2024年广东省中考数学模拟测试卷

广东省2024年中考数学模拟测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下图是（　　）的展开图． A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥 3．（3分）如图，小明同学在折幸运星时，将一张长方形的纸条折成一个正五边形，则图中 的度数为（　　） A．72° B．80° C．90° D．108° 4．（3分）如图， ，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 5．（3分）如图，图中每个四边形都是正方形，字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 6．（3分）一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，若 的面积为24， ，现将 沿 所在直线翻折，使点 落在直线 上的 处， 为直线 上一点，则线段 的长可能是（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 8．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是（　　） A．a=1，b=0 B．u=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3 9．（3分）若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（　　）． A．a：b：c B． C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）分解因式：xy-x＝　 　． 12．（3分）在△ABC中，BD为高，若AD+AB=CD，AD=1，BC=2 ，则AC=　 　。 13．（3分）小明准备用元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本元，每支签字笔元，小明买了支签字笔，他最多还可以买　 　个作业本． 14．（3分）如图，现有四张卡片，前三张卡片上的数分别为3、6、7. 在第四张卡片上填写一个数，使得从中任取一张，取到奇数的概率与取到偶数的概率相等. 你填写的数是　 　.（填写一个你认为正确的数即可）. 15．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠A= 38°，则∠C=　 　 三、解答题(一)：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16．（10分）（1）（5分）计算：； （2）（5分）解方程：. 17．（7分）一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”如图所示，已知点A，B，C，D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线对应的解析式为y＝ x2﹣ ，求CD的长． 18．（7分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查． 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 （1）（2.5分）【数据的描述与分析】 求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图． （2）（2.5分）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 八年级 直接写出表格中 ， ，并求出． （3）（2分）【数据的应用与评价】 从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）已知：平行四边形ABCD，求作菱形AECF，使点E、点F分别在BC、AD边上 下面是小明设计的尺规作图过程. 作法：如图 ①连接AC； ②分别以A、C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧交于M、N两点； ③连接MN，分别与BC、AD、AC交于E、F、O三点； ④连接AE、CF 四边形AECF即为所求 根据小明设计的尺规作图过程 （1）（4.5分）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） （2）（4.5分）完成下面的证明 证明∵AM=　 　，AN=　 　， ∴MN是AC的垂直平分线。 （　 　）（填推理的依据） ∴EF⊥AC，OA=OC， ∴平行四边形ABCD ∴AD∥BC ∴∠FAO=∠ECO 在△FAO和△ECO中 ∴△FAO≌△ECO ∴OE=OF 又∵OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形 （　 　）（填推理依据） ∵EF⊥AC ∴四边形AECF是菱形 （　 　）（填推理依据） 20．（9分） 某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知每辆甲种客车的租金比每辆乙种客车的租金多元，并且用元租甲种客车的辆数和用元租乙种客车的辆数相等． （1）（4.5分）每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）（4.5分）该校七年级师生共人，计划租用甲、乙两种客车共辆已知甲种客车每辆载客人，乙种客车每辆载客人，则租车所需费用最少为多少元？ 21．（9分）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家准备去超市购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠 素材1 纸巾区域推出两种活动： [注：两种活动不能同时参加．] 【活动一】：购物满100元送30元券，满200元送60元券，……， 上不封顶，送的券当天有效，需一次性用完． 【活动二】：所有商品打八折． 素材2 晓琳家用的两种纸巾的信息(规格与标价)： A品牌 规格：每袋6包 标价：20元/袋 B品牌 规格：每箱12包 标价：60元/箱 素材3 晓琳家平均三天用1包A品牌纸巾，平均五天用1包B品牌纸巾；晓琳家还剩1袋A品牌纸巾，B品牌纸巾的余量未知． 问题解决 任务1 晓琳家半年(按180天计算)需要消耗A品牌纸巾多少袋？消耗B品牌纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的用量计算，还需要购买2种纸巾若干，其中B品牌纸巾需购买x箱，若选择活动二，则所需的总费用为 元(用含x的代数式表示)． 任务3 晓琳突然想起家中已没有B品牌纸巾，按半年所需的用量来购买，请探索送券和打折哪个更优惠，并写出探索过程． 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．（12分）已知：如图线段 ． 求作：以 为斜边的直角 ，使得一个内角等于30°． 作法：①作线段 的垂直平分线交 于点 ； ②以点 为圆心， 长为半径画圆； ③以点 为圆心， 长为半径画弧，与 相交， 记其中一个交点为 ； ④分别连接 ． 就是所求作的直角三角形． （1）（6分）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）（6分）完成下面的证明． 证明：连接 ， 是 的直径， °（ ）（填推理的依据）． 是以 为斜边的直角三角形． ， 是等边三角形． ． °． 23．（12分）如图，A(m，0)，B(0，n)，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC. （1）（4分）求C点的坐标. （2）（8分）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37×106m， 故答案为：C． 【分析】用科学记数法表示大于10的数为a×10n，其中（n为正整数，1≤a＜10） 2．【答案】C 【解析】【解答】解：展开图中上下底面是圆，中间是长方形，符合圆柱的展开图. 故答案为：C 【分析】根据展开图中上下底面是圆，侧面是长方形即可判断. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：正五边形的每个内角度数为 ， ∴ 故答案为：A. 【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°可得五边形的内角和，再用内角和÷边数5可得五边形的每一个内角，然后由邻补角定义可求解. 4．【答案】B 【解析】【解答】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：B． 【分析】先根据平行线的性质得出 ，再利用三角形的外角性质解答即可． 5．【答案】D 6．【答案】D 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R， ∵它的轴截面是正三角形， ∴R＝2r， ∴2πr＝ ， 解得n＝180°， 故答案为：D. 【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数. 7．【答案】D 【解析】【解答】如图，过B点作BM⊥AD于M点，作BN⊥AC于N点，△ABC面积为24，AC为6，故可得到BN=24×2÷6=8，因为△ABC翻转得到 ，故 ，所以有BM=BN=8，所以BP的最小值为8，选项中只有D选项大于8， 故答案为：D. 【分析】过B点作BM⊥AD于M点，作BN⊥AC于N点，P点在AD上运动，利用三角形的面积求出BN，进而得到BM，BM的长即为BP的最小值. 8．【答案】D 【解析】【解答】解： 当a=1，b=-3时， a>b，但|a|＜|b|. 故答案为：D. 【分析】证明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的已知条件，但又不满足命题的结论，据此一一判断得出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】如图， 连接OC，作OD⊥BC， ∵∠ACB=60°，CO平分∠ACB， ∴∠OCD=60°×=30°， 在Rt△ODC中，OD=OC， 设OD=x，则OC=2x． 又∵正三角形的周长为12， ∴BC=12×=4， ∴CD=4×=2， 根据勾股定理，（2x）2+x2=22， 解得x=． 【分析】连接OC，作OD⊥BC，设OD=x，则OC=2x，利用勾股定理可得（2x）2+x2=22，再求出x=即可。 10．【答案】D 【解析】【解答】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC， 由垂径定理和圆周角定理可得∠B= ∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R， 则：OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A， OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B， OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C， 故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C． 故答案为：D． 【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B= ∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，根据锐角三角函数的定义可用R分别表示出OD，OE，OF，进而可以得出它们的比例关系。 11．【答案】x(y－1) 【解析】【解答】解：xy-x＝x(y－1) 故答案为：x(y－1). 【分析】提取公因式x的值即可。 12．【答案】4或2 【解析】【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，设CD的长度为x， ∴AB=x-1，在直角三角形BCD和直角三角形ABD中， 由BD=BD ∴BC2-CD2=AB2-AD2 12-x2=x2-2x+1-1 解得x=3或x=-2（舍去），∴AC=CD+AD=3+1=4. ②当△ABC为直角三角形时，设AC的长度为x，则AB=AC=x ∴在直角三角形BCD和直角三角形ADB中，BC2-CD2=BA2-AD2 ∴x2-1=12-（x+1）2 解得x=-3（舍去）或x=2 ∴AC的长为4或2. 【分析】根据三角形的形状进行分类讨论，在构造的直角三角形中，根据共有的高，结合勾股定理列出等式，即可得到答案。 13．【答案】 【解析】【解答】解： 设可以买x个作业本， 由题意得：2.2×7+6x≤40， 解得：x≤， ∵x为正整数， ∴x的最大值为4， 故答案为：4. 【分析】设可以买x个作业本，由总价=单价×数量，根据总费用不超过40元，列出不等式并求出最大整数解即可. 14．【答案】2(答案不唯一，偶数即可). 【解析】【解答】解：∵取到奇数的概率与取到偶数的概率相等， ∴四张卡片上的数，奇数与偶数的个数相等， ∴填写的数是偶即可，如：2或4等，答案不唯一. 故答案为：2.(答案不唯一，偶数即可). 【分析】要使取到奇数的概率与取到偶数的概率相等，只需四张卡片上的数，奇数与偶数的个数相等，据此解答即可. 15．【答案】38° 【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ， ∴ ∠C= ∠A= 38°. 【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠C= ∠A= 38°，即可得出答案. 16．【答案】（1）解： ； （2）解：移项，得. 配方，得，即. 由此可得. ，， 故原方程的解为，. 【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得原式=2×()2-1+×，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上16，再对左边的式子利用完全平方公式可得(x-4)2=5，接下来利用直接开平方法进行计算. 17．【答案】解：令 ， 解得x=1或-1， 即AB=2， 故CO=1， 令x=0，解得 ， 即 ， 所以 ， 【解析】【分析】抛物线对应的解析式，令y=0可求得x的值，可知直径的长进而可得OC的长，令x=0，解得y的值可知OD的长，即可求出CD的值。 18．【答案】（1）解：两个年级随机抽取的学生数量为（人），则 ， （2）解：3.5；4； （3）解：从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的；而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 【解析】【解答】解：（2）， 将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数， ，， 中位数， ∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多， ∴众数． 故答案为： 3.5；4； 【分析】（1）先求出两个年级随机抽取的学生数量，再运用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得到的值，进而补全频数直方图即可求解； （2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可求解； （3）根据中位数、众数、平均数、方差的意义即可求解。 19．【答案】（1）解：如图，四边形AECF为所求作的菱形． （2）CM；CN；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 【解析】【解答】证明：∵AM＝CM，AN＝CN， ∴MN是AC的垂直平分线，（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∴EF⊥AC，OA＝OC ∵平行四边形ABCD ∴AD∥BC ∴∠FAO＝∠ECO， 在△FAO和△ECO中， ， ∴△FAO≌△ECO， ∴OE＝OF 又∵OA＝OC ∴四边形AECF是平行四边形，（对角线互相平分的四边形为平行四边形） ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）. 故答案为：CM，CN，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 【分析】（1）根据作法画出图形即可．（2）先证明四边形AECF为平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形为菱形得到结论． 20．【答案】（1）解：设每辆甲种客车的租金是元，则每辆乙种客车的租金是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元； （2）解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意得：， 解得：， 又、均为正整数， 可以为，， 共有种租车方案， 租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需租车费用为元； 租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需租车费用为元； ， 租车所需费用最少为元． 答：租车所需费用最少为元． 【解析】【分析】（1）设每辆甲种客车的租金是 x 元，则每辆乙种客车的租金是（ x -100）元，根据用2400元租甲种客车的辆数和用1800元租乙种客车的辆数相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用甲种客车 m 辆，则租用乙种客车（10- m )辆，根据该校七年级师生共420人，列出一元一次不等式，求出选择各方案以及所需租车费用，比较后即可得出结论． 21．【答案】解：任务1 ：（包），（袋），（包），（箱）， 故需要消耗A品牌纸巾10袋，消耗B品牌纸巾3箱. 任务2：（144+48x） 任务3 ：A品牌纸巾已有1袋，为买够半年的所需用量，还需再购买9袋A品牌纸巾和3箱B品牌纸巾. 参加活动一：可以先购买9袋A品牌纸巾和2箱B品牌纸巾，所需费用为（元），此时获得90元券，用来购买1箱B品牌纸巾，故实际所需费用为300元； 参加活动二：当x=3时，144+48x=144+483=288（元）， 300>288， 选择活动二更优惠. 【解析】【解答】解：任务2 ： 选择活动二 ，购买费用为（180+60x）80%=（144+48x）元. 【分析】任务1：根据 晓琳家平均三天用1包A品牌纸巾，平均五天用1包B品牌纸巾列出算式计算，即可求解； 任务2 ：利用总费用=（A品牌纸巾费用+B品牌纸巾费用）乘以折扣，代入数据计算即可求解； 任务3 ：分别计算出活动一，活动二的费用，作比较，即可求解. 22．【答案】（1）解：如图所示： （2）解：如图，连接 ， 是 的直径， 90°（直径所对的圆周角等于90°）． 是以 为斜边的直角三角形， ， 是等边三角形． ， 30°． 故答案为：90°，直径所对的圆周角等于90°，30°． 【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明 是等边三角形， ，即可解决问题。 23．【答案】（1）解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示. ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=90°，AB=BC. ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB=∠BOA=90°. ∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°， ∴∠ABO=∠BCD. ∴△ABO≌△BCD(AAS)， ∴BD=AO，CD=BO， ∵A(m，0)，B(0，n)， ∴BD=﹣m，CD=n， ∴点C的坐标为(﹣n，n﹣m) （2）解：△PAB与△ABC全等分两种情况： ①当∠ABP=90°时，如图2所示. ∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP， ∴点C、P关于点B对称， ∵C(﹣n，n﹣m)，B(0，n)， ∴点P的坐标为(n，n+m)； ②当∠BAP=90°时，如图3所示. ∵△ABC≌△BAP， ∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP， ∴BC∥AP， ∴四边形APBC为平行四边形. ∵A(m，0)、B(0，n)，C(﹣n，n﹣m)， ∴点P的坐标为(m+n，m). 综上所述：在y轴右侧的平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，P点坐标为(n，n+m)或(m+n，m). 【解析】【分析】（1） 过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示.根据等腰直角三角形的性质得出∠ABC＝90°、AB＝BC，根据同角的余角相等得出∠ABO＝∠BCD，然后利用AAS判断出△ABO≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标； （2）△PAB与△ABC全等分两种情况：①当∠ABP＝90°时， 如图2所示. 根据∠ABC＝∠ABP＝90°、△ABC≌△ABP，即可得出点C、P关于点B对称，结合点B、C的坐标即可得出点P的坐标；②当∠BAP＝90°时， 如图3所示. 由∠ABC＝∠BAP＝90°即可得出BC∥AP，根据△ABC≌△BAP即可得出BC＝AP，进而判断出四边形APBC为平行四边形，根据平行四边形的性质结合点A、B、C的坐标即可找出点P的坐标．综上即可得出结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$