以p'(x)>0,p(x)单调递增， 等式成立； (5分) 则g(x)<p(e)=0, 当x>1时，f(x)≤xe-1,即lnx≤ x+1e-1, 即fx)<f() (15分) 等价于ln(lnx)≤(k+1)lnx十x-1(￥). 令lnx=t,t>0,则x=e, (*)式等价于lnt≤(k+1)t+e-1, 即k+1>ln1-e+1 (7分) 故若<2则fu)f()<fEe. 令g(t)=lnte+1 综上，f(st),f(s2十t)至少有一个小于f(W2). t (17分) ·5·