福建省莆田市第八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年福建省莆田八中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.使二次根式有意义的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是(    ) A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行 4.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于E、F，连接PB、若，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 6.下列计算，正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(    ) A. 当时，四边形ABCD是菱形 B. 当时，四边形ABCD是菱形 C. 当时，四边形ABCD是矩形 D. 当时，四边形ABCD是菱形 9.如图，在中，，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若，且的面积为1，则BC的长为(    ) A. B. 5 C. D. 10 10.如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，点E在边DC上，连接AE，过D作，垂足为F，连接OF，若，，则OF的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.的值是______. 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若，则BD的长为______. 13.已知：，，则______. 14.如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则______. 15.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，则阴影部分的面积为__________ 16.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线恰好经过B点，若，，则AE等于______. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.计算： ； 四、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题12分 已知，，分别求下列代数式的值： ； 19.本小题12分 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，CD边上的点，，求证：四边形EBFD是平行四边形． 20.本小题12分 如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米． 求梯子顶端与地面的距离OA的长． 若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 21.本小题12分 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以AB为边各画一个菱形 要求：菱形ABCD的顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等． 22.本小题12分 四边形ABCD如图所示，已知，，，，求四边形ABCD的面积. 23.本小题12分 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”. 如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； 在中，，，若是“美丽三角形”，求BC的长. 24.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知 求证： 如图1，过x轴上一点作于E，DE交y轴于点F，求F点的坐标； 将沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点不同于A和C两点，过P作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，M点的坐标是否发生变化？写出你的结论及理由. 25.本小题12分 如图所示，矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转，得到新的矩形BEFH，连接FD，EC，线段EC交FD于点G，连 ①请直接写出线段FB和BD的数量关系______，位置关系______； ②求证： 如图2所示，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到新的，连接EC，FD，线段EC，FD相交于点G，点O为线段BD中点，连OG，在旋转的过程中，是否发生改变？如果不变，请求出的值；如果发生改变，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2.【答案】C  【解析】解：，所以7、2、9不能组成直角三角形； B.，所以4、5、6不能组成直角三角形； C.，所以3、4、5可以组成直角三角形； D.，所以5、10、13不能组成直角三角形； 故选： 据勾股定理的逆定理，逐项判定即可． 本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选： 利用矩形与菱形的性质即可解答本题． 本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 4.【答案】D  【解析】解：，A不符合题意； B.，B不符合题意； C.，C不符合题意； D.为最简二次根式，D符合题意， 故选： 根据最简二次根式的定义可知：①被开方数不含有分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，满足这样条件的二次根式叫做最简二次根式，即可判断为最简二次根式． 本题考查了最简二次根式，关键是掌握判定最简二次根式的条件． 5.【答案】B  【解析】解：作于M，交BC于 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ，，，，， ， ， 故选： 由矩形的性质可证明，即可求解． 本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明 6.【答案】C  【解析】解：、不是同类二次根式，不能进行加减，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选： 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD为菱形， ，， 点O为坐标原点， 点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， 点A的坐标为， 点坐标为， 故选： 由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合条件可求得点C点的坐标． 本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：， ， 平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； B.， 平行四边形ABCD是菱形， 故结论正确，但不符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形， ，， 又， ， 平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； D.当时，四边形ABCD不一定是菱形， 故结论错误，符合题意． 故选： 利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 过A作于H，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得负值舍去，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】 解：过A作于H， 是AB的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的面积为1， ， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， ， 故选： 10.【答案】D  【解析】解：，，， ，， ， ， 的形状固定，点F的位置固定， 点O为对角线AC与BD的交点， 点O在AD的垂直平分线， 如图，作AD的垂直平分线MN，交AD于点M，交BC于点N，连接FO，延长OF交CD于点G， 垂线段最短， 此时OF最短， ， 四边形OMDG为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，故D正确． 故选： 先说明的形状固定，点F的位置固定，点O为对角线AC与BD的交点，点O在AD的垂直平分线，作AD的垂直平分线MN，交AD于点M，交BC于点N，过点F作，延长OF交CD于点G，根据垂线段最短，得出此时OF最短，根据含直角三角形的性质求出OF的长即可． 本题主要考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是找出使OF最小时，点O的位置． 11.【答案】5  【解析】解：， 故答案为： 根据算术平方根的定义求解 本题主要考查了算术平方根的定义，比较简单． 12.【答案】4  【解析】解：是矩形 ， 又， 故答案为： 因为矩形的对角线相等且互相平分，已知，则，又，故可求． 本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单． 13.【答案】4  【解析】解：，， ； 故答案为： 先把进行变形，得到，再把x，y的值代入即可求出答案． 此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式，二次根式的运算，关键是对要求的式子进行变形． 14.【答案】86  【解析】解：如图，连接BD， 由正方形的性质可知：，，，， 在和中，， 即， ， 故答案为： 由正方形的性质得，，，，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 本题考查的是勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解答的关键． 15.【答案】44  【解析】【分析】 作出辅助线EF，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解． 本题主要考查了平行四边形的性质、平行线之间的距离，解答此题关键是作出辅助线，利用平行线之间的距离处处相等找出同底等高的三角形． 【解答】 解：如图，连接EF 四边形ABCD为平行四边形， ， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为 故答案为： 16.【答案】8  【解析】解：四边形ABCD是矩形，，， ，，，， ， 将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线恰好经过B点， ， ， ， 设， ，， 在中，， 即， 解得：， 故答案为： 根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则，，利用勾股定理可得：，即，求出x即可求得AE的长度． 本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，由矩形与翻折的性质得到是解题的关键． 17.【答案】解： ；   【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可； 先算除法和完全平方公式，然后合并同类二次根式即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】解：，， ，， ；   【解析】根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； 根据完全平方公式计算． 本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形EBFD是平行四边形．  【解析】根据平行四边形的性质证明，即可． 本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，属于中考基础题． 20.【答案】解：米； 米， 米  【解析】能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用． 已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边； 在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，米，再根据勾股定理求得OD的长即可． 21.【答案】解：如图，菱形ABCD即为所求作．   【解析】根据菱形的定义画出图形即可． 本题考查作图-应用与设计作图，菱形的的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22.【答案】解：，，， ， ，， ，， ， ，   【解析】先利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理判断，再利用四边形的面积等于两个三角形的面积之和即可得到答案． 本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解本题的关键． 23.【答案】证明：过点A作于D， ，， ， 由勾股定理得，， ，即是“美丽三角形”； 解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2， ， 当BC边上的中线AE等于BC时， ，即， 解得 综上所述，BC的长是6或  【解析】过点A作于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明； 分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 24.【答案】证明：， ，， 解得：，， ， ， ， ； 解：点D的坐标为， ， ，， ， ，，， ≌， ， 点的坐标为； 解：M点的坐标不发生变化，理由如下； 如图②，过点P作交BC于N， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ≌， ， ， 点的坐标不发生变化，为  【解析】根据非负性可求m、n，然后根据等腰三角形的性质证明即可； 证明≌，则，进而可求F点的坐标； 过点P作交BC于N，证明，证明≌，则，根据，计算求解可得结果． 本题考查了绝对值的非负性、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 25.【答案】  【解析】①解：由旋转得，； 故答案为：，； ②证明：设CE与AD的交点为P， 由旋转得，，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 、是等腰直角三角形， 、， ， ， ， 又， ≌， ， ， ； 解：在CE上取点H，使得， 由旋转可知，，， 则可令， ， ，， ， 则， ，， ≌， 为BD中点， ，， 又， ， ，故 ①由旋转得，；②设CE与AD的交点为P，证明是等腰直角三角形，推出、是等腰直角三角形，证明≌，推出，根据直角三角形的性质即可推出； 在CE上取点H，使得，令，证明，推出≌，再证明OG是的中位线，据此求解即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$