2025届高三数学一轮复习对点练66：圆的方程

2025届高三数学一轮复习对点练66　圆的方程 【基础巩固】 1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　) A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，2) 2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　) A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0 C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0 4.已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法错误的是(　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点(2，3)在圆M内 5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A.6 B.25 C.26 D.36 6.(2024·惠州调研)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为(　　) A. B.9 C.4 D.8 7.(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为(　　) A.x2＋＝ B.x2＋＝ C.(x－)2＋y2＝ D.(x＋)2＋y2＝ 8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________________. 10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________. 11.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程. 12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点. 求：(1)m＋2n的最大值； (2)的最大值和最小值. 【能力提升】 13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 14.若点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________. 15.(2024·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________. 16.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积. 参考答案 1.A　[由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内； 由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外； 由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上， 由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.] 2.D　[因为圆心为(1，1)且过原点， 所以该圆的半径r＝＝， 则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 3.A　[由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2. 故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2， 故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4， 即x2＋y2－2y－3＝0.] 4.C　[设△ABC的外接圆M的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 所以△ABC的外接圆M的方程为 x2＋y2－2x－6y＋5＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝5. 故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为， 因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)， 所以圆M不关于直线x＋y＝0对称. 因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5， 故点(2，3)在圆M内.] 5.D　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方， ∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点， ∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方， 即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝ [＋1]2＝36.] 6.B　[圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)， 依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上， 因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)， 所以＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”， 所以＋的最小值为9.] 7.AB　[由已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为. 设圆心的坐标为(0，a)，半径为r， 则rsin ＝1，rcos ＝|a|， 解得r＝，即r2＝， |a|＝，即a＝±. 故圆C的方程为x2＋＝或x2＋＝.] 8.(－2，－4)　5　[依据圆的方程特征，得a2＝a＋2， 解得a＝－1或2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 则圆心为(－2，－4)，半径是5； 当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0， 即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆.] 9.x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)) 　[设C(x，y)， 根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|， 可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2， 即x2＋y2＝2. 考虑到A，B，C三点要构成三角形， 因此点C不能为(1，1)和(－1，－1). 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).] 10.2　[因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0， 所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆. 设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)， 所以解得 故A′(－4，－2). 连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知 |PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.] 11.解　(1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0). 由|EB|＝|EC|，得＝， 解得b＝1， 所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)设P(x，y)，由于P是MN中点， 由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)， 代入x2＋(y－1)2＝10， 化简得＋＝， 即线段MN的中点P的轨迹方程为＋＝. 12.解　(1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心为(2，7)，半径r＝2， 设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d＝≤2， 解得16－2≤t≤16＋2， 所以m＋2n的最大值为16＋2. (2)记点Q(－2，3)，则表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. 由直线MQ与圆C有公共点， 得≤2. 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值为2＋，最小值为2－. 13.ABD　[圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4＜0， ∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.] 14.10　[由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)， 所以＋＝(－2x，－2y)， 由于点P(x，y)是圆上的点， 故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4， 故y2＝－(x－3)2＋4， 所以|＋|＝＝2. 由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5， 所以当x＝5时，||＋|的值最大，最大值为2×＝10.] 15.　[－16，4]　[圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2，0)，半径为r＝， 若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为 d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4.] 16.解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y). 由题设知·＝0， 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部， 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|， 故O在线段PM的垂直平分线上， 点P(2，2)适合圆N的方程， 易知P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－， 故l的方程为x＋3y－8＝0. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为， 所以|PM|＝，S△POM＝××＝， 故△POM的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $$