精品解析：2024年山东省济南市莱芜区中考三模数学试题

2024年初中学业水平阶段性诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 2023年我国小麦产量13万吨．数据“13万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，点B在直线n上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 2024年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对10个地区“五一”假期的旅游人数进行了调查，获得了他们“五一”假期旅游人数（单位：百万）：12，16，12，16，18，17，17，20，17，15．则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 16、16 B. 16.5、17 C. 17、17 D. 17、16 9. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． ①如图1，四边形是“对补四边形”，若，且时，； ②如图2，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中，，之间的数量关系是； ③如图3，在四边形中，，平分，则四边形是“对补四边形”； ④如图4，在四边形中，，平分，且时，则． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：____． 12. 如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是__________． 13. 某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是__________． 14. 如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积__________（结果保留）． 15. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示．则的面积为__________． 16. 如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值． ，其中． 19. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 20. 简约大气是人们的新追求图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（结果精确到．参考数据：，，，，） （1）求支架顶点A到地面的距离； （2）如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离． 21. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点D的切线l交的延长线于点M． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 23. 某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． （1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价． （2）购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 24. 已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． （1）如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； （2）如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； （3）如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 25. 线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上． （1）如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________． （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）如图2，若点为的中点，连接，动点在第二象限的抛物线上运动，横坐标为，过点作轴于点，交于点，请用含的代数式表示出的长； （3）如图3，直线交轴于点，若直线交直线于点，过点作于点，当时，是否存在最大值？若存在，求出t及最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平阶段性诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积为1，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：A． 2. 2023年我国小麦产量13万吨．数据“13万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据“13万”用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 如图，直线，点B在直线n上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由平角定义得到． 【详解】解：如图， ∵， ， ， ， ． 故选：C． 4. 实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．根据数轴的位置，可得，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：由数轴知：， ∴，，， ∴， 故选：B． 5. 如图，四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方，熟记运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘除法、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方逐个计算即可． 【详解】A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意． 故选：D． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ，， 点在第三象限， ， 又， ， ， 故选：C． 8. 2024年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对10个地区“五一”假期的旅游人数进行了调查，获得了他们“五一”假期旅游人数（单位：百万）：12，16，12，16，18，17，17，20，17，15．则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 16、16 B. 16.5、17 C. 17、17 D. 17、16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：出现的次数最多， 众数为17． 将这组数据按照从小到大的顺序排列：12，12，15，16，16，17，17，17，18，20． 众数． 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，推出，设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10. 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． ①如图1，四边形是“对补四边形”，若，且时，； ②如图2，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中，，之间的数量关系是； ③如图3，在四边形中，，平分，则四边形是“对补四边形”； ④如图4，在四边形中，，平分，且时，则． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据“对补四边形”的定义，由，得，再利用勾股定理即可求得答案； ②延长至点，使得，连接，根据“对补四边形”的定义，可证明，继而证明，从而可得结论； ③过点作于点，于点，则，可证，进而可证四边形是“对补四边形”； ④设，则根据，再运用建立方程，解方程即可求得． 【详解】解：如图1，连接， ，， ， 在中 ， 在中 ， ， ， ，故①错误； 如图2，延长至点，使得，连接， 四边形是“对补四边形”， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即，故②正确； 如图3，过点作于点，于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， 与互补， 四边形是“对补四边形”； 由③可知四边形是“对补四边形”， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：． 在中，， ，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键． 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 12. 如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键． 直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出落在阴影部分的概率． 【详解】解： 故米粒落在图中阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设平均每月利润增长的百分率为x，则2月份利润为万元，3月份的利润为万元，然后列方程，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴平均每月利润增长的百分率为． 故答案为：． 14. 如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积__________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，垂径定理的推论，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用分割法解决问题． 连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵D是半圆弧的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示．则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，含角的直角三角形的性质，求出是解题的关键． 过点作，为垂足，由点的运动速度为，结合图2可得，然后根据求出，然后由三角形的面积公式求面积． 【详解】解：过点作，为垂足，如图： 由点的运动速度为，结合图2可得， ，， ， ， 故答案为：4． 16. 如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作，交于点F，解直角三角形得出的长，再根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点M作，交于点F， ∵在边长为2的菱形中，， ， ， ， ，点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 将菱形翻折，使点A的对应点落在上， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识，正确画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，，，进行运算，即可． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用菱形的性质可得出，，利用等式的性质得出，利用证明，即可得证． 【详解】略 20. 简约大气是人们的新追求图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（结果精确到．参考数据：，，，，） （1）求支架顶点A到地面的距离； （2）如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据线段的和差关系求出的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出的长度； （2）过点作于，过点作于，根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出的长度和，根据直角三角形的边角关系求出的长度，再根据线段的和差关系即可求出的长度． 【小问1详解】 如图所示，过点作于， ，， ， ， ， ， ， 答：支架顶点到地面的距离约为． 【小问2详解】 如下图所示，过点作于，过点作于， ，， ， ， 镜面顺时针旋转，即， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 答：此时收纳镜顶部端点0到地面的距离约为． 【点睛】本题主要考查了线段的和差关系、解直角三角形的实际应用、三角形内角和定理、角的和差关系、矩形的判定定理和性质、平行线的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 21. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2） 补图如下： ； （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数为， 补图略 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点D的切线l交的延长线于点M． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接交于点，如图， ， ， 半径， 为的直径， ， ， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接交于点，如图，由，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，连接，延长交直线于，根据圆周角定理得到，由（1）知，，得到，，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 连接，延长交直线于， 如图，为的直径， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线． 23. 某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． （1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价． （2）购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 【答案】（1）钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元 （2）有3种方案，①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件；②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件；③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件，根据题意列一元一次不等式组求得a的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元； 【小问2详解】 解：设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为60，61，62， ∴有3种方案，如下： ①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件； ②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件； ③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件． 24. 已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． （1）如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； （2）如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； （3）如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）周长的最小值为，点M的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标； （3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； 【小问2详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 25. 线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上． （1）如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________． （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离． 【答案】（1）， （2）（1）（1）中的结论成立， 证明：设与交于点， 由旋转的性质得：，，， ， ， ， ，， ， ， ； （3）点M到直线的最大距离为，最小距离为0 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质证明，即可得出结论； （2）同理（1）即可证明； （3）连接，过点M作交延长线与点Q，由（1）（2）可得：，即，点在以为直径的圆弧上运动，点M与点重合时，即点三点共线时，有最大距离，点M与点A重合时，点M到直线有最小距离，即可解答． 【小问1详解】 证明：延长交于点G， ， ， 点与点重合， 正方形中，， ， 由旋转的性质得，， ，， 点与点重合， ； ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点M作交延长线与点Q， 由（1）（2）可得：，即， 点在以为直径的圆弧上运动， 时， 点M与点重合时，即点三点共线时，如图， 此时，点M到直线有最大距离，为的长， ， ， ， ， ，， ， ， 点M到直线的最大距离为：， 如图，当点M与点A重合时， 点M到直线有最小距离，为0， 综上，点M到直线的最大距离为，最小距离为0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）如图2，若点为的中点，连接，动点在第二象限的抛物线上运动，横坐标为，过点作轴于点，交于点，请用含的代数式表示出的长； （3）如图3，直线交轴于点，若直线交直线于点，过点作于点，当时，是否存在最大值？若存在，求出t及最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点坐标为 （2）的长为 （3）存在最大值，的值为时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）把、代入，可求得抛物线的表达式为；而，故抛物线顶点； （2）求出，，直线解析式为，可得，，； （3）求出直线解析式为，可知，，由轴，，可得，故，即，从而，即知，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把、代入， 得：， 解得： ∴抛物线的表达式为； 而，故抛物线顶点； 【小问2详解】 解：在中，令得， ， 点为的中点， ， 设直线表达式为：， 由，得 ， 解得：， ∴直线解析式为， 动点在第二象限的抛物线上运动，横坐标为， ，， ； 的长为； 【小问3详解】 解：存在最大值，理由如下： 设直线的表达式为：， 由，得 ， 解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， 轴，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（2）知； ， ， 当时，取最大值， 的值为时，的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象上点坐标的特征，锐角三角函数，二次函数最值等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $