2025届高三数学一轮复习对点练65：两直线的位置关系

2025届高三数学一轮复习对点练65　两直线的位置关系 【基础巩固】 1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是(　　) A.(2，3) B.(－2，3) C.(3，－2) D.(－3，2) 2.(2024·石家庄质检)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 3.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 4.若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为(　　) A.互相平行 B.互相重合 C.互相垂直 D.无法确定 5.(2024·南通调研)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.2 6.(2024·烟台质检)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是(　　) A.3 B. C. D.2 7.(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 8.(多选)(2024·青岛调研)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则(　　) A.直线l2过定点(－3，－1) B.当m＝1时，l1⊥l2 C.当m＝2时，l1∥l2 D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1 9.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，则l1⊥l2，则m＝________. 10.已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________________. 11.设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________________. 12.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________. 【能力提升】 13.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0 14.(2024·南昌调考)若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为(　　) A.3x＋4y－6＝0 B.x＋3y－4＝0 C.6x－5y－9＝0 D.2x－3y－6＝0 15.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________. 16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________. 参考答案 1.A　[联立得 所以两条直线的交点坐标为(2，3).] 2.B　[易知直线l1的斜率为， 则直线l2的斜率为－＝，即a＝－2， 故直线l2：x－2y－1＝0， 所以l1和l2间的距离为＝.] 3.D　[设所求直线上任一点(x，y)， 则它关于x＝1对称点为(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上， 所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.] 4.C　[由根与系数的关系得ka·kb＝－1， 则a与b互相垂直.] 5.A　[联立解得x＝1，y＝2. 把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0， 所以m＝－5－2n. 所以点(m，n)到原点的距离 d＝＝＝≥， 当n＝－2，m＝－1时取等号. 所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.] 6.D　[如图，设B(4，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b). 则 解得即C(3，5). 依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|，|AC|＝＝2.] 7.BC　[由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求. 对于A，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为＝3>4，故不符合； 对于B，点M(5，0)到直线y＝2的距离为2－0＝2<4，故符合； 对于C，点M(5，0)到直线y＝x的距离为＝4，故符合； 对于D，点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离为＝>4，故不符合.] 8.ACD　[对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为 m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0， 令则 因此直线l2过定点(－3，－1)，故A正确； 对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0， l2：3x－2y＋7＝0， 因为4×3＋(－3)×(－2)≠0， 所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0， l2：4x－3y＋9＝0， 因为＝≠，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当l1∥l2时， 则满足＝≠，得m＝2， 此时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0， 则两直线间的距离为＝1，故D正确.] 9.－2或3　[l1：(m－1)x－6y－2＝0， l2：mx＋y＋1＝0， 若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0， 解得m＝3或m＝－2.] 10.x＋3y－5＝0或x＝－1　[当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时， 由直线P1P2的斜率k＝＝－， 得所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 当直线过线段P1P2的中点时， 因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)， 所以直线方程为x＝－1. 综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.] 11.2x－y－5＝0　[∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x， ∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称. A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上. 由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.] 12.－1或或－2　[由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形， 此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1； ②当l3∥l2时，不能构成三角形， 此时a×3＝4×2，解得a＝； ③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形， 此时联立l1与l2，得 解得 所以l1与l2的交点为(－2，1)， 将(－2，1)代入l3， 得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2， 综上，当a＝－1或或－2时，不能构成三角形.] 13.B　[设A(a，b)，则 解得所以A(－1，1). 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，所以直线l2的斜率 k＝－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)， 即3x－2y＋5＝0.] 14.C　[BH所在直线方程为x－2y－5＝0， 设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)， 代入解得t＝－11， 所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0. 联立AC与CM的方程得 解得C(4，3). 设B(2m＋5，m)，则M， 即2m＋10－－5＝0， 解得m＝－3，则B(－1，－3)， 所以直线BC的方程为＝， 即6x－5y－9＝0.] 15.　[以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)， 则直线BC的方程为x＋y－4＝0. 设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)， 点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)， 根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线， 由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝·(x＋t). 设△ABC的重心为G，易知G. 因为重心G在光线RQ上， 所以＝·，得t＝(t＝0舍去)，即|AP|＝.] 16.　[设点A1与A关于直线l对称， P0为A1B与直线l的交点， ∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|. 在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|， ∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|. 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)， 则由对称的充要条件知 解得 ∴A1(0，3)， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$