2025届高三数学一轮复习对点练69：双曲线

2025届高三数学一轮复习对点练69　双曲线 【基础巩固】 1.已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A.－1<k<5 B.k>5 C.k<－1 D.k≠－1或5 2.双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　) A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±x 3.经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4.(2024·大连调研)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 5.(2024·湖南师大附中模拟)已知双曲线C：－＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1，) 6.(多选)(2024·烟台质检)已知双曲线C：－y2＝λ(λ＜0)，则(　　) A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在y轴上 C.双曲线C的离心率为定值 D.双曲线C的渐近线方程为y＝±x 7.(多选)(2024·南京调研)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　) A.＋＝100 B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 8.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________________. 9.(2024·武汉模拟)双曲线x2－＝1的右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点对称.若PF⊥QF，则△PQF的面积为________. 10.(2024·福州模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为________. 11.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离； (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 12.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率. 【能力提升】 13.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 14.(多选)(2024·宁波调研)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是(　　) A.若|PF1|·|PF2|＝2，则·＝0 B.若＝，则双曲线的离心率e∈(1，＋1] C.△F1PQ周长的最小值为8 D.△AOB(O为坐标原点)的面积为定值 15.(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－， 则C的离心率为________. 16.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. 参考答案 1.C　[若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， 则解得k<－1.] 2.C　[依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1， 所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.] 3.D　[由题意知，可设所求的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 点M(2，2)在双曲线方程上， 所以－＝λ，解得λ＝－6， 故所求的双曲线方程是－＝1.] 4.A　[由题知F(c，0). 又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝c， 所以双曲线C的离心率e＝＝2.] 5.B　[由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0， 又该圆的圆心为(c，0)， 故圆心到渐近线的距离为， 则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)， 又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2， 解得c2<13，即c<，则e＝＝<， 又e>1，故离心率的取值范围是.] 6.BCD　[对于A，B，由曲线C：－y2＝λ(λ＜0)， 整理可得－＝1(λ＜0)， 所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线， 且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值， 所以A错误，B正确； 对于C，离心率e＝＝＝为定值，C正确； 对于D，渐近线的方程为y＝±x＝±x，D正确.] 7.BCD　[由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上， 设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6， 所以a2＝c2－b2＝100－36＝64， 得双曲线C的标准方程为－＝1. 对于A，m＝－，n＝， 所以＋＝－36＋64＝28，A错误； 对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确； 对于C，双曲线C的离心率e＝＝＝，C正确； 对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小， 所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确.] 8.－＝1　[设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3. 因此b2＝c2－a2＝16， ∴双曲线的标准方程为－＝1.] 9.4　[由题意，得a＝1，b＝2，c＝. 设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1， 因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称， 所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形， 所以|PQ|＝|F1F|＝2，|QF|＝|PF1|. 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2， 所以|QF|－|PF|＝2.① 又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，② 所以联立①②可得|PF|·|QF|＝8， 所以△PQF的面积S＝|PF|·|QF|＝4.] 10.10　[由已知得双曲线方程为－＝1， 设双曲线的另一个焦点为F′， 则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为 |PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3， 当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3， 故△PAF的周长的最小值为10.] 11.解　(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h， ∵·＝0，∴MF1⊥MF2. 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.① 在Rt△F1MF2中， 由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，② 由①②得m·n＝8. ∵S△MF1F2＝mn＝4＝×2ch，∴h＝. 即M点到x轴的距离为. (2)设双曲线C的方程为 －＝1(－4＜λ＜16). ∵双曲线C过点(3，2)， ∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴双曲线C的方程为－＝1. 12.解　(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以双曲线方程为－＝1. (2)设点A的坐标为(x0，y0)， 所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1， 所以x0＝y0，① 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2， 将①代入圆的方程得3y＋y＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以点A的坐标为， 代入双曲线方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又因为a2＋b2＝c2， 所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0， 所以3－8＋4＝0， 即3e4－8e2＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因为e>1，所以e＝， 所以双曲线的离心率为. 13.B　[不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b. ∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8， ∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16. 当且仅当a＝b＝2时，等号成立. ∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4， ∴C的焦距的最小值为2×4＝8.] 14.ACD　[由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2， 则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2， 当|PF1|·|PF2|＝2时， 有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2， 从而⊥，即·＝0，故A正确； 在△PF1F2中，由正弦定理得＝， 若＝，则＝＝， 解得|PF1|＝|PF2|. 又|PF1|－|PF2|＝2a， 所以|PF2|＝>c－a， 整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0， 解得1<e<＋1，故B错误； 当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为， |PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋≥8(当且仅当a＝1时取等号)，故C正确； 设P(x0，y0)，过点P的双曲线E的切线方程为－y0y＝1，E的渐近线方程为 y＝±x， 不妨设切线x－y0y＝1与渐近线y＝x的交点为A， 联立方程组 解得即A， 同理可得B. 又因为点P在双曲线E上，则有－y＝1， xA＋xB＝＋＝2x0， 故点P是AB的中点. 设切线x－y0y＝1与x轴的交点为G， 易知G， 所以S△AOP＝·|yA－y0|＝·＝， 所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确.] 15.　[法一　由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)， 设A(x1，y1)，B(0，y0)， 所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0). 因为＝－， 所以即 所以A，＝，＝(c，y0). 因为⊥，所以·＝0， 即c2－y＝0，解得y＝4c2. 因为点A在双曲线C上， 所以－＝1， 又y＝4c2，所以－＝1， 即－＝1， 化简得＝， 所以e2＝1＋＝，所以离心率e＝. 法二　由法一得A，y＝4c2， 所以|AF1|＝ ＝＝＝， |AF2|＝ ＝＝＝， 由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a， 即－＝2a，即c＝a， 所以双曲线的离心率e＝＝＝.] 16.(1)解　设双曲线的离心率为e，焦距为2c， 在－＝1中，令x＝c，则－＝1， 则＝－1＝，故y＝±， 若|AF|＝|BF|，则a＋c＝， 所以a2＋ac＝b2＝c2－a2， 所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2. (2)证明　由(1)知双曲线方程为－＝1， 设B(x，y)(x>0，y>0)， 当x≠c时，kAB＝，kBF＝， 设∠BAF＝θ，则tan θ＝， tan 2θ＝＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝－kBF＝tan∠BFA， 因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π， 所以∠BFA＝2∠BAF. 当x＝c时，由题意知∠BFA＝，∠BAF＝，满足∠BFA＝2∠BAF. 综上，∠BFA＝2∠BAF. 学科网（北京）股份有限公司 $$