黑龙江省大庆市肇源县西部四校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下面说法中不正确的是(    ) A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线相等 3.方程的左边配成完全平方后所得方程为(    ) A. B. C. D. 4.若a为方程的解，则的值为(    ) A. 12 B. 6 C. 9 D. 16 5.某公园有A、B、C、D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是(    ) A. B. C. D. 6.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    ) A. 四个角都是直角 B. 四条边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7.下列说法正确的是(    ) A. 在和中，，，，则和不相似 B. 在和中，，，，，，，则∽ C. 两个全等三角形不一定相似 D. 所有的菱形都相似 8.已知∽，BD和是它们的对应中线，若，，则BD的长是(    ) A. B. C. 6 D. 8 9.某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知方程的一个根是，则另一个根值为______. 12.某一时刻身高160cm的小王在太阳光下的影长为80cm，此时他身旁的旗杆影长10m，则旗杆高为______. 13.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且，，则______. 14.设m、n是一元二次方程的两个根，则_______ 15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______ 16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的面积为______. 17.在平行四边形ABCD中，，，E是AD的中点，在AB上取一点F，使∽，则BF的长为______. 18.如图，在中，，，，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 19.解方程： ； 四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题6分 有A、B、C三种款式的帽子，E、F两种款式的太阳镜，小赵任意选一顶帽子和一款太阳镜.求小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款太阳镜的概率. 21.本小题8分 关于x的方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围． 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 22.本小题6分 如图，在和中，，点B，D，E在一条直线上．求证：∽ 23.本小题8分 如图，在中，，CD是边AB上的高． 求证：∽； 如果，，求BD的长． 24.本小题6分 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 25.本小题7分 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在BC，DE上，， 求证： 26.本小题9分 如图，P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD、CD于点M、N，求证： 27.本小题8分 阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去； 当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去， 原方程的根是， 请参照例题解方程 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误； B、是一元二次方程，故B正确； C、是二元二次方程，故C错误； D、是分式方程，故D错误； 故选： 本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2.【答案】C  【解析】解：A、四边相等的四边形是菱形，故正确，故不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，故符合题意； D、正方形的对角线相等，正确，故不符合题意； 故选： 根据菱形的判定定理，正方形的性质定理以及矩形的性质定理判断即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握各定理是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤进行配方即可． 【解答】 解：移项得：， 配方可得：， 即， 故选 4.【答案】B  【解析】解：为方程的解， ， 则 故选： 根据一元二次方程的解的定义直接得出的值，进而求出即可． 此题主要考查了一元二次方程的解，根据定义将看作整体求出是解题关键． 5.【答案】B  【解析】解：画树状图如下： 由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种， 所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为， 故选： 画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 6.【答案】B  【解析】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等． 故选： 根据正方形、矩形的性质，即可解答． 本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质． 7.【答案】B  【解析】解：，， 又， ，则和相似，A不符合题意； 和在中，，，，，，， 则， 则∽，B符合题意； 两个全等三角形一定相似，C不符合题意； 所有的菱形不一定都相似，D不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定方法进行判断即可． 本题考查的是相似图形的判断，掌握对应边的比相等、对应角相等的两个多边形相似和全等是相似的一种特殊情况是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：∽， ， ， ， 故选： 根据相似三角形的性质得出比例式解答即可． 此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答． 9.【答案】C  【解析】解：根据题意得： 故选： 利用该公司按计划今年12月的营业额=该公司今年10月的营业额该公司11，12两月的营业额的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：以点C为坐标原点建立新的坐标系， 点C的坐标是， 点的横坐标为：， 以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形， 则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点B在原坐标系中的横坐标为：， 故选： 以点C为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 11.【答案】  【解析】解：设方程的另一根为， 又， ， 解得：， 故答案为： 设方程的另一个根为，根据两根之积等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程的两根之积等于是解题的关键． 12.【答案】20m  【解析】解：设旗杆的高度为xm， 根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10， 解得 故答案是： 根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可． 本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为： 根据矩形的性质得出，，，，求出，，根据矩形性质和已知求出，求出，求出是等边三角形，推出，求出，最后减去的度数，即可求出答案． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，能求出和的度数是解此题的关键． 14.【答案】4  【解析】【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到，则，代入得到，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，也考查了一元二次方程的解．【解答】 解：是一元二次方程的根， ，即， ， 、n为方程的两个根， ， 故答案为 15.【答案】  【解析】解：为AB的黄金分割点， ， 故答案为： 利用黄金分割的定义计算出AP即可． 此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 16.【答案】24  【解析】解：， ， 或， ，， 菱形一条对角线长为8， 菱形的边长为5， 菱形的另一条对角线长， 菱形的面积 故答案为： 利用因式分解法解方程得到，，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质． 17.【答案】  【解析】解：在平行四边形ABCD中，，，E是AD的中点， ，，， ∽， ， ， 解得： 故答案为： 直接利用平行四边形的性质得出，，，再利用相似三角形的性质得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 18.【答案】  【解析】解：，且，， ， ，， ， 四边形DMAN是矩形， ， 当时，AD的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为， 故答案为： 由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19.【答案】解：， ， ， ，； ， ， ， ， 解得：，  【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 利用公式法解出方程； 利用因式分解法解出方程． 20.【答案】解：树状图如图． 共有6种等可能的情况，小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款太阳镜有一种， 故小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款太阳镜的概率为  【解析】根据题意画出树状图，可知小赵所有可能选中的结果有6种，他所喜欢的结果有1中，进而可得出概率． 此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握概率为所求情况数与总情况数之比是关键． 21.【答案】解：方程有两个不相等的实数根， 且， ，且， 且， 即k的取值范围是且 不存在．理由如下： 关于x的方程的两根分别为、， ，， 假设存在实数k，使得方程的两个实数根，的倒数和为0，则，不为0，且， ， ， ， 而与方程有两个不相等实数根的条件且矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．  【解析】方程有两个不相等的实数根，由此可得判别式是正数，这样即可得到关于k的不等式，解不等式即可求解； 设方程的两个根分别为、，由根与系数的关系式得：，，又因为，然后把前面的等式代入其中即可求得k，然后利用即可判断结果． 本题考查了一元二次方程的根及其一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 22.【答案】证明：在和中，， ∽， ， ， ， ， ∽  【解析】由在和中，，可证得∽，即可证得，又由，即可证得：∽ 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中. 23.【答案】证明：， ， 又， ∽； 解：，，， ， ∽， ，   【解析】本题考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据相似三角形的判定，由已知可证，又因为，即可解答； 根据勾股定理得到，根据∽，可得，代入求值即可. 24.【答案】解：设每张贺年卡降价x元，则每张盈利元，平均每天可售出张， 依题意得：， 解得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每张贺年卡应降价元．  【解析】设每张贺年卡降价x元，则每张盈利元，平均每天可售出张，利用每天销售该种贺年卡的利润=每张的利润平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】证≌，得，即可得出结论． 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明≌是解题的关键． 26.【答案】证明： 四边形ABCD是平行四边形， ，， ∽，∽， ，， ，   【解析】可证明∽，∽，利用相似三角形的性质可证得结论． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质证明三角形相似是解题的关键，化乘积为比例再证明三角形相似是这类问题的一般思路． 27.【答案】解：当即时， 原方程化为 解得不合题意，舍去，； 当即时， 原方程化为 解得不合题意，舍去，； 原方程的根为，  【解析】根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根． 本题考查绝对值的性质、一元二次方程的求解；根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$