精品解析：广东省佛山市南海区石门中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

石门中学2023—2024学年第二学期 高一数学二检考试 内容：向量复数面面平行 2024．5．22 命题：刘铠勇 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件不能确定一个平面有（ ） A. 一条直线和直线外一点 B. 对边相等的四边形 C. 两条相交直线 D. 两条平行直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】对选项A：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A错误． 对选项B：对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面，故B正确． 对选项C：经过两条相交直线有且只有一个平面，故C错误． 对选项D：经过两条平行直线有且只有一个平面，故D错误； 故选：B. 2. 下列说法中正确是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 棱台侧棱延长后必交于一点. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征，逐一分析各个选项作答. 【详解】对于A，由直四棱柱的定义知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，A错误； 对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，B错误； 对于C，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，C错误； 对于D，由棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D 3. 复数的虚部是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ，所以的虚部是 ，故选C. 4. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解. 【详解】因为，由余弦定理可得，解得， 又因为，由正弦定理可得，且，即，解得， 所以. 故选：B. 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对选项进行一一判断，从而进行求解. 【详解】对于A，如图①所示，，，是异面直线，此时n与α相交，则A不正确； 对于B，如图②所示，，，是异面直线，此时n与α平行，故B不正确； 对于C，，，则没有公共点，若共面，那么，故C正确； 对于D，如图③所示，，，共面，此时m与n相交，故D不正确． 故选：C. 6. 已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积等于，可求得圆锥的底面圆半径，再由体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于， 得，解得， 因此圆锥的高， 所以该圆锥的体积为． 故选：C． 7. 复数（），则“是纯虚数”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算性质，得到，分类讨论，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由， 当时，可得为纯虚数， 同理可得，当时，可得不纯虚数， 当时，可得是实数， 所以，当且仅当时，复数是纯虚数. 所以“是纯虚数”是“”的充分必要条件. 故选：C. 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助外心性质与投影定义可得，结合向量的线性运算计算可得，即可得解. 【详解】因为是的外心，为的中点， 设的中点为，连接， 所以，，， . 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项. 【详解】A选项，，， 所以有两个解，A选项正确. B选项，为锐角， ，， ，所以有两个解，B选项正确. C选项，由余弦定理得， 所以有唯一解. D选项，， ，所以有唯一解. 故选：AB 10. 在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 存在点，使，，，四点共面 D. 存在点，使平面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系可判定AB，根据平面基本性质可判定C，根据线面平行的判定定理可判定D. 【详解】连接，，分别是，的中点，所以， 由，可确定平面，平面平面， 而平面内点直线，故平面， 故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误； 因是的中点，所以，故，，三点确定平面， 平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误； 由选项A知平面，故平面，只需为中点，有， 则平面，故D正确． 故选：AD. 11. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：直接求出，即可判断； 对于B：直接求出，即可判断； 对于C：直接求出，即可判断； 对于D：直接求出，即可判断. 【详解】对于A：因为复数，所以.故A正确； 对于B：因为复数，所以.故B错误； 对于C：因为复数，所以.故C正确； 对于D：因为复数，所以.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解． 【详解】正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为6，半径为3． ∴可能制作的最大零件的体积为. 故答案为：． 13. 圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为，则圆台的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的高为，母线长为，根据题意，求得和，结合圆台的侧面积和圆的面积公式，即可求解. 【详解】由圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为， 设圆台的高为，母线长为， 可得，解得，可得， 所以圆台的表面积为. 故答案为：. 14. 设复数、，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值. 【详解】设，， 因为，则， 又因为， 所以，，即， 由，可得，故，解得， 由，可得， 所以，，所以，. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【小问1详解】 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； 【小问2详解】 由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式变形即可求解； （2）由正弦定理可得，由可知，结合正弦定理可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理可得，，， 得， 整理得， 因为，则， 因为，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，故，且， 故， 又因为，所以， 因为，可得， 又， 所以，故周长为. 17. 在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. （1）求的大小； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 18. 如图，直棱柱中，为的中点，，，． （1）求棱柱的表面积； （2）求证：平面； （3）在答题卡的图上做出平面与平面的交线，并写出作图步骤． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式可得的面积，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （3）根据题意，在平面中，延长直线，交于点，连接，即可得到结果. 【小问1详解】 直棱柱侧面都是矩形，则侧面积为； 中，，又，故 故面积为 故棱柱表面． 【小问2详解】 连接交于点，连接， ∵四边形为矩形，∴为的中点； ∵因为为的中点，∴． ∵平面，平面， ∴平面． 【小问3详解】 在平面中，延长直线，交于点，连接， 则平面平面． 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为 （1）若．求证： ①； ②为等边三角形． （2）若，求证：． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证； ②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证. 【小问1详解】 ①若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得，因为， 所以； ②由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 又，所以，所以，所以， 即当且仅当且时取等号， 即当且仅当为等边三角形时取等号， 所以，当且仅当为等边三角形时取等号， 又由①知， 所以为等边三角形. 【小问2详解】 由（1）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得 【点睛】根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石门中学2023—2024学年第二学期 高一数学二检考试 内容：向量复数面面平行 2024．5．22 命题：刘铠勇 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件不能确定一个平面有（ ） A. 一条直线和直线外一点 B. 对边相等的四边形 C 两条相交直线 D. 两条平行直线 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点. 3. 复数的虚部是 A. B. C. D. 4. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 6. 已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 7. 复数（），则“是纯虚数”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 存在点，使，，，四点共面 D. 存在点，使平面 11. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______． 13. 圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为，则圆台的表面积为______． 14. 设复数、，满足，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 17. 在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. （1）求大小； （2）求的值. 18. 如图，直棱柱中，为的中点，，，． （1）求棱柱的表面积； （2）求证：平面； （3）在答题卡的图上做出平面与平面的交线，并写出作图步骤． 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为 （1）若．求证： ①； ②为等边三角形． （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$