精品解析：四川成华区某校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

半期考试高2023级数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合虚部的定义求解即可. 【详解】依题意得，则的虚部为． 故选：B 2. 如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项. 【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示： A选项满足要求. 故选：A. 3. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 4. 中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，那么（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意和正弦定理求出，再由内角的范围和边的关系求出． 【详解】由题意得，，，， 由正弦定理得，，则， 因为，， 所以或， 故选：B． 5. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图象几何性质，可得答案. 【详解】由，则， ， 则. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解. 【详解】. 故选：A. 7. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点求出圆的半径，利用周期求出的值，通过三角函数解析式求出的值，即可得函数的解析式. 【详解】易知， 因旋转一周用时60秒，即， 又由题意知 ∴， 又 ∴ ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，属于基础题. 8. 在矩形中，，，点分别在边，上，满足，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合可得，即可利用乘“1”法求解. 【详解】，, 由于，， 由可得, 故，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 二、选择题：本题共4小题，题小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若为纯虚数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由共轭复数的概念即可判断；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方即可判断；对于D，由纯虚数的概念即可列式求解参数并判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的点的坐标为，而点位于第四象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，若为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知平面向量，下列命题正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若∥，∥，则∥， C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由数量积的运算律化简计算判断，对于B，举例判断，对于C，举例判断，对于D，由向量的运算律和模的性质判断 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，所以A正确， 对于B，若时，满足∥，∥，而∥不一定成立，所以B错误， 对于C，当，不共线时，仍满足，而不能得到，所以C错误， 对于D，，当且仅当共线同向时取等号，所以D正确， 故选：AD 11. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图象求出的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD，根据三角函数图象平移法则判断C. 【详解】由图象可知，，， 所以函数最小正周期，所以， 又，即， 所以，所以， 由，得，所以，所以，A选项正确； 当时，，因为函数在上单调递增， 所以区间上单调递增，B选项正确； 将的图象向左平移个单位，得函数的图象， 其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴， 所以不是偶函数，C选项错误； ， 所以，D选项正确. 故选：ABD 12. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则面积的最大值为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若为的外心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，可判定B正确；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；作得到点为的中点，设，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，且，所以， 由余弦定理得， 由，可得，当且仅当时，等号成立，所以， 则面积，所以面积的最大值为，所以B正确； 对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得，故C错误； 对于D，如图所示，作交于点点，则点为中点，且， 设，所以， 所以， 所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用转换法结合已知即可运算求解. 【详解】. 故答案为：. 15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得出，再在中，由余弦定理得出即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 16. 已知函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先逆用两角和差公式化简函数表达式，从而原题条件等价于恒成立，构造函数求出表达式左边的最小值即可得解. 【详解】由题意，对任意的都成立， 即对任意的都成立，令， 而对任意的，有， 所以当，即时，， 所以. 综上,实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知为虚数单位，复数满足， （1）求． （2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值． 【答案】（1）z＝3+4i；（2）c＝8 【解析】 【分析】（1）设，由，进行计算化简，得到关于的方程组，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到关于的方程，求出的值. 【详解】（1）设， 由， 得， ∴，解得． ∴； （2）由题意，的坐标分别为 ∴，， ∵是直角，∴，即． 【点睛】本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题. 18. 已知向量，. （1）若，求在上的投影向量的坐标； （2）设，若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，在上的投影向量为，求解即可； （2）由可得，利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以， 所以，， 故在上的投影向量为， 故在上的投影向量的坐标为； 【小问2详解】 因为， 所以，即， 所以， 所以，， 所以，，， 故. 19. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角基本关系式可求； （2）先由同角基本关系式求出，再由，可解. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 则， 【小问2详解】 由， ， 所以，则， 所以， 因为，所以. 20. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. （1）求的长度； （2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）根据正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 在中，， 所以， 由正弦定理， 即，解得，故的长度为. 【小问2详解】 由题可知， 在中， ∴，， ∴ ， ∴，， ∵，∴， ∴， 所以当，即时取得最大值，最大值为. 21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的大小； （2）若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 22. 已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象得到，求出的值并检验即得； （2）依题求出解析式，将看成整体角，结合正弦函数的图象发现在区间上的单调性和对称性，利用其得出，代入求解即得； （3）设，依题求得，结合在上的图象，将“方程在上有4个不相等的实数根”转化成“关于的方程在上有两个不等的实根”，最后利用二次函数的图象列出关于参数的不等式组，求解即得. 小问1详解】 因，依题意的图像关于轴对称，则有，即， 而，即有或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求， 故函数的解析式是. 【小问2详解】 由图象平移可得，若，则， 而区间上递减，在区间上递增，显然两侧关于直线对称， 若且，则，可得， 故. 【小问3详解】 由（1），令，由可得 则， 由题意，关于的方程有两个不等的实根， 且与在上均有两个不等的实根， 当时，的图象如图所示，故， 此时关于的方程在上有两个不等的实根， 令，则即解得 故实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质在零点上的应用,属于难题. 解题的关键在于要有整体角换元思想，运用好数形结合的方法，有效将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，充分发挥三角函数图象在对称性，单调性等方面的作用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 半期考试高2023级数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图有一个直角梯形，则它水平放置的直观图是（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，那么（ ） A B. 或 C. D. 5. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，，点分别在边，上，满足，，若，则最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共4小题，题小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若为纯虚数，则 10. 已知平面向量，下列命题正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若∥，∥，则∥， C. 若，则 D. 11. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 12. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A B. 若，则面积的最大值为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若为的外心，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数满足，则__________. 14. 已知向量，满足，，，则__________. 15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 16. 已知函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知为虚数单位，复数满足， （1）求． （2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值． 18. 已知向量，. （1）若，求在上的投影向量的坐标； （2）设，若，求向量与的夹角的余弦值. 19. 已知. （1）求的值； （2）求值. 20. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. （1）求的长度； （2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的大小； （2）若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 22. 已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$