精品解析：2024年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题

2024年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（二） 数学 说明：本试卷共6页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的概念（绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数）． 根据相反数的定义直接找出的相反数． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 对于数，它的相反数就是改变其符号，得到． 所以的相反数是， 故选：A． 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：80.16亿， 故选：B． 3. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）. A. 仁 B. 义 C. 智 D. 信 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的平面分解图知识求解. 【详解】正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与“仁”是相对.故答案选A. 【点睛】本题考查正方体的平面分解图知识.熟悉正方体的11种平面展开图是解题的关键. 4. 如图，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解． 【详解】解：设CD与EF交于G， ∵AB∥CD ∴∠1=∠C=58° ∵BC∥FE， ∴∠C+∠CGE=180°， ∴∠CGE=180°-58°=122°， ∴∠2=∠CGE=122°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. （） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. （），故该选项不正确，不符合题意； C. ，该选项不正确，不符合题意； D.，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 7. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是： ． 故选：D． 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 9. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 10. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 详解】解： = =， 故答案为． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是______同学． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， 成绩最稳定的同学是丁， 故答案为：丁． 14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 【答案】400 【解析】 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 15. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是 度． 【答案】105 【解析】 【详解】试题分析：如图，根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以得到∠1=45°-30°=15°，因此根据直角的意义可求出∠2=75°，再根据平角的意义可求结果为105°． 考点：直角三角形，三角形的外角，平角的意义 16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）解不等式的基本步骤解答即可， 本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，乘方，解不等式，熟练掌握解不等式，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解得． 18. 教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． 【答案】菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元 【解析】 【分析】设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元； 【详解】解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程式． 19. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形平行四边形． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1 （2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果 （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： ∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种， ∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ， 答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为． 【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法． 21. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据题意证明，从而得到，即可得到； （2）把代入即可求解． 【小问1详解】 解：． 由题意得， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：， ． ． 答：②号“E”的测量距离是． 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 综合探究： 如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，． （1）如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2）的长为或 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得到，结合已知条件和等腰三角形“三线合一”性质推知，再由等腰 “三线合一”性质得到，即可得到结论； （2）分类讨论：点E在线段和线段上，借助勾股定理求得的长度； （3）由三角形中位线定理知，又由切线的性质知，根据平行线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 是等边三角形，理由如下： 如图1， 是圆O的直径， ， 又， ， 点E与点O重合， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 ， ， 当点E在上时， 则，， ，， 在和中， 由勾股定理得， 即， 解得， ； 当点E在上时，同理可得， 解得， ； 综上所述，BC的长为或； 【小问3详解】 ．理由如下： 如图3，连接． 点C是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 又与半圆O相切， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质等知识，根据点E的位置正确分类是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1． （1）【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． （2）【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； （3）【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； （4）【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 【答案】（1）（0，），， （2），4）或（，4 ） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可； （2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可； （3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可； （4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， 先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），， 故答案为：（0，），， 【小问2详解】 解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为， ∵点P到准线l的距离为6， ∴点P的纵坐标为4， ∴当时，， 解得， ∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）； 【小问3详解】 解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E， 由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣， ∴，， ∴△FDB∽△FHC， ∴， ∵BC=2BF， ∴CF=3BF， ∴， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴△AEF∽△BDF， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EF=2， ∴， ∴点A的坐标为（，）， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； 【小问4详解】 解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， ∵在Rt△MNH中，， ∴∠MHN=45°， ∴△MNH是等腰直角三角形， ∴NH=MN， 设点M的坐标为（m，）， ∴， ∴， ∴HN=2， ∵点E是靠近点F的黄金分割点， ∴， ∴； 同理当E时靠近H的黄金分割点点，， ∴， ∴， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（二） 数学 说明：本试卷共6页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）. A. 仁 B. 义 C. 智 D. 信 4. 如图，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. （） C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 9. 如图，教室内地面有个倾斜畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，扇形纸片AOB半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解=______． 12. 若，则______． 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是______同学． 14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 15. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是 度． 16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． 19. 已知：如图，在矩形中，是边上点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 21. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离． 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 综合探究： 如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，． （1）如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与位置关系，并说明理由． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1． （1）【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． （2）【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； （3）【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； （4）【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $