广东省深圳市罗湖区部分学校2024年中考适应性考试（6月）数学试题

深圳市罗湖区部分学校2024年中考适应性考试（6月） 数 学 说明:1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答 题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。 2.全卷共6页。考试时间90分钟，满分100分。 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作非选择题11-22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一．选择题（每题3分，共30分） 1．﹣2024的绝对值是（　　） A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．0 2．下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．据海关统计，2024年1﹣2月长春市进出口总额约为215.4亿元．数据215.4亿用科学记数法表示为（　　） A．0.2154×1011 B．215.4×108 C．2.154×109 D．2.154×1010 4．下列计算正确的是（　　） A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2 5．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC．若∠ABC＝30°，则∠ADE应为（　　）度． A．30° B．60° C．120° D．150° 6．《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　） A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线 C．AD＝BD D．AD平分∠BAC 8．已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 9．某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是（　　）m． A．6tan62°+1.8 B．6sin62°+1.8 C．6cos62°+1.8 D． 10．如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（　　） A． B． B． C． D． 二．填空题（每题3分，共15分） 11．中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是 　 　． 12．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根是3，则3a+b＝　 　． 13．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC＝　 　． 14．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝﹣3x+b与新函数的图象恰有2个公共点时，b的取值范围是 　 　． 15．如图，三角形ABC中，AB＝BC，点D在AB上，∠ACD＝45°，点E在BC的延长线上，且∠BAE＝3∠BCD，若AD＝5，CE＝1，则BE的长为 　 　． 第13题图 第14题图 第15题图 第二部分 解答题题 三．解答题（共7小题，第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分。） 16．计算：． 17．先化简，再求值：求：，在0，1，﹣1，2四个数中选一个适合的数，代入求值． 18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y （单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.95 n 0.0669 【问题解决】 （1）m＝　 　，n＝　 　，求荔枝树叶的长宽比的平均数． （2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 　 　同学； （3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 20．2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗． 21．根据以下素材，完成任务 设计货船通过双曲线桥的方案 素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称． 素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量m（吨）满足函数表达式． （1）建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上． 甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点C落在时，OD＝　 　，可得点A的坐标为 　 　，此时过点A的双曲线的函数表达式为 　 　，而点C所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意； （2）①若设C点坐标为（a，a），求出a的值以及点C所在双曲线的函数表达式； ②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）． 22．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点． （1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周长； （2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值． ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市罗湖区2023-2024学年6月中考适应性考试评分标准 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A B D C A D 二．填空题（共5小题） 11．． 12．﹣2． 13．24°．14 ﹣3＜b＜9或．15 11. 15．【解答】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，交CD于点H，过点A作AF⊥CD于点F，交BE于点T，过点H作HK⊥AC于点K． 设∠B＝2α， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣2α）＝90°﹣α， ∵∠ACD＝45°， ∴∠BCD＝45°﹣α， ∵∠BAE＝3∠BCD， ∴∠E＝180°﹣2α﹣3（45°﹣α）＝45°+α， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠FAC＝∠FCA＝45°， ∴FA＝FC， ∴∠DAF＝∠TCF， ∵∠AFD＝∠CFT， ∴△AFD≌△CFT（ASA）， ∴AD＝CT＝5，∠DAF＝∠DCB＝45°﹣α， ∴∠ATE＝∠B+∠DAT＝45°+α， ∴∠ATE＝∠E， ∴AT＝AE， ∵AG⊥ET， ∴TG＝GE， ∵CT＝5，CE＝1， ∴ET＝6， ∴GT＝GE＝3，CG＝GE﹣CE＝2， ∵∠AFH＝∠CGH＝90°，∠AHF＝∠CHG， ∴∠GCH＝∠HAF＝∠DAF， ∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠AHF+∠HAF＝90°， ∴∠ADF＝∠AHF， ∴AD＝AH＝5， ∵S△ACH•AH•CGAC•HK， ∴AC， ∵∠HKC＝90°，∠HCK＝45°， ∴CK＝HK， 在Rt△AKH中，则有52＝HK2+（KH）2， 解得，KH或2， ∵KH＞0， ∴HK2＜10， ∴HK＝2不符合题意舍去， ∴KH， ∴CHKH， ∴HG1， ∴AG＝AH+GH＝6， 在Rt△ABG中，则有AB2＝AG2+BG2， ∴（BG+2）2＝62+BG2， ∴BG＝8， ∴BE＝BG+GE＝11． 三 ．解答题（共7小题） 16．【解答】解：原式＝2+221.......................................................4分（注意：每个知识点1分） ＝221 ＝3．.......................................................................................................5分 17．【解答】解：原式• …………............…………………2分 • …………............….......................................………………3分 ； …………............……………...........................................................……4分 a取1，﹣1时，原式无意义， …………............……………......................……5分 当a＝0时，原式1； …………............……………….......................…7分 当a＝2时，原式． …………............………………......................…7分 18．【解答】解：（1）3.75；2.0；1.91...................................………………3分 （2）∵0.0424＜0.0669， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0， ∴B同学说法合理． 故答案为：B；…………............………......................……......................……5分 （3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2.0，................…7分 ∴这片树叶更可能来自荔枝．…………............……………......................……8分 19．【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵EF为切线， ∴∠OCE＝90°，…………............………......................……......................……1分 ∵D为AC中点， ∴OE⊥AC， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠EAC，…………............………......................……......................……2分 ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°， 即∠EAO＝90°，…………............………......................……......................……3分 ∵OA是⊙O半径， ∴EA为⊙O的切线；…………............………......................……......................……4分 （2）解：连接BC， ∵AB为直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°，…………............………......................…….............……5分 ∵EF为切线， ∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA， ∴∠BCF＝∠CAF， ∴△BCF∽△CAF，…………............………......................…….......................……6分 ∴， 由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5， 在Rt△AEF中，可求得AF＝4， ∴，解得BF＝1，…………............………......................……......................7分 ∴AB＝AF﹣BF＝3， ∴⊙O的半径为．…………............………......................……........................……8分 20．【解答】解：（1）设乙种树苗每棵的价格是x元、则甲种树苗每棵的价格是（x+10）元， 由题意可得：，…………............………......................……........................……2分 解得x＝30． 经检验，x＝30是原方程的根，…………............………......................……......................……3分 ∴x+10＝40， 答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元；…………...........................……4分 （2）设可购买a棵甲种树苗， 由题意可得：0.9a×40+30×（100﹣a）≤3200．…………............………..................……5分 解得：，…………............………......................…….........................................……6分 ∵a为正整数， ∴a的最大值为33，…………............………......................……...................................……7分 答：最多可购买33棵甲种树苗．…………............………......................……..............…8分 21． 【解答】解：（1）12，，；…......................……..............…3分 过程如下 过点C作CG⊥x轴于点G， ∵点C落在时， 则，而∠CGO＝90°， ∴△COG为等腰直角三角形，则∠COG＝∠OCG＝45°， 则在Rt△COG中，，而CD＝4， ∴OD＝8+4＝12； 设直线OC表达式为：y＝kx（k≠0）， 代入得：k＝1， ∴第一象限角平分线为直线y＝x， ∵CD落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称， ∴点D是AB的中点，OD⊥AB， 过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图， ∴∠DCE＝∠COG＝45°， ∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FDA＝90°﹣45°＝45° 则△CDE、△ADF是等腰直角三角形， ∵CD＝4， 设CE＝DE＝x， 则在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+x2＝42， 解得， ∴， ， ∵AB＝16， ∴AD＝8，同理可求：， ∴， 设反比例函数解析式为：， 将点A代入得：， ∴点在双曲线上， ∴点C所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 故答案为：12，，； （2）①由题意得OG＝CG＝a， 由（1）得，， ∴，， ∴，而C（a，a），…………...........................……4分 代入得：， 解得：，…………...........................…..........................................…5分 ∴， ∴， ∴经过点C的双曲线表达式为：；…………...........................……6分 ②2吨………….....................................................................................……9分 过程如下 设，，其中a＞b，则，如图， ∵点D在直线y＝x上， ∴，即k＝ab， ∴A（a，b），B（b，a）， ∵CD＝4，AB＝16， ∴，即（a﹣b）2＝128， ∵CD＝4，CD与x轴正方向夹角为45°， ∴线段CD的水平距离和铅锤距离均为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得：，， ∴，， ∵四边形EFGH是矩形， ∴FG＝EH，GH＝EF， ∵EH＝9， ∴， 同理可求， 即， ∵EF＝3， ∴同理可求， 即：， ∵， ∴此时货船不能通过该桥洞； ∵EF∥OD， ∴kEF＝1， ∴设直线EF的解析式为y＝x+n，把代入，得， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ， ∴，即， ∵， ∴m＝4h＝2， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 22．【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于H，如图1， ∵点D是AB的中点，且AB＝4， ∴AD＝BDAB＝2， 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝AB＝4， ∴tan∠ACD，CD2，…………...........................……1分 由旋转得：DE＝CD＝2，∠CDE＝90°， 即∠ADC+∠ADE＝90°， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ADE＝∠ACD， 在△DEH和△CDA中， ， ∴△DEH≌△CDA（AAS），…………...........................……2分 ∴EH＝AD＝2，DH＝AC＝4， ∴AH＝DH﹣AD＝4﹣2＝2， 在Rt△AEH中，AE2， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝2+22；…………...........................……3分 （2）猜想：FD＝CGFG，理由如下：…………...........................……4分 如图2，连接AF、AG，过点F作FH⊥FG交AG于H， ∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是AB、BC的中点， ∴AE＝EF，AE⊥EF，AF＝CF， ∴∠AEG+∠FEG＝90°， 由旋转得ED＝EG，∠DEG＝90°， ∴∠FED+∠FEG＝90°，∠EDG＝∠EGD＝45°， ∴∠AEG＝∠FED， 在△EAG和△EFD中， ， ∴△EAG≌△EFD（SAS），…………........................................……5分 ∴AG＝FD，∠AGE＝∠FDE， ∵∠FDG＝∠FGE， ∴∠AGE+∠FGE＝∠FDE+∠FDG＝∠EDG＝45°， 即∠AGF＝45°， ∵∠GFH＝90°， ∴∠FHG＝45°＝∠FGH， ∴△FGH是等腰直角三角形， ∴FH＝FG，HGFG， ∵∠AFH+∠CFH＝∠CFG+∠CFH＝90°， ∴∠AFH＝∠CFG， 在△AFH和△CFG中， ， ∴△AFH≌△CFG（SAS），…………...........................……6分 ∴AH＝CG， ∵AG＝AH+HG， ∴FD＝CGFG；………….....................................……7分 （3） ．…………..................................................……10分 证明如下 设AE、GH交于点M，作AB中点P，连接PC、PE、BE、AF，作PC中点Q，连接AQ、QG，如图， ∵将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴，∠EAD＝45°， ∵△ABF是等腰直角三角形， ∴，∠BAF＝45°， ∴， ∵∠BAF﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠FAD， ∴△BAE∽△FAD， ∴∠BEA＝∠FAD＝90°， ∵点P是AB的中点， ∴PEAB， ∵Q是PC的中点，G是EC的中点， ∴QG是△CPE的中位线， ∴QGPEAB，QG∥PE， 设AB＝AC＝4a，则QG＝a，PA＝2a， 在Rt△PAC中，PC2a， AQPC2aa， 当A、Q、G三点共线时， AG＝AQ+QGa+a＝（1）a，取得最大值， 又∵QG∥PE， ∴AG∥PE， ∴∠PEA＝∠GAE， ∵PE＝PA， ∴∠PAE＝∠PEA＝∠EAG， ∵F是BC的中点，G是EC的中点， ∴FG是△BEC的中位线， ∴FG∥BE， ∴AE⊥HG， ∴△AHM≌△AGM（ASA）， ∴HM＝GM，AH＝AG＝（1）a， ∴1， ∴， ∴的值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/22 10:53:50；用户：王强；邮箱：13420935028；学号：22074995 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市罗湖区部分学校2024年中考适应性考试（6月） 答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共10小题）（请用2B铅笔填涂） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 二．填空题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答） 11. 12. 13. 14. 15. 三．解答题（共7小题）（请在各试题的答题区内作答） 16.计算：． 17.先化简，再求值：求：，在0，1，﹣1，2四个数中选一个适合的数，代入求值． 18. （1）m＝　 　，n＝　 　，荔枝树叶的长宽比的平均数为 （2） 　 　 （3） 19. （1） （2） 20. （1） （2） 21. （1）OD＝　 　，点A的坐标为 　 　， 过点A的双曲线的函数表达式为 　 　， （2）① ② 22. （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$